高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式專題訓(xùn)練 北師大版選修45

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1、 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 本章整合提升 1．(2016全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 所以不等式f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a， 所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3等價(jià)于 |1－a|

2、＋a≥3.① 當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無解． 當(dāng)a＞1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． 2．(2015湖南卷)設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝＋. 證明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時(shí)成立． 證明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立． (2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時(shí)成立， 則由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1. 同理0＜b＜1.從而ab＜1，這與ab＝1矛盾． 故a2＋a＜2與b2＋b＜

3、2不可能同時(shí)成立． 3．已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)＜3； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為1，求a的值． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝ 且f(1)＝f(－1)＝3， 所以不等式f(x)＜3的解集為{x|－1＜x＜1}． (2)|2x－a|＋|x＋1|＝＋|x＋1|＋≥＋0＝， 當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)≤0且x－＝0時(shí)取等號(hào)， 所以＝1.解得a＝－4或a＝0. 4．(2016全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在圖中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖像； (2)求不等式|f(x

4、)|＞1的解集． 解：(1)f(x)＝ 由分段函數(shù)的圖像畫法，可得f(x)的圖像，如圖． (2)由|f(x)|＞1，可得 當(dāng)x≤－1時(shí)，|x－4|＞1，解得x＞5或x＜3.所以x≤－1. 當(dāng)－1＜x＜時(shí)，|3x－2|＞1，解得x＞1或x＜.所以－1＜x＜或1＜x＜. 當(dāng)x≥時(shí)，|4－x|＞1，解得x＞5或x＜3.所以 x＞5或≤x＜3. 綜上，x＜或1＜x＜3或x＞5. 故不等式|f(x)|＞1的解集為∪(1, 3)∪(5，＋∞)． 5．已知函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽. (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若實(shí)數(shù)m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足＋＝ n時(shí)，求7a＋4

5、b的最小值． 解：(1)∵函數(shù)定義域?yàn)镽， ∴關(guān)于x的不等式|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立． 設(shè)g(x)＝|x＋1|＋|x－3|， 則m不大于函數(shù)g(x)的最小值． ∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即函數(shù)g(x) 的最小值為4， ∴m≤4. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，4]． (2)由(1)，知n＝4. ∴7a＋4b ＝[(6a＋2b)＋(a＋2b)] ＝ ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝時(shí)取等號(hào)． ∴7a＋4b的最小值為. 6．設(shè)a>0，b>0，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求證： (1)a＋b＋c≥； (

6、2) ＋＋≥(＋＋)． 證明：(1)由于a>0，b>0，c＞0，要證a＋b＋c≥， 只需證(a＋b＋c)2≥3， 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3. 而ab＋bc＋ca＝1， 故只需證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)， 即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而這可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)證得． 所以原不等式成立． (2) ＋＋＝. 在(1)中已證a＋b＋c≥. 要證原不等式成立， 只需證≥＋＋， 即證a＋b＋c≤ab＋bc＋ca， ∵a≤，b≤，c≤， ∴a＋b

7、＋c≤ab＋bc＋ca. ∴ ＋＋≥(＋＋)． 7．設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1.求證： (1)＋＋≥8； (2)2＋2≥. 證明：(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2，即≤.∴≥4. ∴＋＋＝(a＋b)＋ ≥22＋4＝8. ∴＋＋≥8. (2)∵≤ ， ∴≥2. ∴2＋2≥22＝ ≥≥. ∴2＋2≥. 8．某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖所示)．如果池四周圍墻建造單價(jià)為400 元/m，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248 元/m，池底建造單價(jià)為80 元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)． (1)試設(shè)計(jì)污水處

8、理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)； (2)由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過16 m，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)． 解：(1)設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x m，則寬為m. 設(shè)總造價(jià)為y元，則有 y＝2x400＋800＋2482＋80200 ＝800x＋＋16 000 ≥2＋16 000 ＝44 800， 當(dāng)且僅當(dāng)800x＝，即x＝18 時(shí)取等號(hào)． ∴當(dāng)污水池的長(zhǎng)為18 m、寬為 m時(shí)，總造價(jià)最低，為44 800元． (2)∵0＜x≤16,0＜≤16， ∴12.5≤x≤16. 由(1)，知y＝φ(x)＝800＋16 000(12.5≤x≤1

9、6)． 對(duì)任意x1，x2∈[12.5,16]，設(shè)x1＜x2， 則φ(x1)－φ(x2) ＝800 ＝＞0. ∴φ(x1)＞φ(x2)． 故函數(shù)y＝φ(x)在區(qū)間[12.5,16]上為減函數(shù)． 從而有φ(x)≥φ(16)＝45 000. ∴當(dāng)污水池的長(zhǎng)為16 m、寬為12.5 m時(shí)，有最低總造價(jià)，最低總造價(jià)為45 000元． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375