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1、
對(duì)《兩角差的余弦公式》推導(dǎo)的思索
數(shù)學(xué)概念、公式是自然的，不是強(qiáng)加于人。知識(shí)背景、形式過程，應(yīng)該是合情推理、水到渠成的。學(xué)習(xí)貴于疑，而問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“心臟”。通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引入需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，思考問題，經(jīng)歷實(shí)踐動(dòng)手，自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)探索，不斷地從具體到抽象，從特殊到一般，形成批判性的理性思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
首先通過章頭圖實(shí)際問題的引入，又作恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)改變，起點(diǎn)要低，要淺，讓學(xué)生感受到研究兩角差的余弦公式的必要，通過求的特殊問題，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生能輕易地解決，然后作相應(yīng)的推廣，引發(fā)知識(shí)矛盾沖突，同時(shí)明確探究目標(biāo)。推導(dǎo)過程分四個(gè)層次：
2、一是直覺精神，主要通過計(jì)算猜想，兩角差余弦公式，特殊驗(yàn)證，作出初步?jīng)Q策。二要適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥推廣，在為銳角的情形下，在初中平面幾何知識(shí)內(nèi)的探究。要貼近學(xué)生實(shí)際知識(shí)水平，從頭至尾要反思探索過程，讓學(xué)生回憶高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的三角函數(shù)定義及單位圓上的三角函數(shù)線來研究問題，這樣從多種途徑對(duì)《兩角差的余弦公式》的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解公式，加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，增加學(xué)生利用已學(xué)過的知識(shí)來解決實(shí)際問題的機(jī)會(huì)，只是上面的推導(dǎo)過程比較繁難，而且都在特殊情況下進(jìn)行。三是對(duì)一般情形探究，主要是應(yīng)用三角函數(shù)定義，向量的數(shù)量積的知識(shí)來推導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索，過程多么簡潔，從而進(jìn)一步深化向量的豐富知識(shí)背景。認(rèn)識(shí)它
3、是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，運(yùn)用向量解決問題可以發(fā)展自身的推理能力和運(yùn)算能力，然后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過程不嚴(yán)謹(jǐn)之處，請(qǐng)學(xué)生補(bǔ)充完善。四是對(duì)探究過程的反思升華，應(yīng)用三角函數(shù)定義及兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)公式。這樣教學(xué)過程符合數(shù)學(xué)研究問題的規(guī)律。使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)探究過程中是不斷猜想，不斷矯正，從特殊到一般的思考過程。
一、 展示實(shí)例，創(chuàng)設(shè)情境素材
某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，在地平面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A、C兩點(diǎn)間的距離為a米，從A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角（）約為，，求①AD的長度，②的值？（由學(xué)生作答）
圖1
解：作
4、CEAD交AD于E，在Rt中，CE=，AE=，在 Rt中，，ED=，從而計(jì)算出AD=， 在Rt中，AB==，在Rt中， cos15==。
二、 問題懸念，激發(fā)知識(shí)矛盾
你認(rèn)為cos15= cos（45—30）= cos45—cos30正確嗎？學(xué)生答出cos45=，sin45=,cos30=，sin30= 。經(jīng)驗(yàn)證顯然不成立。
學(xué)生會(huì)猜想出cos15= cos（45—30）= cos45 cos30+ sin45 s
5、in30
或sin45 cos30+ cos45 sin30，這樣引發(fā)困惑，激起決策欲望。通過特殊驗(yàn)證，讓學(xué)生計(jì)算cos10= cos（30—20）= cos30 cos20+ sin30 sin20，還是sin30 cos20+ cos30 sin20，作出初步選擇，學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)計(jì)算可猜想出初步結(jié)論，培養(yǎng)直覺的數(shù)學(xué)觀察能力。教師也可以通過《幾何畫板》來直覺猜想，作相應(yīng)的點(diǎn)撥推廣：當(dāng)45改為 ，30改為時(shí)，cos（）= cos cos+ sin sin，對(duì)任意的，是否成立？拋出問題，激發(fā)探索的欲望。要提醒學(xué)生我們先從均為銳角情形下來推導(dǎo)，驗(yàn)證。我們?nèi)杂脠D1來解決問題，所用知識(shí)只是初中平面幾何
6、知識(shí)和三角函數(shù)定義。
圖2
解：Rt中，cos（）=，令A(yù)C=a=1，此時(shí)，cos（）=AB，在Rt中，cos =，sin= ，在Rt中，cos=AE，sin=CE，在Rt中，=tan，從而發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系：cos（）=AB= cosAD= cos（AE+ED），AE+ED= cos+ED= cos+EC tan= cos+ sintan，cos（）= cos（cos+ sintan）= coscos+ sin sin
這樣處理，放低了知識(shí)要求，學(xué)生容易推導(dǎo)，激發(fā)推導(dǎo)欲望。
三、展開聯(lián)想，回歸定義引申
由于涉及的是三角函數(shù)問題，學(xué)生會(huì)考慮回到基礎(chǔ)定義，可用單位圓上的三角函數(shù)線來推
7、導(dǎo)，教師要利用多媒體，積極引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷作角——找線——找探求過程中的等量關(guān)系。方法1是教材中已有（從略），關(guān)鍵在于羅列已有條件，利用幾何直觀尋找OM的表達(dá)式。但有學(xué)生不是利用圖3作角的方法，于是有圖4所示。
圖3
解：作，，，ACOB于C，連AB，A（cos，sin），B（cos，sin），則cos（）=OC，AC=sin（），在Rt中，AC= sin（），
CB=1-cos（），又因?yàn)锳C+BC=AB
所以[sin（）]+[1—cos（）]
=[ cos—cos]+[ sin—sin]
從而得到：
圖
8、4
cos（）= coscos+ sin sin
四、 多種途徑，運(yùn)用向量推導(dǎo)
以上推導(dǎo)過程都是在 都是銳角，且>的情況下得到，而且推導(dǎo)過程和推廣工作非常艱難，學(xué)生在第二章已學(xué)習(xí)向量是解決幾何問題的有力工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。我們可通過提出問題暗示，從合情推理過渡到邏輯推理。在第二章向量中用什么知識(shí)可求cos的值？這種開放性提問暗示，學(xué)生的眼光會(huì)發(fā)出色彩，開拓了學(xué)生思維的空間。人教版已有，這里從略。在探索過程中，我們不必追求一步到位，先不理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，抓住線索，明確目標(biāo)進(jìn)行探索，然后再反思在哪些方面需要完善，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般方法。一方面引導(dǎo)學(xué)生朝著正確的目標(biāo)前進(jìn)，體會(huì)向量方法
9、的作用；另一方面，采用設(shè)問的方式，關(guān)注學(xué)生思維的漏洞，幫助學(xué)生完善。通過多種途徑思考，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，對(duì)向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積運(yùn)算有了進(jìn)一步的理解。同時(shí)，推導(dǎo)過程的補(bǔ)充完善，對(duì)形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)有益處。事實(shí)上，在《幾何畫板》中對(duì)角移動(dòng)，可推出來補(bǔ)充完善。
五、 反思過程，提煉解題方法
有學(xué)生對(duì)圖4作稍微改變，有了最精華的推導(dǎo)方法，圖5所示
解：作，，
作， C（1，0）
利
10、用相等圓心角所對(duì)弦長相等，
所以AB=CD
C
∴[ cos—cos]+[ sin—sin]
圖5= sin（）+[1—cos（）]
圖5
cos（）= coscos+ sin sin
這時(shí)，對(duì)任意的角都成立。
在反思以上學(xué)生的推導(dǎo)過程，提煉出如此經(jīng)典的方法，真是“柳暗花明又一村”，我用贊賞的眼光大膽地表揚(yáng)了學(xué)生。學(xué)生在“試一試”、“猜一猜”、“證一證”、“用一用”過程中，體會(huì)到向量是好東西，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性與藝術(shù)性是相結(jié)合的。在忠于教材，又不拘泥于教材的處理過程中，通過合作學(xué)習(xí)，合理探索，互動(dòng)交流，學(xué)生的學(xué)習(xí)是舒適的。在發(fā)掘、歸納、不斷提升，增厚了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。培養(yǎng)了
11、學(xué)生的理性精神和嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度。在運(yùn)用多種途徑解決問題過程中，發(fā)散學(xué)生的思維，提高處理問題的能力，有助于理解公式，深化加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的修養(yǎng)。在對(duì)知識(shí)探索的過程中，在學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，學(xué)生有所感悟、有所體驗(yàn)、有所提高，同時(shí)感受、理解知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，形成了數(shù)學(xué)的科學(xué)精神和創(chuàng)新思維的習(xí)慣。從學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法出發(fā)，在教師引導(dǎo)下提出解決問題的門徑，引導(dǎo)學(xué)生“自得”，激發(fā)了學(xué)生的探究精神和主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來。
我思：通過以上四個(gè)層次的推導(dǎo)過程，是符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律，貼近學(xué)生實(shí)際知識(shí)水平，同時(shí)學(xué)生感受到學(xué)習(xí)過程中不斷猜想，不斷否定，不斷修正，從特殊到一般的思維過程，體現(xiàn)了探究過程中“大膽設(shè)想，小心
12、求證”。好像是在建設(shè)青藏鐵路，體會(huì)了獲取知識(shí)的艱難和喜悅，在冰山雪地中尋找美麗的雪蓮花，經(jīng)歷了登山的樂趣。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)是美麗的，數(shù)學(xué)能提高我們學(xué)習(xí)的能力，數(shù)學(xué)是有趣的，數(shù)學(xué)是有用的。學(xué)生會(huì)投入更大的熱情來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
我想這樣的設(shè)計(jì)符合認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)過程是快樂的，研究問題是從特殊到一般的思維過程。通過探究和證明不但培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，而且培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力及優(yōu)異的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。又體現(xiàn)了“大膽猜想，小心求證”的教學(xué)思想，使學(xué)習(xí)過程變成火熱的思考過程。研究數(shù)學(xué)題像是在尋求“空谷中的幽蘭，高寒中的杜鵑，老林中的人參，冰山上的雪蓮，絕頂上的靈芝，抽象思維的牡丹?！睆穆鋵?shí)知識(shí)為出
13、發(fā)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生能力為歸宿點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，確定目標(biāo)，分析任務(wù)，同時(shí)了解學(xué)生的實(shí)際知識(shí)水平，作些必要的搭橋設(shè)計(jì)活動(dòng)，是符合學(xué)生認(rèn)知的心理特征的。從困惑中展開聯(lián)想，從一題多解激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，從“猶抱琵琶半遮面”，到“千呼萬喚始出來”過程中，彈奏出推導(dǎo)方法的多樣性。學(xué)生會(huì)自覺投入到探索數(shù)學(xué)問題中來。
在“算一算”、“試一試”、“猜一猜”、“證一證”的過程中，不拘泥于教材，又忠于教材的處理是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)性和藝術(shù)性相統(tǒng)一。在對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的反思，對(duì)新課程的理念的思考，對(duì)教材的分析的基礎(chǔ)上，通過合作學(xué)習(xí)，合理探索，師生互動(dòng)的教學(xué)過程中，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，
14、逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。在以教學(xué)內(nèi)容為知識(shí)載體，以教學(xué)目標(biāo)為靈魂出發(fā)點(diǎn)的探索過程，通過一題多解，縱向聯(lián)系，多種途徑推導(dǎo)，聚沙成塔，日積月累，能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)和鍥而不舍的科學(xué)精神。
我思：高中數(shù)學(xué)的公式課很重要。重點(diǎn)要放在探索過程中，可以分成五個(gè)步驟：
創(chuàng)設(shè)問題情形，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望。注重公式如何發(fā)現(xiàn)，要貼近學(xué)生實(shí)際水平，要前后呼應(yīng)。
培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，呼喚公式的出現(xiàn)。這個(gè)過程是自然的，學(xué)生聽起來是舒適的。
深化加強(qiáng)理性認(rèn)識(shí)。對(duì)有不嚴(yán)謹(jǐn)之處請(qǐng)學(xué)生補(bǔ)充完善。著重理性文化的滲透，形成批判性的理性思維。
多種途徑探索，有助于理解公式，形成能力。
歸納公式的結(jié)構(gòu)特征與練習(xí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是美麗的，增厚學(xué)習(xí)的興趣。通過變式練習(xí)，鞏固落實(shí)知識(shí)的目標(biāo)。
參考文獻(xiàn)：
1.《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》必修4、人教版 2004年5月第一版
2.《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2003年4月
3.《教學(xué)目標(biāo)——不該被因?yàn)檫z忘的教學(xué)起點(diǎn)》 蔣亮 《數(shù)學(xué)通報(bào)》 2005.6
高中數(shù)學(xué)論文：對(duì)《兩角差的余弦公式》推導(dǎo)的思索
