高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)20 空間向量與空間角 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(二十) 空間向量與空間角 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為(　　) A．30°　　　　　　 B．150° C．30°或150° D．以上均不對(duì) A　[l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ)，且異面直線所成角的范圍為.應(yīng)選A．] 2．已知二面角α­l­β的兩個(gè)半平面α與β的法向量分別為a，b，若〈a，b〉＝，則二面角α­l­β的大小為(　　) A． B．

2、C．或 D．或 C　[由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個(gè)半平面α與β的法向量都有兩個(gè)方向，因此二面角α­l­β的大小為或，故選C．] 3.如圖3­2­27，空間正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是(　　) 圖3­2­27 A． B． C． D． D　[以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建系(圖略)，則＝，＝， cos〈，〉＝＝0. ∴〈，〉＝.] 4．已知在正四面體A­BCD中，E為棱AD的中點(diǎn)，則

3、CE與平面BCD的夾角的正弦值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342179】 A．　 B．　　　C．　　　D． B　[作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，則O是△BCD的中心，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD為y軸，直線OA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)AB＝2，則O(0,0,0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE與平面BCD的夾角的正弦值為.] 5．如圖3­2­28所示，已知四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角C­BF­D的正切值為(　　) 圖3&#

4、173;2­28 A． B． C． D． D　[如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OF.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)PA＝AD＝AC＝1，則BD＝，所以O(shè)(0,0,0)，B，F(xiàn)，C，＝，易知為平面BDF的一個(gè)法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一個(gè)法向量為n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角C­BF­D的正切值為.] 二、填空題 6．若直線l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一個(gè)法向量n＝(4,0,1)，則直線l與平面α所成角的

5、正弦值為_(kāi)_______． 　[由題意，得直線l與平面α所成角的正弦值為＝＝.] 7．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于________． 　[如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，平面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2＝(x，y，z)． 所以A(1,0,0)，E，F(xiàn)， 所以＝，＝， 則即 取x＝1，則y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝. 所以平面AEF與平面ABC所成

6、的二面角的平面角α滿足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.] 8．如圖3­2­29，正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342180】 圖3­2­29 　[取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)BC＝1，則A，B，C，D，所以＝，＝，＝. 設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，則，所以，取x＝1，則y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為

7、.] 三、解答題 9.如圖3­2­30，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分別為CE，AB的中點(diǎn)． 圖3­2­30 (1)求異面直角AB與CE所成角的大??； (2)求直線CD與平面ODM所成角的正弦值． [解]　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，∴DB⊥平面ABC． ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC． 如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過(guò)

8、點(diǎn)C且與EA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． ∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)， ∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)． ∴cos〈，〉＝＝－， ∴異面直線AB與CE所成角的大小為. (2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)， ∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)． 設(shè)平面ODM的法向量為n＝(x，y，z)， 則由，可得， 令x＝2，則y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)． 設(shè)直線CD與平面ODM所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，

9、∴直線CD與平面ODM所成角的正弦值為. 10．如圖3­2­31，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4. 圖3­2­31 (1)求證：M為PB的中點(diǎn)； (2)求二面角B­PD­A的大?。? (3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342181】 [解]　(1)證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)E，連接ME， 因?yàn)镻D∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是

10、正方形， 所以E為BD的中點(diǎn)， 所以M為PB的中點(diǎn)． ① (2)如圖②，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE. 因?yàn)镻A＝PD，所以O(shè)P⊥AD． 又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD， 所以O(shè)P⊥平面ABCD． 因?yàn)镺E?平面ABCD，所以O(shè)P⊥OE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)E⊥AD． 如圖②，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)． ② 設(shè)平面BDP的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，則y＝1，z＝. 于是n＝(1,1，)． 平

11、面PAD的法向量為p＝(0,1,0)， 所以cos〈n，p〉＝＝. 由題意知二面角B­PD­A為銳角，所以它的大小為. (3)由題意知M，C(2,4,0)，＝. 設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α，則sin α＝|cos〈n，〉|＝＝， 所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為. [能力提升練] 1.如圖3­2­32，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.則A1B與平

12、面ABD所成角的正弦值為(　　) 圖3­2­32 A．　 B．　　　C．　　　D． A　[以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，CC1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 設(shè)CA＝CB＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，＝，＝(0，－a,1)．∵點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2,2)，∵⊥平面ABD，∴為平面ABD的一個(gè)法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B與平面ABD所成角的正弦值為.]

13、 2．如圖3­2­33，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角D­AB­E為直二面角，M為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)M與BD所成的角為θ，且cos θ＝，則＝(　　) 圖3­2­33 A．1 B． C． D． C　[不妨設(shè)BC＝1，AB＝λ，則＝λ.記＝a，＝b，＝c，則＝b－a，＝c－b，根據(jù)題意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝， ∴|cos〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故選C．] 3．在空間中，已知平面α過(guò)(3,0,0

14、)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0，a)(a＞0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________. 　[平面xOy的法向量為n＝(0,0,1)，設(shè)平面α的法向量為u＝(x，y，z)，則 即3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝. 而cos〈n，u〉＝＝， 又∵a＞0，∴a＝.] 4．如圖3­2­34，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)二面角P­EC­D為時(shí)，AE＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342182】 圖3

15、73;2­34 2－　[設(shè)AE＝a(0≤a≤2)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(圖略)，則D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，則＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)，設(shè)平面PEC的法向量為m＝(x，y，z)，則，即，令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，則m＝(2－a,1,2)，易知平面DEC的一個(gè)法向量為＝(0,0,1)，則|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.] 5．如圖3­2­35，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形

16、，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD． 圖3­2­35 (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D­AE­C的余弦值． [解]　(1)證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD，從而AD＝CD． 又△ACD是直角三角形， 所以∠ADC＝90°. 取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO， 則DO⊥AC，DO＝AO. 又因?yàn)椤鰽BC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB為二面角D­AC­B的平面角． 在Rt△AOB中，BO2＋AO

17、2＝AB2， 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2， 故∠DOB＝90°. 所以平面ACD⊥平面ABC． (2)由題設(shè)及(1)知，OA，OB，OD兩兩垂直， 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)度， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz， 則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)． 由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的， 即E為DB的中點(diǎn)，得E， 故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝. 設(shè)n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量， 則即 可取n＝. 設(shè)m是平面AEC的法向量，則 同理可取m＝(0，－1，)， 則cos〈n，m〉＝＝. 所以二面角D­AE­C的余弦值為. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。