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1、
第二章 幾個重要的不等式
1．已知a2＋b2＋c2＝1，若不等式a＋b＋c≤|x＋1|對任意實數(shù)a，b，c恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是( )
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．[－3，－1]
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]
解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(1＋1＋2)≥(a＋b＋c)2.所以a＋b＋c≤2.因為a＋b＋c≤|x＋1|，
所以|x＋1|≥2.解得x≥1或x≤－3.
答案：A
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為( )
A．1 B．
C． D．2
解析：＋＋
≤
＝，
2、
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號．
又a＋b＋c＝1，則＋＋≤.
∴＋＋的最大值為.
答案：C
3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為( )
A．A>B B．A
3、n＝k＋2時等式成立
C．當(dāng)n＝2k＋2時等式成立 D．當(dāng)n＝2(k＋2)時等式成立
解析：偶數(shù)k的后繼偶數(shù)為k＋2，故應(yīng)再證當(dāng)n＝k＋2
時等式成立．
答案：B
5．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，則M與N的大小關(guān)系是________.
解析：取兩組數(shù)a，a＋1，a＋2與a2，(a＋1)2，(a＋2)2，顯然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是順序和，而
a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是亂序和．由排序不等式易知M>N.
答案：M>N
6．設(shè)a，b，c∈(0，＋∞)，若不等式
4、(a＋b＋c)≥25恒成立，則正數(shù)k的最小值是________.
解析：因為(a＋b＋c)≥(1＋1＋)2＝(2＋)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立，所以(a＋b＋c)的最小值是(2＋)2.由不等式(a＋b＋c)≥25恒成立，得(2＋)2≥25.所以k≥9.所以正數(shù)k的最小值是9.
答案：9
7．設(shè)c1，c2，…，cn為正數(shù)a1，a2，…，an的某一排列，則
＋＋…＋與n的大小關(guān)系是_________.
解析：不妨設(shè)0
5、a1＋a2＋…＋an，即＋＋…＋≥n，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an>0時等號成立．
答案：＋＋…＋≥n
8．若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋ 的最小值．
解：由a＋b＋c＝1，可得
(2a＋1)＋(2b＋1)＋(2c＋1)＝5.
因為2a＋1,2b＋1,2c＋1均為正數(shù)，
由柯西不等式，得
(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)≥
＋＋2＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，
所以＋＋≥.
故＋＋的最小值為.
9．在△ABC中，試證：≤<.
證明：不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C．
由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋c
6、B＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC．
以上三式相加，得
3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)
＝π(a＋b＋c)．
所以≥. ①
由0
7、lg a．是否存在實數(shù)α，β，使f(n)＝(αn2＋βn－1)lg a對任意n∈N＋都成立？證明你的結(jié)論．
解：f(n)＝f(n－1)＋lg an－1，
令n＝2，則f(2)＝f(1)＋lg a＝－lg a＋lg a＝0.
又f(1)＝(－1)lg a，
所以
解得α＝，β＝－.
所以f(n)＝lg a.
下證對任何n∈N＋都成立．
(1)當(dāng)n＝1時，顯然成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時等式成立，即
f(k)＝lg a，
則當(dāng)n＝k＋1時，
f(k＋1)＝f(k)＋lg ak＝f(k)＋klg a
＝lg a
＝lg a.
所以當(dāng)n＝k＋1時等式也成立．
綜合(1)(2)，知存在α＝，β＝－，使
f(n)＝(αn2＋βn－1)lg a 對任意n∈N＋都成立．
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