高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算學(xué)案 新人教A版必修4

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高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算學(xué)案 新人教A版必修4_第1頁
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1、 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算 學(xué)習(xí)目標:1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標表示.(難點)2.理解向量坐標的概念,掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則.(重點)3.向量的坐標與平面內(nèi)點的坐標的區(qū)別與聯(lián)系.(易混點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.平面向量的正交分解及坐標表示 (1)平面向量的正交分解: 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐標表示: 在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有

2、一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj,我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸上的坐標,a=(x,y)叫做向量的坐標表示.顯然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 2.平面向量的坐標運算 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有: 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 減法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 數(shù)乘 λa=(λx1,λy1) 重要 結(jié)論 已知點A(x1,y1),B(x2,y2), 則=(x2-x1,y2-y1) [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)若=(

3、2,-1),則點A的坐標為(2,-1).(  ) (2)若點A的坐標為(2,-1),則以A為終點的向量的坐標為(2,-1).(  ) (3)平面內(nèi)的一個向量a,其坐標是唯一的.(  ) [解析] (1)正確.對于從原點出發(fā)的向量,其終點坐標與向量的坐標表示相同. (2)錯誤.以A為終點的向量有無數(shù)個,它們不一定全相等. (3)正確.由平面向量坐標的概念可知. [答案] (1)√ (2) (3)√ 2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標是(  ) A.      B. C.(-8,1) D.(8,1) A [=- =(-5,-1)-(3,-2) =(-

4、8,1), =.] 3.如圖2314,在平面直角坐標系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量a,若|a|=2,θ=45,則向量a的坐標為________. 圖2314 (,) [由題意知 a=(2cos 45i,2sin 45j) =(i,j) =(,).] [合 作 探 究攻 重 難] 平面向量的坐標表示  如圖2315,在平面直角坐標系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45,∠OAB=105,=a,=b.四邊形OABC為平行四邊形. 圖2315 (1)求向量a,b的坐標; (2)求向量的坐標; (3)求

5、點B的坐標. 【導(dǎo)學(xué)號:84352220】 [解] (1)作AM⊥x軸于點M, 則OM=OAcos 45=4=2, AM=OAsin 45=4=2, ∴A(2,2),故a=(2,2). ∵∠AOC=180-105=75,∠AOy=45, ∴∠COy=30.又OC=AB=3, ∴C, ∴==, 即b=. (2)=-=. (3)=+ =(2,2)+ =. [規(guī)律方法] 求點、向量坐標的常用方法: (1)求一個點的坐標:可利用已知條件,先求出該點相對應(yīng)坐標原點的位置向量的坐標,該坐標就等于相應(yīng)點的坐標. (2)求一個向量的坐標:首先求出這個向量的始點、終點坐標,再運用

6、終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標. [跟蹤訓(xùn)練] 1.已知O是坐標原點,點A在第一象限,||=4,∠xOA=60, (1)求向量的坐標; (2)若B(,-1),求的坐標. [解] (1)設(shè)點A(x,y),則x=4cos 60=2, y=4sin 60=6,即A(2,6),=(2,6). (2)=(2,6)-(,-1)=(,7). 平面向量的坐標運算  (1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),則a=________,b=________. (2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及的坐標. [思路探究] (1)用加

7、減消元法求a,b的坐標. (2)法一:設(shè)點M,N的坐標,用向量相等的坐標表示列方程求值. 法二:用向量線性運算的幾何意義直接計算,的坐標. (1)(3,5) (-2,-2) [由a+b=(1,3),a-b=(5,7), 所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10), 所以a=(3,5), 2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4), 所以b=(-2,-2).] (2)[解] 法一:(待定系數(shù)法)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 所以=3=3(1,8)=(

8、3,24), =2=2(6,3)=(12,6). 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20; =(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2, 所以M(0,20),N(9,2), =(9,2)-(0,20)=(9,-18). 法二:(幾何意義法)設(shè)點O為坐標原點,則由=3,=2, 可得-=3(-),-=2(-), 從而=3-2,=2-, 所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), 即點M(0,20),N(9,2), 故=(9,2)-(0

9、,20)=(9,-18). [規(guī)律方法] 平面向量坐標的線性運算的方法: (1)若已知向量的坐標,則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行. (2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算. (3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行. [跟蹤訓(xùn)練] 2.若A,B,C三點的坐標分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求+2,-的坐標. [解] ∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14), ∴+2=(-2,10)+2(-8,4) =(-2,10)+(-16,8) =(-18,18), -=(-8,4)-(-1

10、0,14) =(-8,4)-(-5,7) =(-3,-3). 向量坐標運算的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1.已知點O(0,0),A(1,2),B(4,5),及=+t.當t為何值時,點P在x軸上?點P在y軸上?點P在第二象限? 提示:∵=+t=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t). 若點P在x軸上,則2+3t=0, ∴t=-. 若點P在y軸上,則1+3t=0, ∴t=-. 若點P在第二象限,則 ∴-

11、若四邊形OABP為平行四邊形, 則=, ∴該方程組無解. 故四邊形不能為平行四邊形.  (1)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,則m+n=________. (2)已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若A=A+λA(λ∈R),試求λ為何值時, ①點P在一、三象限角平分線上; ②點P在第三象限內(nèi). 【導(dǎo)學(xué)號:84352221】 [思路探究] (1)→→ (2)→→ (1)7 [由已知得ma+nb=m(2,-3)+n(1,2)=(2m+n,-3m+2n). 又p=(9,4)且p=ma+nb, 所以解得 所以m+n=7

12、.] (2)[解] 設(shè)點P的坐標為(x,y), 則A=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), A+λA=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). ∵A=A+λA, ∴則 ①若P在一、三象限角平分線上, 則5+5λ=4+7λ,∴λ=, ∴當λ=時,點P在一、三象限角平分線上. ②若P在第三象限內(nèi),則∴λ<-1, ∴當λ<-1時,點P在第三象限內(nèi). 母題探究:1.若本例(2)條件不變,試求λ為何值時,點P在第四象限. [解] 若P在第四象限,則解得-1<λ<-. 2.若本例(2)條件“=+λ”

13、改為“=+λ”,其他條件不變,應(yīng)如何解答? [解] 設(shè)點P的坐標為(x,y), 則=(x-5,y-4), +λ=(-3,-1)+λ(2,6)=(-3+2λ,-1+6λ). 因為=+λ, 所以則 ①若P在一、三象限角平分線上, 則2+2λ=3+6λ,解得λ=-. ②若P在第三象限內(nèi),則解得λ<-1. [規(guī)律方法] 1.解答本題可用待定系數(shù)法.此法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一,實質(zhì)是先將未知量設(shè)出來,建立方程(組)求出未知數(shù)的值,是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應(yīng)用. 2.坐標形式下向量相等的條件:相等向量的對應(yīng)坐標相等;對應(yīng)坐標相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系

14、求某些參數(shù)的值. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.給出下面幾種說法: ①相等向量的坐標相同; ②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標; ③一個坐標對應(yīng)于唯一的一個向量; ④平面上一個點與以原點為始點,該點為終點的向量一一對應(yīng). 其中正確說法的個數(shù)是(  ) A.1    B.2    C.3    D.4 C [由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量,故③錯誤.] 2.已知A(2,-3),=(3,-2),則點B和線段AB的中點M坐標分別為 (  ) 【導(dǎo)學(xué)號:84352222】 A.B(5,-5),M(0,0) B.B(5,-5),M C.

15、B(1,1),M(0,0) D.B(1,1),M B [=+=(2,-3)+(3,-2)=(5,-5), =+=(2,-3)+(3,-2)=.] 3.已知平行四邊形OABC,其中O為坐標原點,若A(2,1),B(1,3),則點C的坐標為________. (-1,2) [設(shè)C的坐標為(x,y),則由已知得=,所以(x,y)=(-1,2).] 4.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為________.  [=(3,-4),則與同方向的單位向量為=(3,-4)=.] 5.已知a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)

16、a-b. [解] (1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3)a-b=(-1,2)-(2,1) =-=. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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