《壓縮映射原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《壓縮映射原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、壓縮映射原理及其應(yīng)用 摘 要: 本文較詳細(xì)地論述了Banach空間中的壓縮映射原理，以及它在關(guān)于一些問題的解的存在唯一性定理證明中的廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 抽象函數(shù),不動(dòng)點(diǎn),壓縮映射,抽象微分方程,隱函數(shù)存在性理引 言: 壓縮映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解問題，它不僅具有實(shí)義，而且對(duì)泛函分析理論的發(fā)展起著重大作用。我們首先介紹不動(dòng)點(diǎn)和壓縮映射的定義以及壓縮映射原理，并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出一個(gè)推廣的壓縮映射原理。壓縮映射原理不僅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且給出了近似求解的方法及誤差估計(jì)，因而是很有用的。微分方程初值問題的解的存在唯一性定理及畢卡(Picard)逐次逼近法
2、就是它的特例。在Banach空間中這一問題將更為普遍。數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理也是壓縮映射原理的一個(gè)特例。一、幾個(gè)定義及壓縮映射原理定義1 設(shè)X，Y為巴拿赫空間，算子（一般地，F(xiàn)是非線性的）。如果存在有界線性算子使得關(guān)系式對(duì)于滿足的是一致成立的，則稱算子F在點(diǎn)處是弗力許（Frchet）可微的，并記，稱為算子F在點(diǎn)處的弗力許導(dǎo)數(shù)。為了給出關(guān)于算子的有限增量公式（相當(dāng)于中值定理），我們引入關(guān)于抽象函數(shù)的積分的概念。 設(shè)x(t)是由實(shí)數(shù)域到巴拿赫空間X的算子。這種算子通常稱為“抽象函數(shù)”。現(xiàn)設(shè)x(t)的定義域是區(qū)間a，b。將a，b分成n個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)為記此分劃為，及在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式
3、(*)定義2 如果對(duì)任意的分劃及的任意取法，當(dāng)時(shí)和式(*)都收斂（在X中范數(shù)意義下）于同一個(gè)元素，則抽象函數(shù)x(t)在a，b上黎蔓可積的，r稱為x(t)在a，b上的黎蔓積分，記為性質(zhì)1 設(shè)抽象函數(shù)x(t)黎蔓可積，則抽象函數(shù)在a，b上弗力許可薇，且 (*)定義3 設(shè)X為巴拿赫空間，F(xiàn)為由X到X的算子，且D(F)R(F)非空。如果x*X滿足F(x*)=x*則稱x*為算子F的不動(dòng)點(diǎn)。換句話說，不動(dòng)點(diǎn)x*是算子方程x=F(x) (1) 的解。定義4 設(shè)集合，如果存在常數(shù)q(0，1)，使得對(duì)任意的均有不等式|F()-F()|q|-| (2)則稱F為集合Q上的壓縮算子，q稱為壓縮系數(shù)。定理1(壓縮映射原
4、理) 設(shè)算子F映巴拿赫空間X中的閉集Q為自己。且F為Q上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。若為Q中任意一點(diǎn)，作序列 （3）則序列且。并有誤差估計(jì) (4)證明：由于FQ故設(shè)利用算子F的壓縮性，可依次得到: （5）現(xiàn)在估計(jì)。利用(5)式可得到 即 （6）由此可知是柯西點(diǎn)列，由X的完備性知存在使得又因Q是閉集故現(xiàn)在證明是算子F的不動(dòng)點(diǎn)，由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。事實(shí)上，如果則由式(2)知F(于是在式(3)中令n。即得再證的唯一性。設(shè)若另有一不動(dòng)點(diǎn)則由于q故上式只能在時(shí)成立于是x=至于估計(jì)式（4）的證明只需在式（6）中令p。證畢。壓縮映射原理最常用的兩種特殊情形是Q
5、=X及Q=-X中的閉球。對(duì)于后者，如下列推論所述推論1設(shè)F為閉球上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，R（F）且 （7）則F在中有唯一不動(dòng)點(diǎn)且序列（3）收斂于，收斂速度為式（4），初始近似可在中任取。證明 ： 只要證F映為自己。如果x即則。二、推廣的壓縮映射原理設(shè)算子F映集合Q為自己。對(duì)任一自然數(shù)n，算子F的n次冪定義為:當(dāng)x時(shí)令如果已經(jīng)定義，則令 定理2 設(shè)算子F映閉集Q為自己且對(duì)某一自然數(shù)k算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)逼近序列（3）收斂于初始近似為任意。證明 ： 當(dāng)k=1時(shí)即為定理1?，F(xiàn)設(shè)k?？疾焖阕覩=，根據(jù)定理1，G在Q上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)樗阕覨與G在Q上可交換，故有G（F（
6、）=F（G（此即表明F（也是G的不動(dòng)點(diǎn)。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，故F（即也是F的不動(dòng)點(diǎn)。下證唯一。如果另有，滿足，則。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，故=。證畢。三、壓縮映射原理的應(yīng)用在微分方程，積分方程以及其它各類方程的理論中，解的存在性唯一性以及近似解的收斂性等都是很重要的問題。為了證明一個(gè)微分方程,積分方程或其它類型的方程存在解。我們可以將它變成求某一映射的不動(dòng)點(diǎn)?，F(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 (8) 為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程（8）滿足初始條件的解與求解積分方程等價(jià)。為了求解積分方程（9），我們可以根據(jù)f（x，y）所滿足解析條件適當(dāng)?shù)厝∫粋€(gè)度量空間，并在這個(gè)度量空間中作映射， 于是方程（9）的
7、解就轉(zhuǎn)化為求使它滿足。也就是求出這樣的，它經(jīng)映射T作用后仍變?yōu)?，這種稱為映射T的不動(dòng)點(diǎn)。因此求解方程（8）就變成求映射T的不動(dòng)點(diǎn)?？疾煳⒎址匠?(10)其中f(x，y)在整個(gè)平面內(nèi)連續(xù)，此外還設(shè)f(x，y)關(guān)于y滿足李普希茨條件：則通過點(diǎn)微分方程（10）有一條且只有一條積分曲線。證明 ： 問題（10）等價(jià)于求解下面的積分方程我們?nèi)∈褂帽硎驹趨^(qū)間上的連續(xù)函數(shù)組成的空間，在中定義算子(映射)F:則因，由壓縮映射原理，存在唯一的連續(xù)函數(shù)y(x)，使由此可以看出，y(t)還是連續(xù)可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通過的積分曲線。但只定義在上，重復(fù)利用壓縮映射原理，可以將它延拓到整個(gè)數(shù)軸上。四
8、、巴拿赫空間中的微分方程對(duì)于微分方程初值問題的解的各種存在唯一定理，利用壓縮映射原理，可以給出一種很簡(jiǎn)單的證明。下面我們?cè)诎湍煤湛臻g中討論這一問題，這樣做具有普遍性，卻并不增加證明的復(fù)雜性。設(shè)x(t)為從實(shí)數(shù)域到某一巴拿赫空間X的抽象函數(shù).我們要討論的是非線性微分方程 (11)其中F(t,x)是關(guān)于兩個(gè)變?cè)姆蔷€性算子,實(shí)變量,而x是X的元素.F的值域也在X中.的意義與通常理解的相同:現(xiàn)在假設(shè)F為已知,所謂微分方程(11)的初值問題是指求x(t),它滿足(11)及初始條件 (12)其中。定理3 設(shè)當(dāng)x為固定且時(shí)F(t，x)在上連續(xù)，而當(dāng)及時(shí)有 (13) (14)則在0，a上初值問題(11)，(
9、12)存在唯一解x(t)，且（當(dāng)時(shí)）。 證明： 所討論的問題等價(jià)于積分方程 (15) 事實(shí)上，設(shè)x(t)是初值問題(11)，(12)的解，則可將x(t)代入方程(15)，再?gòu)?到t積分，考慮到條件(12)，即得式（15），反之設(shè)x(t)滿足方程（15），注意到當(dāng)時(shí)抽象函數(shù)F(s，x(s)連續(xù)，這是因?yàn)?又根據(jù)x(t)的連續(xù)及F(t，x)對(duì)t的連續(xù)性，當(dāng)且時(shí)上式右端的兩項(xiàng)均趨于零。根據(jù)式(*)即知表明x(t)是問題(11)(12)的解。因此，初值問題(11)(12)等價(jià)于求方程(15)的解。記在0，a上連續(xù)，在X中取值的抽象函數(shù)x(t)的全體所構(gòu)成的巴拿赫空間為，其范數(shù)定義為考察在中的閉球則非線
10、性算子映為自己。這是因?yàn)槠渲杏玫搅瞬坏仁?13)及a的定義。同時(shí)，是上的壓縮算子，這是因?yàn)橛蓷l件（14）知其中q=al1（由a之定義）。于是利用壓縮映射原理，方程（15）在球中存在唯一解x(t)。定理得證。這一定理的不足之處是初值問題（11），（12）的解僅確定在0，a上而不是在0，b上。對(duì)于算子F(t，x)附加以較強(qiáng)條件時(shí)可以彌補(bǔ)這個(gè)缺陷。定理4 設(shè)算子F(t,x)對(duì)每一固定的x,關(guān)于連續(xù)且滿足李普希茨條件: 則初值問題(11)、（12）在0,b上存在唯一解.我們給出兩種證明它們都很簡(jiǎn)單而富有啟發(fā)性.第一種證明 如上所述，可等價(jià)地討論積分方程（15）。在巴拿赫空間中考察積分算子 我們有下列估
11、計(jì) 由此又有 一般地，我們有在0，b上取最大值，得到 由于當(dāng)時(shí)故對(duì)于充分大的n，是中的壓縮算子。于是定理得證.第二種證明 在巴拿赫空間中引入另一種范數(shù)(顯然)。我們證明積分算子是這種范數(shù)下的壓縮算子。事實(shí)上乘以因子，再在0，b上取max，得到故壓縮系數(shù)為。定理得證五、一個(gè)特例-隱函數(shù)存在定理定理5 設(shè)函數(shù)在帶狀域 ， 中處處連續(xù),且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).如果還存在常數(shù)m和M,滿足 ， mM則方程f(x，y)=0在區(qū)間a，b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解: 證：在完備空間Ca，b中作算子(映射)F，使對(duì)任意的函數(shù)有。按照定理?xiàng)l件，f(x，y)是連續(xù)的，故也連續(xù)，即所以F是Ca，b到自身的映射。現(xiàn)證F
12、是壓縮算子。任取根據(jù)微分中值定理，存在滿足由于，所以令，則有0qM，國(guó)防工業(yè)出版社，1986；7葉懷安，泛函分析M，安徽教育出版社，1984；8程其襄等，M，高教出版社，1984；9張鳴歧，M，北京理工大學(xué)出版社，1989。Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon principle ， and about store it in in detail。 Keywords: Abstract function; Do not move a bit; Compress and shine upon; Abstract differential equation; Having theorem of implicit function10
壓縮映射原理及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文
