高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式階段質(zhì)量評(píng)估 北師大版選修45

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1、 階段質(zhì)量評(píng)估(二)　幾個(gè)重要的不等式 A卷　(時(shí)間：60分鐘　滿分：80分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．設(shè)n∈N＋， 則4n與3n的大小關(guān)系是(　　) A．4n>3n　　　　　 B．4n＝3n C．4n<3n D．不確定 解析：4n＝(1＋3)n，由貝努利不等式，得(1＋3)n≥1＋n3＝1＋3n>3n，即4n>3n. 答案：A 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)”時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證(　　) A．1＋<2－ B．1＋＋<2－ C．1＋<2－ D．1＋＋<2－

2、 解析：∵n≥2，n∈N＋，∴第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n＝2時(shí)，1＋<2－. 答案：A 3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)(　　) A．大于零 B．大于或等于零 C．小于零 D．小于或等于零 解析：設(shè)a≥b≥c>0，則a3≥b3≥c3. 依據(jù)排序不等式，得 a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a. 又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥

3、0. 答案：B 4．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，則3x＋2x＋5x＋x的最小值是(　　) A． B． C．3 D． 解析：因?yàn)? ≥2 ＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1， 所以3x＋2x＋5x＋x≥. 答案：B 5．學(xué)校要開運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要買價(jià)格不同的獎(jiǎng)品40件、50件、20件，現(xiàn)選擇商店中單價(jià)為5元、3元、2元的商品作為獎(jiǎng)品，則至少要花(　　) A．300元 B．360元 C．320元 D．340元 解析：由排序不等式，可知逆序和最?。? ∴最小值為502＋403＋205＝320(元)． 答案：C 6．已知2x＋3y＋4z＝10，則x2＋y

4、2＋z2取到最小值時(shí)的x，y，z的值分別為(　　) A．，， B．，， C．1，， D．1，， 解析：當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取到最小值，聯(lián)立可得x＝，y＝，z＝. 答案：B 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上) 7．若x＋y＋z＋t＝4，則x2＋y2＋z2＋t2的最小值為________. 解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2＋t2)(12＋12＋ 12＋12)≥(x＋y＋z＋t)2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝t＝1時(shí)取等號(hào)．故x2＋y2＋z2＋t2的最小值為4. 答案：4 8．已知a∈(0，＋∞)，x＋≥2，x＋≥3，…，x＋≥n＋1(n∈N

5、＋)，則a的值為________. 解析：∵x＋≥2， x＋＝＋＋≥3＝3， ∴x＋＝＋＋＋…＋＋≥(n＋1)＝(n＋1)＝n＋1. ∴a＝nn(n∈N＋)． 答案：nn(n∈N＋) 9．設(shè)x1，x2，…，xn為不同的正整數(shù)，則m＝＋＋…＋的最小值是_________. 解析：設(shè)a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一個(gè)排列，且滿足a1>>…>， 所以＋＋＋…＋≥a1＋＋＋…＋≥ 11＋2＋3＋…＋n＝1＋＋＋ …＋. 答案：1＋＋＋…＋ 三、解答題(本大題共3小題，共35分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明

6、過程或演算步驟) 10．(本小題滿分10分)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋ y＋z＝1，求證：＋＋≥81. 證明：由柯西不等式，得 (x＋y＋z)≥2＝81， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即x＝，y＝，z＝時(shí)取等號(hào)． 所以＋＋≥81. 11．(本小題滿分12分)設(shè)x>0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 證明：當(dāng)x≥1時(shí)，1≤x≤x2≤…≤xn， 由順序和≥逆序和，得 11＋xx＋x2x2＋…＋xnxn≥1xn＋x xn－1＋…＋xn－1x＋xn1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ① 因?yàn)閤，x2，x3，…，xn,1為序列1，x，x2

7、，…，xn的一個(gè)排列， 由亂序和≥逆序和，得1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋xn1≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1， 即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn. ② 將①和②相加，得 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. ③ 當(dāng)0x>x2>…>xn. ①②仍然成立，于是③也成立． 綜上，原不等式成立． 12．(本小題滿分13分)已知正數(shù)x，y，z滿足5x＋4y＋3z＝10. (1)求證：＋＋≥5； (2)求9x2＋9y2＋z2的最小值． (1)證明：根據(jù)柯西不等式，得 [(4y＋3z)＋(3z＋5x)＋(5x＋4y)]

8、≥(5x＋4y＋3z)2. 因?yàn)?x＋4y＋3z＝10， 所以＋＋≥＝5. (2)解：根據(jù)平均值不等式，得 9x2＋9y2＋z2≥2＝23x2＋y2＋z2， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝y(tǒng)2＋z2時(shí)等號(hào)成立． 根據(jù)柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(52＋42＋32) ≥(5x＋4y＋3z)2＝100， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)等號(hào)成立． 所以x2＋y2＋z2≥2. 綜上，9x2＋9y2＋z2≥232＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝，z＝時(shí)等號(hào)成立． 所以9x2＋9y2＋z2的最小值為18. B卷　(時(shí)間：60分鐘　滿分：80分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小

9、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且＋＋＝1，則x＋＋的最小值是(　　) A．5　　　　　　　 B．6 C．8 D．9 解析：x＋＋＝≥2＝9. 答案：D 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“＋＋＋…＋>－ ”時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)是(　　) A．＋＋…＋>－ B．＋＋…＋>－ C．＋＋…＋>－ D．＋＋…＋>－ 解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式變?yōu)椋?－. 答案：A 3．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，則a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值為(　　) A．1 B．n C

10、． D．2 解析：由柯西不等式，得(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2， 即11≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2. ∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1. 故所求的最大值為1. 答案：A 4．已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，則＋的最小值為(　　) A．5＋ B．5－ C．5＋2 D．5－2 解析：＋＝(x＋y) ＝ ≥2＝(＋)2 ＝5＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)y∶x＝∶時(shí)取等號(hào)． ∴＋的最小值為5＋2. 答案：C 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意x>0和正整數(shù)n，都有 xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋

11、1”時(shí)，需要驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為(　　) A．1 B．2 C．1,2 D．以上答案均不正確 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝x＋，右邊＝1＋1，而x＋≥2， 即當(dāng)n＝1時(shí)不等式成立． 答案：A 6．設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，則＋＋的最大值為(　　) A． B． C． D．6 解析：(a＋2b＋3c)≥＋1＋2＝(＋＋)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)． ∴(＋＋)2≤， 即＋＋≤. 又a＋2b＋3c＝13， ∴a＝9，b＝，c＝. 故＋＋有最大值. 答案：A 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)

12、 7．函數(shù)y＝的最小值是________. 解析：由柯西不等式，得 y＝ ≥2 ＝2≥(1＋)2＝3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，sin 2α＝1， 即α＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：3＋2 8．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為自然數(shù)且它的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1.若對(duì)所有的正整數(shù)n，有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－ Sn)2成立，通過計(jì)算a2，a3，a4，可歸納出Sn＝________. 解析：由已知，得Sn＋1＋Sn＝a. ∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋Sn－1＝a. 兩式相減，得an＋1＋an＝a－a. ∴an＋1－an＝1. ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d＝1. ∴a2＝2，a3＝3，…

13、，an＝n. ∴Sn＝. 答案： 9．三角形的三邊a，b，c對(duì)應(yīng)的高為ha，hb，hc，r為三角形內(nèi)切圓的半徑．若ha＋hb＋hc的值為9r，則此三角形為________三角形． 解析：記三角形的面積為S， 則2S＝aha＝bhb＝chc. 因?yàn)?S＝r(a＋b＋c)， 所以ha＋hb＋hc＝2S＋＋＝ r(a＋b＋c). 由柯西不等式，得 (a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥ 2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． 所以ha＋hb＋hc≥9r. 故當(dāng)ha＋hb＋hc＝9r時(shí)，三角形為等邊三角形． 答案：等邊 三、解答題(本大題共3小題，共35分．解答應(yīng)

14、寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 10．(本小題滿分10分)已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1. (1)求證：＋＋≥； (2)求4x＋4y＋4z2的最小值． (1)證明：因?yàn)閤>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式，得[(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)]≥(x＋y＋z)2. 因?yàn)閤＋y＋z＝1， 所以＋＋≥ ＝. (2)解：由平均值不等式，得 4x＋4y＋4z2≥3. 因?yàn)閤＋y＋z＝1， 所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥. 故4x＋4y＋4z2≥3＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝，z＝時(shí)等號(hào)成立． 所以4x＋4y＋4z2的最小值為3. 11．(本小題滿

15、分12分)已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|， m∈R，且關(guān)于x的不等式f(x＋2)≥0的解集為 [－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m，求證： a＋2b＋3c≥9. (1)解：因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|， 所以f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為 {x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明：由(1)，知＋＋＝1. 又a，b，c∈(0，＋∞)， 由柯西不等式，得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥ 2＝9. 12．(本小題滿分13分)已知數(shù)

16、列{bn}是等差數(shù)列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145(n∈N＋)． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)； (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝loga(其中a>0且a≠1)，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結(jié)論． 解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d， 由題意，得101＋d＝145. ∴d＝3，bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2，知 Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga ＝loga， logabn＋1＝loga. 因此，要比較Sn與logabn＋1的大小，可先比較 (1＋1)…與的大?。? 取n＝1，有(1＋1)

17、>. 猜想取n≥1，n∈N＋，有 (1＋1)…>. 下面用數(shù)學(xué)歸納法說明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立． ②假設(shè)當(dāng) n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即(1＋1)…>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (1＋1)…> ＝(3k＋2)． ∵3－()3＝ ＝>0， ∴(3k＋2)> ＝. ∴(1＋1)…> . 這說明，當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由①②，知對(duì)一切n∈N＋，不等式(1＋1)1＋…>都成立． 再由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得 當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn＋1； 當(dāng)0