《高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式階段質(zhì)量評(píng)估 北師大版選修45》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式階段質(zhì)量評(píng)估 北師大版選修45（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
階段質(zhì)量評(píng)估(一) 不等關(guān)系與基本不等式
A卷 (時(shí)間：60分鐘 滿分：80分)
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．若a，b為實(shí)數(shù)，則“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：當(dāng)0＜ab＜1時(shí)，若b＞0，則a＜；若b＜0，則b＞.反之，a＜?a－＜0?b(ab－1)＜0.當(dāng)b＞0時(shí)，ab＜1；當(dāng)b＜0時(shí)，ab＞1.同理，當(dāng)b＞時(shí)，若a＞0，
則ab＞1；若a＜0，則ab＜1.所以“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分
2、不必要條件．
答案：A
2．不等式|5x－x2|＜6的解集為( )
A．{x|x＜2或x＞3} B．{x|－1＜x＜6}
C．{x|－1＜x＜2或3＜x＜6} D．{x|2＜x＜3}
解析：∵|5x－x2|＜6?－6＜5x－x2＜6?
∴－1＜x＜2或3＜x＜6.
答案：C
3．對(duì)任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋
|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.
答案：C
4．若關(guān)于x的不等式|ax＋2|＜6的解集為(
3、－1,2)，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：|ax＋2|＜6?－8＜ax＜4.
當(dāng)a＞0時(shí)，－＜x＜.
∵解集是(－1,2)，
∴解得兩值矛盾．
當(dāng)a＜0時(shí)，＜x＜－.
由得a＝－4.
答案：C
5．若0＜x＜，則x2(1－2x)有( )
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
解析：x2(1－2x)＝xx(1－2x)
≤3＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)．
答案：B
6．若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：由題意，得a
4、b＞0且3a＋4b＞0.所以a＞0，b＞0.又log4(3a＋4b)＝log2，所以3a＋4b＝ab.所以＋
＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥
7＋2＝7＋4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝4＋
2，b＝3＋2 時(shí)等號(hào)成立．
答案：D
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)
7．設(shè)a，b∈R，給出下列條件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；
⑤ab＞1.
其中能推出“a，b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是________.
解析：對(duì)于①，a，b均可小于1；對(duì)于②，a，b均可等于1；對(duì)于④⑤，a，b均可為負(fù)數(shù)；對(duì)
5、于③，若a，b都不大于1，則a＋b≤2，與③矛盾．故若③成立，則“a，b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”成立．
答案：③
8．函數(shù)y＝4sin2xcos x的最大值與最小值的差是________.
解析：∵y2＝16sin2xsin2xcos2x＝8(sin2xsin2x2cos2x)
≤83＝8＝，
當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝2cos2x，即tan x＝時(shí)取等號(hào)，
∴y2≤.∴ymax＝，ymin＝－.
∴ymax－ymin＝.
答案：
9．設(shè)常數(shù)a＞0，若關(guān)于x的不等式9x＋≥a＋1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
解析：由題意，可知當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝9
6、x＋≥2＝
6a≥a＋1，即a≥，當(dāng)且僅當(dāng)9x＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立．
答案：
三、解答題(本大題共3小題，共35分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
10．(本小題滿分10分)已知ab≠0.
求證：lg≥.
證明：因?yàn)閍b≠0，
所以|a|＞0，|b|＞0.
由平均值不等式，得≥＞0.
因?yàn)楹瘮?shù)y＝lg x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，
所以lg≥lg＝，
當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)等號(hào)成立．
故lg≥.
11．(本小題滿分12分)已知a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c.
求證：＋＞.
證明：假設(shè) ＋≤，
則1－＋1－≤1－，
即1＋≤＋.
∵
7、(1＋a)(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋b)≤(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋c)，
即(c＋2)(1＋a)(1＋b)≤(1＋c)(a＋b＋2)，
∴2ab＋abc＋a＋b≤c. ①
∵a＋b＞c，a>0，b>0，c＞0，
∴a＋b＋2ab＋abc＞c，與①矛盾．
∴假設(shè)不成立．
∴＋＞成立．
12．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，關(guān)于x的不等式f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若關(guān)于x的不等式≤k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.
又關(guān)于x的不
8、等式f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}，
所以當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，－≤x≤，則a＝2.
(2)法一 記h(x)＝f(x)－2f，
則h(x)＝
所以|h(x)|≤1.所以k≥1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，＋∞)．
法二?。絴|2x＋1|－2|x＋1||
＝2≤1.
由關(guān)于x的不等式≤k恒成立，可知k≥1.
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，＋∞)．
B卷 (時(shí)間：60分鐘 滿分：80分)
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b的大小
9、關(guān)系是( )
A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b
C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b
解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex＜1(x＜0)，∴a＞b.
答案：A
2．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，則下列不等式不恒成立的是( )
A．(a＋3)2＜2a2＋6a＋11
B．a(chǎn)2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2
D．－＜－
解析：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2＜0，故A恒成立．在B項(xiàng)中，不等式的兩側(cè)同時(shí)乘a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0.所以B項(xiàng)中的不等式恒成立．對(duì)C項(xiàng)中的不等
10、式，當(dāng)a＞b時(shí)，恒成立；當(dāng)a＜b時(shí)，不恒成立．由不等式＜恒成立，知D項(xiàng)中的不等式恒成立．
答案：C
3．已知x＞0，y＞0，則下列關(guān)系式成立的是( )
A．(x2＋y2)＞(x3＋y3) B．(x2＋y2)＝(x3＋y3)
C．(x2＋y2)＜(x3＋y3) D．(x2＋y2)≤(x3＋y3)
解析：假設(shè)(x2＋y2)＞(x3＋y3)成立，下面給出證明．
要證明(x2＋y2)＞(x3＋y3)，
只需證(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即證3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.
∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0
11、.
即證3x2＋3y2＞2xy.
∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2＞2xy成立．
∴(x2＋y2)＞(x3＋y3).
答案：A
4．下列函數(shù)中，當(dāng)x取正數(shù)時(shí)，最小值為2的是( )
A．y＝x＋ B．y＝lg x＋
C．y＝＋ D．y＝sin x＋(0＜x＜π)
解析：y＝x＋≥2＝4，A項(xiàng)錯(cuò)；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，lg x≤0，
B項(xiàng)錯(cuò)；當(dāng)＝時(shí)，x＝0，不符合題意，y＝＋≥2的等號(hào)取不到，C項(xiàng)錯(cuò)；y＝sin x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sin x＝1，即x＝時(shí)取等號(hào)，D項(xiàng)正確．
答案：D
5．若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，則( )
A．
12、∠B＝ B．∠B＜
C．∠B＞ D．∠B＞
解析：假設(shè)∠B≥，則b最大．有b＞a，b＞c.
∴＞，＞.∴＋＞，與題意中的＋＝矛盾．∴∠B＜.
答案：B
6．設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2，a＋＝4，則＋的最大值為( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：依題意，得4＝a＋≥2.則a≤4，即a2b≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a2＝4時(shí)等號(hào)可以取到．因?yàn)閤＝loga2，y＝logb2，所以＋＝2log2a＋log2b＝log2a2b≤log216＝4，即＋的最大值為4.
答案：A
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把正確答案填在題中的
13、橫線上)
7．使關(guān)于x的不等式|x＋1|＋k＜x有解的實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
解析：|x＋1|＋k＜x，即|x＋1|＜x－k，
若x≥－1時(shí)有解，即有解，則1＜－k成立．故k＜－1.若x＜－1時(shí)有解，即有解，則＜－1，即k＜－1.綜上，k＜－1.
答案：(－∞，－1)
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|2x－a|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2＋1對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析：當(dāng)＜1，即a＜2時(shí)，
f(x)＝則有f(x)min＝f＝
－a＋1≥a2＋1恒成立．解得－2≤a≤0.
當(dāng)＞1，即a＞2時(shí)，
f(x)＝
則有f(x)m
14、in＝f＝a－1≥a2＋1恒成立，該不等式無(wú)實(shí)數(shù)解．
當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝3|x－1|，則有f(x)min＝f(1)＝0≥a2＋1恒成立，該不等式無(wú)實(shí)數(shù)解．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2,0]．
答案：[－2,0]
9．已知a＞0，b＞0，給出下列四個(gè)不等式：
①a＋b＋≥2；
②(a＋b)≥4；
③≥a＋b；
④a＋≥－2.
其中正確的不等式有________.(只填序號(hào))
解析：由a＞0，b＞0，得
①a＋b＋≥2＋
≥2＝2.
②(a＋b)≥4 ＝4.
③∵≥，
∴a2＋b2≥＝(a＋b)≥(a＋b).
∴≥a＋b.
④a＋＝(a＋4)＋－4
≥
15、2 －4＝2－4＝－2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＋4＝，即(a＋4)2＝1時(shí)等號(hào)成立，∵a＞0，
∴(a＋4)2≠1.∴等號(hào)不能取得．
答案：①②③
三、解答題(本大題共3小題，共35分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
10．(本小題滿分10分)若n∈N＋，求證：＋＋…＋＜.
證明：∵＜＝，
∴＋＋…＋＜＋＋…＋
＝＝＜.
故原不等式得證．
11．(本小題滿分12分)設(shè)x＞－1，求函數(shù)y＝的最小值．
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝＝
＝(x＋1)＋5＋
≥2＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立．
∴函數(shù)y的最小值是9.
12．(本小題
16、滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|－m，m∈R，且關(guān)于x的不等式f(x－2)≤0的解集為[－3,1]．
(1)求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥.
(1)解：f(x－2)＝|x－2＋3|－m≤0，
即|x＋1|≤m，
所以m≥0，且－m≤x＋1≤m.
所以－1－m≤x≤－1＋m.
又原不等式的解集為[－3,1]，故m＝2.
(2)證明：由(1)，得m＝2.則a＋b＋c＝2.所以＋＋＝(a＋b＋c)＝
[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝
≥(3＋2＋2＋2)＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立．
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式階段質(zhì)量評(píng)估 北師大版選修45
