12、次數(shù)，且記
且對(duì)任意實(shí)數(shù)，有
此定理由定理1馬上就得出，也就是說(shuō)定理2是定理1的推論．
例2 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20％,以表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)．
(1)寫(xiě)出的分布列;
(2)求被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值．
解:(1) 服從的二項(xiàng)分布,即
(2)利用隸莫弗---拉普拉斯中心極限定理,有
這表明被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值為0．9437．
2．3
13、獨(dú)立不同分布情形下的中心極限定理
對(duì)于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列只要它們的方差有窮，中心極限定理就成立．而在實(shí)際問(wèn)題中說(shuō)諸具有獨(dú)立性是常見(jiàn)的，但是很難說(shuō)諸是“同分布”的隨機(jī)變量，正如前面提到的測(cè)量誤差的產(chǎn)生是由大量“微小的”相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的，即則間具有獨(dú)立性，但不一定同分布，所以我們有必要討論獨(dú)立不同分布隨機(jī)變量和的極限分布問(wèn)題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件．林德伯格(Lideberg)于1922年找到了獨(dú)立隨機(jī)變量服從中心極限定理的最一般的條件，通常稱做林德伯格條件．
2．3．1林德貝格中心極限定理
設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 滿足林德貝格條件，則對(duì)任意的，有
14、
為證此，先證下列三個(gè)不等式：對(duì)任意實(shí)數(shù)，有
； (4)
(5)
(6)
實(shí)際上，對(duì)上三式明顯．設(shè)，則
；
；
利用，可見(jiàn)（4）（5）（6）方都是的偶函數(shù)，故他們對(duì)也成立．
定理三的證明，
15、先把記號(hào)簡(jiǎn)化．令
（7）
以、分別表的特征函數(shù)與分布函數(shù)，因而
（8）
， （9）
（10）
在這些記號(hào)下，由（6）
故林德貝格條件可化為：對(duì)任意，
； （11）
而(2)式化為：對(duì)均勻的有
16、
（12）
如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數(shù)
亦即
（13）
那么根據(jù)定理3．2．3[4]，（12）成立；再由定理3．1．3，（12）中收斂對(duì)還是均勻的，于是定理3得以證明．現(xiàn)在也就是只要證出（13）成立 則問(wèn)題得證
為了證明（13），分兩步．
（甲）先證可展開(kāi)為
17、
， （14）
其中函數(shù)在任意有窮區(qū)間內(nèi)趨于
實(shí)際上，由（9）中前一式
（15）
根據(jù)（5）
． （16）
其中任意．由（11），對(duì)一切充分大的有；從而關(guān)于
及任何有限區(qū)間中的，同時(shí)有
因而對(duì)任意，均勻的有
．
18、 （17）
特別，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切充分大的，下式成立：
（18）
因此，在中，有展開(kāi)式
（19）
其中
由（18）
；
但由（16）中第一個(gè)不等式及（10）
19、
故
由（17）可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，關(guān)于任意有窮區(qū)間中的均勻的有
（20）
（乙）令
由（15）得
． （21）
如果能夠證明：對(duì)任意有窮區(qū)間中的均勻的有
． (22)
那么以（21）代入（14）并聯(lián)合（甲）中的
20、結(jié)論即得證(13),而且（13）中的收斂對(duì)任意有窮區(qū)間內(nèi)的均勻，從而定理得以完全證明．
今證（22），由（10）
對(duì)任意，
由（4）（5）得
由（10）可見(jiàn)：對(duì)，有
（23）
對(duì)任意，可選使
又由（11），存在正整數(shù)，使對(duì)此及，有
21、 （24）
于是當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，有
2．3．2李雅普諾夫中心極限定理
如對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)列，存在常數(shù)，使當(dāng)時(shí)有
（25）
則（2）對(duì)均勻的成立．
證．只要驗(yàn)證林德貝格條件滿足，由（25）
例3 一份考卷由99個(gè)題目組成,并按由易到難順序排列．某學(xué)生答對(duì)第1題的概率為0．99
22、;答對(duì)第2題的概率為0．98;一般地，他答對(duì)第題的概率為．加入該學(xué)生回答各題目是相互獨(dú)立的，并且要正確回答其中60個(gè)題目以上（包括60個(gè)）才算通過(guò)考試．試計(jì)算該學(xué)生通過(guò)考試的可能性多大？
解 設(shè)
于是相互獨(dú)立，且服從不同的二點(diǎn)分布：
而我們要求的是
．
為使用中心極限定理，我們可以設(shè)想從開(kāi)始的隨機(jī)變量都與同分布．且相互獨(dú)立．下面我們用來(lái)驗(yàn)證隨機(jī)變量序列滿足李雅普諾夫條件（25），因?yàn)?
，
，
于是
，
即滿足李雅普諾夫條件（25），所以可以使用中心極限定理．
23、 又因?yàn)?
所以該學(xué)生通過(guò)考試的可能性為
．
由此看出：此學(xué)生通過(guò)考試的可能性很小，大約只有千分之五．
2．4本章小結(jié)
這一章從獨(dú)隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的定理引入了中心極限定理的內(nèi)容，可分為分獨(dú)立同分布和不同分布兩種情況下討論隨機(jī)變量的分布趨于正態(tài)分布的情況．由于極限定理的研究直接聯(lián)系到大n場(chǎng)合的二項(xiàng)分布的計(jì)算，所以我們也通過(guò)一些例子來(lái)討論二項(xiàng)分別的近似計(jì)算問(wèn)題．最后通過(guò)舉出反例，以及在相同條件下比較大數(shù)定律與中心極限
24、定理，說(shuō)明了中心極限定理在近似計(jì)算中更精確．至于中心極限定理名稱的得來(lái)是由于隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布的極限定理的研究在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)間內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此也得到了中心極限定理的名稱．
3 中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用
3．1 水房擁擠問(wèn)題
假設(shè)某高校有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開(kāi)水房，由于每天傍晚打開(kāi)水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向?qū)W校后勤集團(tuán)公司提議增設(shè)水龍頭．假設(shè)后勤集團(tuán)公司經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1％的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭數(shù)量為45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問(wèn)題是：
?。?）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？
25、?。?）需至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？
解：
（1）設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為，則
～B（5000，0．01）
擁擠的概率是
直接計(jì)算相當(dāng)麻煩，我們利用隸莫佛-拉普拉斯定理．已知n=5000,p=0．01，q=0．99，
故
從而 ．怪不得同學(xué)們有不少的抱怨．擁擠的概率竟達(dá)到76．11%．
（2）欲求m，使得
即
由于
即
查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得
即
故需要裝62個(gè)水龍
26、頭．
問(wèn)題的變形：
（3）需至少安裝多少個(gè)水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？
解：欲求m，使得
即
由于 ?。?6
即
查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得
即
故需要裝67個(gè)水龍頭．
（4）若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個(gè)，其余的條件不變,1,2兩問(wèn)題結(jié)果如何？
解：（1）．
（2） 同上．
（5）若條件中的每個(gè)學(xué)生占用由1%提高到1．5%，其余的條件不變，則（1），（2）兩問(wèn)題結(jié)果如何?
解：(1) 設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭
27、的人數(shù)為，則
～B（5000，0．015），
已知n=5000,p=0．015，q=0．985，
擁擠的概率是
擁擠的概率竟達(dá)到100%．
(2) 欲求m，使得
即
由于
即
查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得
即
故需要裝90個(gè)水龍頭．
3．2設(shè)座問(wèn)題
甲、乙兩戲院在競(jìng)爭(zhēng)500名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾完全隨意地選擇一個(gè)戲院，且觀眾之間選擇戲院是彼此獨(dú)立的，問(wèn)每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位才能保證觀眾因缺少座位而離開(kāi)的概率小于5%．
解： 由
28、于兩個(gè)戲院的情況相同，故只需考慮甲戲院即可．設(shè)甲戲院需設(shè)m個(gè)座位，設(shè)
則
若用X表示選擇甲戲院的觀眾總數(shù)，則
問(wèn)題化為求m使
即
因?yàn)?
由隸莫佛-拉普拉斯中心極限定理
查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知 ，
從而解得，
即每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)269個(gè)座位．
3．3盈利問(wèn)題
盈利問(wèn)題[5]：假設(shè)一家保險(xiǎn)公司有10000個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0．006，死亡時(shí)，家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)
（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率有多少？
（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于400
29、00元，60000元，80000元的概率各為多少？
解： 設(shè)為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則，即
由德莫佛－拉普拉斯中心極限定理
(1)
≈7809
（2）設(shè)分別表示一年的利潤(rùn)不少于40000元，60000元，80000元的事件，則
3．4抽樣檢驗(yàn)問(wèn)題
抽樣檢驗(yàn)問(wèn)題[6]：某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某藥品對(duì)醫(yī)治一種疑難的血液病治愈率為0．8．醫(yī)院檢驗(yàn)員任取100個(gè)服用此藥的病人，如果其中多于75個(gè)治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言．（1）若實(shí)際上此藥對(duì)這種病的治愈是0．8，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少？（2）若實(shí)際上此藥對(duì)這種病的治愈率是0．
30、7，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少？
解： 引入隨機(jī)變量
表示抽查的100個(gè)人中被治愈的人數(shù)，則
（1）
實(shí)際治愈率為0．8時(shí)，接受這一斷言的概率為0．8944．
（2）
實(shí)際治愈率為0．7時(shí)，接受這一斷言的概率為0．1379．
3．5供應(yīng)問(wèn)題
假設(shè)某車間有200臺(tái)車床獨(dú)立地工作著，開(kāi)工率各為0．6，開(kāi)工時(shí)耗電各
31、為1000瓦，問(wèn)供電所至少要給該車間多少電力，才能使99．9％的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？
解: 設(shè)任一時(shí)刻工作著的機(jī)床數(shù)為，則服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，該時(shí)刻的耗電量為千瓦，如果用表示供電所給該車間的最少電力，則此題所求即為：取何值時(shí)，有
查表得
解之得
即只要給該車間141千瓦的電力，就能以99．9％的概率保證該車間不會(huì)因電力不足而影響生產(chǎn)．
結(jié) 語(yǔ)
概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理．概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景．在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的
32、影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的．中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象．本文主要問(wèn)題和研究方向，即系統(tǒng)的闡明兩種分布的極限定理及進(jìn)行詳盡的證明，及對(duì)中心極限定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，可以使讀者輕松牢固的掌握中心極限定理．中心極限定理，是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理．這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件．中心極限定理是刻畫(huà)有些即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量，但它們的總和漸進(jìn)地服從正態(tài)分布．本文通過(guò)實(shí)例介紹了中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用，化抽象的理論概念為身邊的實(shí)際例子．利于大家對(duì)這一定理的理解及對(duì)數(shù)理
33、統(tǒng)計(jì)方法的掌握．這是我們數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中要重視與探索的問(wèn)題之一．
第 23 頁(yè) 共 23頁(yè)
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附錄
林德貝格條件：
設(shè)是一個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列，它們具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：
，，．，
其中是獨(dú)立隨機(jī)變量序列和．
則只要對(duì)任意的，有
．
中心極限定理探討及應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文
