高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)9 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(九) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．若點(diǎn)P(a,1)在橢圓＋＝1的外部，則a的取值范圍為(　　) A. B.∪ C． D. B　[由題意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.] 2．若直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342083】 A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　 B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3) B　[由 消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0. 若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)， 則 解得

2、 由＋＝1表示橢圓，知m>0且m≠3. 綜上可知，m>1且m≠3，故選B.] 3．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A． B． C． D． A　[設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，則原點(diǎn)O是線段F1F2的中點(diǎn)，從而OM綊PF2，則PF2⊥F1F2，由題意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝解得y＝，從而M的縱坐標(biāo)為.] 4．橢圓mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是(　　) A. B. C． D. A　[聯(lián)立方程組可得 得(m＋n)x

3、2－2nx＋n－1＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)， 則x0＝＝， y0＝1－x0＝1－＝. ∴kOP＝＝＝.故選A.] 5．已知橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝2，點(diǎn)A∈l，線段AF交橢圓C于點(diǎn)B，若＝3，則||＝(　　) A. B．2 C． D．3 A　[設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)． 由橢圓C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即c＝1， ∴右焦點(diǎn)F(1,0)． 由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0. ∴x0＝，y0＝n. 將x0，y0代入＋y2＝

4、1，得 ＋＝1. 解得n2＝1， ∴|A|＝＝＝.] 二、填空題 6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342084】 　[結(jié)合條件利用橢圓的性質(zhì)建立關(guān)于a，b，c的方程求解． 如圖所示，由題意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)． 由PF⊥x軸得P. 設(shè)E(0，m)， 又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝. ① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF

5、|＝. ② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.] 7．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________． 　[由已知可得直線方程為y＝2x－2，聯(lián)立方程組 解得A(0，－2)，B， ∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.] 8．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為________． 6　[由＋＝1可得F(－1,0)． 設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時(shí)，取得最大值6.]

6、 三、解答題 9．已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342085】 [解]　(1)聯(lián)立方程組消去y，整理得： 5x2＋2mx＋m2－1＝0. ∵直線與橢圓有公共點(diǎn)， ∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0， ∴－≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由(1)得 ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝. ∵－≤m≤， ∴0≤m2≤， ∴當(dāng)m＝0時(shí)，|AB|取得最大值，此時(shí)直線方程為y＝x，即

7、x－y＝0. 10．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為，直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)求橢圓C的方程； (2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值． [解]　(1)由題意得 解得c＝，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0， 設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝， 又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離 d＝， 所以△AMN的面

8、積為S＝|MN|d＝， 由＝， 化簡(jiǎn)得7k4－2k2－5＝0，解得k＝1. [能力提升練] 1．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2的面積最大時(shí)，則的值等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 D　[由題意得c＝＝， 又S＝2S＝2|F1F2|h(h為F1F2邊上的高)， 所以當(dāng)h＝b＝1時(shí)，S取最大值， 此時(shí)∠F1PF2＝120. 所以＝||||cos 120＝22＝－2. 故選D.] 2．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

9、(1，－1)，則E的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342086】 A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　[因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，－1)，所以直線AB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故選D.] 3．已知F1為橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么|F1A|＋|F1B|的值為________． 　[設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)， 由消去

10、y，得3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B. ∴|AB|＝， ∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB| ＝4－＝.] 4．已知直線y＝3x＋2被橢圓＋＝1(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)為8，則下列直線中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也為8的有________．(填上直線的代號(hào)) ①y＝3x－2；②y＝3x＋1；③y＝－3x－2；④y＝－3x＋2；⑤y＝－3x. ①③④　[橢圓關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱，從而與直線y＝3x＋2關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)也為8，直線y＝3x＋2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y＝3x－2，關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為y＝－3x－2，關(guān)于y軸對(duì)稱的直線為y＝－3x＋2，故應(yīng)填①

11、③④.] 5．如圖228，已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B. 圖228 (1)若∠F1AB＝90，求橢圓的離心率； (2)若橢圓的焦距為2，且|AF2|＝2|F2B|，求橢圓的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342087】 [解]　(1)若∠F1AB＝90，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c， 所以a＝c，e＝＝. (2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(x，y)， 由|AF2|＝2|F2B|，得＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)， 解得x＝，y＝－， 代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1， 解得a2＝3，所以b2＝2， 故橢圓的方程為＋＝1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375