高中數學 課時分層作業(yè)18 空間向量與平行關系 新人教A版選修21

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1、 課時分層作業(yè)(十八) 空間向量與平行關系 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關系是(　　) A．l⊥α　　　　　　 B．l∥α C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α D　[因為au＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l?α.] 2．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直線l的方向向量v＝(2,1,3)與直線AB的方向向量平行，則y＋z等于(　　) A．－3　 B．0　　　C．1　　　D．3 B　[由題意，得＝(－1，－2－y，

2、z－3)，則＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0，故選B．] 3．已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是(　　) A．(1，－1,1) B． C． D． B　[對于B，＝， 則n＝(3,1,2)＝0， ∴n⊥，則點P在平面α內．] 4．若＝λ＋μ，則直線AB與平面CDE的位置關系是(　　) 【導學號：46342164】 A．相交 B．平行 C．在平面內 D．平行或在平面內 D　[∵＝λ＋μ，∴，，共面，則AB與平面CDE的位置關系是平行或在平面內．] 5．若平面α，β的一個法向量分別為m＝，n

3、＝，則(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α與β相交但不垂直 D．α∥β或α與β重合 D　[因為n＝－3m，所以m∥n，因此α∥β或α與β重合．] 二、填空題 6．如圖325，在正三棱錐SABC中，點O是△ABC的外心，點D是棱BC的中點，則平面ABC的一個法向量可以是________，平面SAD的一個法向量可以是________． 圖325 ，　[由題意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD． 因此平面ABC的一個法向量可以是，平面SAD的一個法向量可以是.] 7．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a與b為共線向量，則x＝________，y＝_____

4、___. ?。由題意得＝＝，∴x＝，y＝－.] 8．已知直線l∥平面ABC，且l的一個方向向量為a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，則實數m的值是________. 【導學號：46342165】 －3　[∵l∥平面ABC， ∴存在實數x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ＝(x，y，－x－y)， ∴∴m＝－3.] 三、解答題 9．如圖326，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD和B1C的中點，利用向量法證明： 圖3

5、26 (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D． [證明]　(1)以D為坐標原點，，，分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)，并設正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)． 由正方體的性質知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2,0,0)為平面CC1D1D的一個法向量． 由于＝(0,1，－1)，則＝02＋10＋(－1)0＝0，所以⊥. 又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D． (2)由于＝(0,2,0)，＝(0,2,0)，所以∥， 即MP∥DC． 由于MP?

6、平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D． 又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M， 所以由兩個平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D． 10.如圖327，四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90，PA＝BC＝AD＝1.問：在棱PD上是否存在一點E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E點的位置；若不存在，請說明理由． 圖327 [解]　分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 設E(0，y，z)，則

7、 ＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)， ∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， ＝(－1，y－1，z)， ∴由CE∥平面PAB, 可得⊥， ∴(－1，y－1，z)(0,2,0)＝2(y－1)＝0， ∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中點， 即存在點E為PD中點時，CE∥平面PAB． [能力提升練] 1．若a＝是平面α的一個法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝與平面α都平行，則向量a等于(　　) A． B． C． D． D　[由題意，知ab＝0，ac＝0，即， 解得，所以a＝.] 2．已知＝(－3,1,2)

8、，平面α的一個法向量為n＝(2，－2,4)，點A不在平面α內，則直線AB與平面α的位置關系為(　　) A．AB⊥α B．AB?α C．AB與α相交但不垂直 D．AB∥α D　[因為n＝2(－3)＋(－2)1＋42＝0，所以n⊥.又點A不在平面α內，n為平面α的一個法向量，所以AB∥α，故選D．] 3．若A，B，C是平面α內的三點，設平面α的法向量a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝________. 【導學號：46342166】 2∶3∶(－4)　[因為＝， ＝， 又因為a＝0，a＝0， 所以 解得 所以x∶y∶z＝y(tǒng)∶y∶＝2∶3∶(－4)．] 4．如圖328，在

9、長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點，點P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長為________． 圖328 　[建立以AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標系(圖略)， 設|AB|＝a，點P坐標為(0,0，b) 則B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E ＝(a,0,1)，＝ ＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE， ∴存在實數λ，μ，設＝λ＋μ 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ ＝ ∴∴b＝λ＝，即AP＝.] 5．如圖329，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1

10、的中點．設Q是CC1上的點，則當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO? 圖329 [解]　建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，設正方體的棱長為2， 則O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)， ∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2，2)． 設平面PAO的法向量為n1＝(x，y，z)， 則，即 令x＝1，則y＝1，z＝2， ∴平面PAO的一個法向量為n1＝(1,1,2)． 若平面D1BQ∥平面PAO，則n1也是平面D1BQ的一個法向量． 設Q(0,2，c)，則＝(－2,0，c)， ∴n1＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1， 這時n1＝－2－2＋4＝0. ∴當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375