高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.1 指數(shù)函數(shù) 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學設計 新人教A版必修1

《高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.1 指數(shù)函數(shù) 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學設計 新人教A版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.1 指數(shù)函數(shù) 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學設計 新人教A版必修1（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.1.2　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 教學內(nèi)容分析 本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(1)》(人教A版)第二章第一節(jié)第二課(2.1.2)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》．根據(jù)實際情況，將《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》劃分為三節(jié)課〔指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(1)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(2)〕，這是第一節(jié)課“指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)”．指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，作為常見函數(shù)，它不僅是今后學習對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用，所以指數(shù)函數(shù)應重點研究． 學生學習情況分析 指數(shù)函數(shù)是在學生系統(tǒng)學習了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)性質(zhì)的基礎上進行研究的，是學生

2、對函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應用．教材在之前的學習中給出了兩個實際例子(GDP的增長問題和碳14的衰減問題)，已經(jīng)讓學生感受到了指數(shù)函數(shù)的實際背景，但這兩個例子的背景對于學生來說有些陌生．本節(jié)課先設計一個看似簡單的問題，通過超出想象的結(jié)果來激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望． 設計思想 1．函數(shù)及其圖象在高中數(shù)學中占有很重要的位置．如何突破這個既重要又抽象的內(nèi)容，其實質(zhì)就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機地結(jié)合起來，通過具有一定思考價值的問題，激發(fā)學生的求知欲望——持久的好奇心．我們知道，函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，以往的函數(shù)的學習大多只關(guān)注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直

3、觀性，只是從一個角度看函數(shù)，是片面的．本節(jié)課力圖讓學生從不同的角度去研究函數(shù)，對函數(shù)進行一個全方位的研究，并通過對比總結(jié)得到研究的方法，讓學生去體會這種研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去． 2．在本節(jié)課的教學中我努力實踐以下兩點： (1)在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索的學習方式． (2)在教學過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究數(shù)學的方法． 3．通過課堂教學活動向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法． 教學目標 根據(jù)學生的實際情況，本節(jié)課的教學目標是：理解指數(shù)函數(shù)的概

4、念，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象；在理解指數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)的基礎上，能應用所學知識解決簡單的數(shù)學問題；在教學過程中通過類比，回顧歸納從圖象和解析式這兩種不同角度研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學方法，加深對指數(shù)函數(shù)的認識，讓學生在數(shù)學活動中感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思想方法之重要；同時通過本節(jié)課的學習，使學生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法；培養(yǎng)學生主動學習、合作交流的意識． 重點難點 教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)． 教學難點：對底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 一、創(chuàng)設情境、提出問題(約3分鐘) 師：如果讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備6粒米，4號同學準

5、備8粒米，5號同學準備10粒米，……，按這樣的規(guī)律，51號同學該準備多少粒米？ 學生回答后教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51號同學該準備102粒米，大約5克重． 師：如果改成讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備8粒米，4號同學準備16粒米，5號同學準備32粒米，……，按這樣的規(guī)律，51號同學該準備多少粒米？ 學情預設 學生可能說出很多或能算出具體數(shù)目． 師：大家能否估計一下51號同學該準備的米有多重嗎？ 教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51號同學所需準備的大米約重1.2億噸． 師：1.2億噸是一個什么概念？根據(jù)2007年9月13日美國農(nóng)業(yè)部發(fā)布的最新數(shù)據(jù)顯示，2007～200

6、8年度我國大米產(chǎn)量預計為1.27億噸．這就是說51號同學所需準備的大米相當于2007～2008年度我國全年的大米產(chǎn)量！ 設計意圖 用一個看似簡單的實例，為引出指數(shù)函數(shù)的概念做準備；同時通過與一次函數(shù)的對比讓學生感受指數(shù)函數(shù)的爆炸增長，激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望． 在以上兩個問題中，每位同學所需準備的米粒數(shù)用y表示，每位同學的座號數(shù)用x表示，y與x之間的關(guān)系分別是什么？ 學生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)． 學情預設 學生可能會漏掉x的取值范圍，教師要引導學生思考具體問題中x的取值范圍． 二、師生互動、探究新知 1．指數(shù)函數(shù)的定義 師：其實，在本章開頭的

7、問題中，也有一個與y＝2x類似的關(guān)系式y(tǒng)＝1.073x(x∈N*，x≤20)． (1)讓學生思考討論以下問題(問題逐個給出，約3分鐘)： ①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)這兩個解析式有什么共同特征？ ②它們能否構(gòu)成函數(shù)？ ③是我們學過的哪個函數(shù)？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個恰當?shù)拿郑? 設計意圖 引導學生從具體問題、實際問題中抽象出數(shù)學模型．學生對比已經(jīng)學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)y＝2x，y＝1.073x是一個新的函數(shù)模型，再讓學生給這個新的函數(shù)命名，由此激發(fā)學生的學習興趣． 引導學生觀察，兩個函數(shù)中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自

8、變量． 師：如果可以用字母a代替其中的底數(shù)，那么上述兩式就可以表示成y＝ax的形式．自變量在指數(shù)位置，所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)． (2)讓學生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義(約6分鐘)． 對于底數(shù)的分類，可將問題分解為： ①若a＜0，會有什么問題？(如a＝－2，x＝，則在實數(shù)范圍內(nèi)相應的函數(shù)值不存在) ②若a＝0，會有什么問題？(對于x≤0，ax都無意義) ③若a＝1又會怎么樣？(1x無論x取何值，它總是1，對它沒有研究的必要) 師：為了避免上述各種情況的發(fā)生，所以規(guī)定a＞0且a≠1. 在這里要注意生生之間、師生之間的對話． ①若學生從教科書中已經(jīng)看到指數(shù)函數(shù)的定義，教師可以問，為

9、什么要求a＞0，且a≠1；a＝1為什么不行？ ②若學生只給出y＝ax，教師可以引導學生通過類比一次函數(shù)(y＝kx＋b，k≠0)、反比例函數(shù)(y＝，k≠0)、二次函數(shù)(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)中的限制條件，思考指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的限制條件．學情預設 設計意圖 ①對指數(shù)函數(shù)中底數(shù)限制條件的討論可以引導學生研究一個函數(shù)應注意它的實際意義和研究價值； ②討論出a＞0，且a≠1，也為下面研究性質(zhì)時對底數(shù)的分類做準備． 接下來教師可以問學生是否明確了指數(shù)函數(shù)的定義，能否寫出一兩個指數(shù)函數(shù)？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學生判斷，如y＝23x，y＝32x，y＝－2x. 學情預設 學生可能只

10、是關(guān)注指數(shù)是否是變量，而不考慮其他的． 設計意圖 加深學生對指數(shù)函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解． 2．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) (1)提出兩個問題(約3分鐘) ①目前研究函數(shù)一般可以包括哪些方面？ 設計意圖 讓學生在研究指數(shù)函數(shù)時有明確的目標：函數(shù)三要素(對應法則、定義域、值域)和函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性)． ②研究函數(shù)(比如今天的指數(shù)函數(shù))可以怎么研究？用什么方法、從什么角度研究？ 可以從圖象和解析式這兩個不同的角度進行研究；可以從具體的函數(shù)入手(即底數(shù)取一些數(shù)值)；當然也可以用列表法研究函數(shù)，只是今天我們所學的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質(zhì)，可見具體問題要選擇適當?shù)姆椒▉硌芯坎?/p>

11、能事半功倍！還可以借助一些數(shù)學思想方法來思考． 設計意圖 ①讓學生知道圖象法不是研究函數(shù)的唯一方法，由此引導學生可以從圖象和解析式(包括列表)兩個不同的角度對函數(shù)進行研究； ②對學生進行數(shù)學思想方法(從一般到特殊再到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論)的有機滲透． (2)分組活動，合作學習(約8分鐘) 師：下面我們就從圖象和解析式這兩個不同的角度對指數(shù)函數(shù)進行研究． ①讓學生分為兩大組，一組從解析式的角度入手(不畫圖)研究指數(shù)函數(shù)，一組借助電腦通過幾何畫板的操作從圖象的角度入手研究指數(shù)函數(shù)； ②每一大組再分為若干合作小組(建議4人一小組)； ③每組都將研究所得到的結(jié)論或成果寫出來以便交流

12、． 學情預設 考慮到各組的水平可能有所不同，教師應巡視，對個別組可做適當?shù)闹笇В? 通過自主探索、合作學習，不僅讓學生充當學習的主人更可加深對所得到結(jié)論的理解．設計意圖 (3)交流、總結(jié)(約10～12分鐘) 師：下面我們開一個成果展示會！ 教師在巡視過程中應關(guān)注各組的研究情況，此時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果，并對比從兩個角度入手研究的結(jié)果． 教師可根據(jù)上課的實際情況對學生發(fā)現(xiàn)、得出的結(jié)論進行適當?shù)狞c評或要求學生分析．這里除了研究定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，再引導學生注意是否還有其他性質(zhì)？ 師：各組在研究過程中除了定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外是否還得到一些有價值的

13、副產(chǎn)品呢？ 學情預設 ①首先選一個從解析式的角度研究的小組上臺匯報； ②對于從圖象的角度研究的，可先選沒對底數(shù)進行分類的小組上臺匯報； ③問其他小組有沒有不同的看法，上臺補充，讓學生對底數(shù)進行分類，引導學生思考哪個量決定著指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以什么為分界，教師可以馬上通過電腦操作看函數(shù)圖象的變化． 設計意圖 ①函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，通過這個活動，讓學生知道研究一個具體的函數(shù)可以從多個角度入手，從圖象角度研究只是能直觀的看出函數(shù)的一些性質(zhì)，而具體的性質(zhì)還是要通過對解析式的論證；特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的． ②讓學生上臺匯報研究成果，使學生有種

14、成就感，同時還可訓練其對數(shù)學問題的分析和表達能力，培養(yǎng)其數(shù)學素養(yǎng)； ③對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進行分類是本課的一個難點，讓學生在討論中自己解決分類問題，使該難點的突破顯得自然． 師：從圖象入手我們很容易看出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及過定點(0,1)，但定義域、值域卻不可確定；從解析式(結(jié)合列表)可以很容易得出函數(shù)的定義域、值域，但對底數(shù)的分類卻很難想到． 教師通過幾何畫板中改變參數(shù)a的值，追蹤y＝ax的圖象，在變化過程中，讓全體學生進一步觀察指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律． 師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，教師可以邊總結(jié)邊板書． 圖象 0＜a＜1 a＞1 定義域 R 值域 (0，＋

15、∞) 性質(zhì) 過定點(0,1) 非奇非偶 在R上是減函數(shù) 在R上是增函數(shù) 三、鞏固訓練、提升總結(jié)(約8分鐘) 1．例：已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． 解：因為f(x)＝ax的圖象經(jīng)過點(3，π)，所以f(3)＝π， 即a3＝π.解得，于是f(x)＝. 所以f(0)＝1，f(1)＝，f(－3)＝. 設計意圖 通過本題加深學生對指數(shù)函數(shù)的理解． 師：根據(jù)本題，你能說出確定一個指數(shù)函數(shù)需要什么條件嗎？ 師：從方程思想來看，求指數(shù)函數(shù)就是確定底數(shù)，因此只要一個條件，即布列一個方程就可以了． 設計意

16、圖 讓學生明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的要素，同時向?qū)W生滲透方程的思想． 2．練習：(1)在同一平面直角坐標系中畫出y＝3x和y＝x的大致圖象，并說出這兩個函數(shù)的性質(zhì)； (2)求下列函數(shù)的定義域：①；②. 3．師：通過本節(jié)課的學習，你對指數(shù)函數(shù)有什么認識？你有什么收獲？ 學情預設 學生可能只是把指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)一下，教師要引導學生談談對函數(shù)研究的學習，即怎么研究一個函數(shù)． 設計意圖 ①讓學生再一次復習對函數(shù)的研究方法(可以從多個角度進行)，讓學生體會本節(jié)課的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去． ②總結(jié)本節(jié)課中所用到的數(shù)學思想方法． ③強調(diào)各種研究數(shù)學的方法之間有區(qū)別又

17、有聯(lián)系，相互作用，才能融會貫通． 4．作業(yè)：課本習題2.1A組　5. 1．本節(jié)課改變了以往常見的函數(shù)研究方法，讓學生從不同的角度去研究函數(shù)，對函數(shù)進行一個全方位的研究，不僅僅是通過對比總結(jié)得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，更重要的是讓學生體會到對函數(shù)的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”． 2．教學中借助信息技術(shù)可以彌補傳統(tǒng)教學在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的不足，可以很容易的化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率，本節(jié)課使用幾何畫板可以動態(tài)地演示出指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的變化過程，讓學生直觀地觀察底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響． 3．在教學過程中不斷向

18、學生滲透數(shù)學思想方法，讓學生在活動中感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思想方法之重要，部分學生還能自覺地運用這些數(shù)學思想方法去分析、思考問題． 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用 三維目標 1．知識與技能 理解指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會利用性質(zhì)來解決問題． 2．過程與方法 能利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來比較兩個值的大小，圖象間的平移，去探索利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求未知字母的取值范圍． 3．情感、態(tài)度與價值觀 在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，努力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識． 重點難點 教學重點：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 教學難點：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應

19、用． 第2課時　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(1) 作者：王建波 導入新課 思路1．復習導入：我們前一節(jié)課學習了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，下面我們一起回顧一下指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．如何利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解決一些問題，這就是本堂課要講的主要內(nèi)容．教師板書課題． 思路2．我們在學習指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點，并且是用類比和歸納的方法得出，在理論上，我們能否嚴格的證明(特別是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)，以便于我們在解題時應用這些性質(zhì)，本堂課我們要解決這個問題．教師板書課題：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(1)． 例1 比較下列各題中的兩個值的大?。? (1)1.72.5與1

20、.73；(2)0.8－0.1與0.8－0.2；(3)1.70.3與0.93.1. 活動：學生自己思考或討論，回憶比較數(shù)的大小的方法，結(jié)合題目實際，選擇合理的方法，再寫出答案(最好用實物投影儀展示寫得正確的答案)．比較數(shù)的大小，一是作差，看兩個數(shù)差的符號，若為正，則前面的數(shù)大； 圖1 二是作商，但必須是同號數(shù)，看商與1的大小，再決定兩個數(shù)的大??；三是計算出每個數(shù)的值，再比較大?。凰氖抢脠D象；五是利用函數(shù)的單調(diào)性．教師在學生中巡視其他學生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正并評價． 解法一：用數(shù)形結(jié)合的方法，如第(1)小題，用圖形計算器或計算機畫出y＝1.7x的圖象，如圖1. 在圖象上找出橫坐

21、標分別為2.5,3的點，顯然，圖象上橫坐標為3的點在橫坐標為2.5的點的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法二：用計算器直接計算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91， 所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函數(shù)單調(diào)性， (1)1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7，它們可以看成函數(shù)y＝1.7x，當x＝2.5和3時的函數(shù)值；因為1.7＞1，所以函數(shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73； (2)0.8－0.1與0.8

22、－0.2的底數(shù)是0.8，它們可以看成函數(shù)y＝0.8x，當x＝－0.1和－0.2時的函數(shù)值；因為0＜0.8＜1，所以函數(shù)y＝0.8x在R上是減函數(shù)，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2； (3)因為1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1. 點評：在第(3)小題中，可以用解法一、解法二解決，但解法三不適合．由于1.70.3與0.93.1不能直接看成某個函數(shù)的兩個值，因此，在這兩個數(shù)值間找到1，把這兩數(shù)值分別與1比較大小，進而比較1.70.3與0.93.1的大小，這里的1是中間值． 思考 在上面的解法中，你認為哪種方法更實用

23、？ 活動：學生對上面的三種解法作比較，解題有法但無定法，我們要采取多種解法，在多種解法中選擇最優(yōu)解法，這要通過反復練習強化來實現(xiàn)． 變式訓練 1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，按大小順序排列a，b，c. 解：b＜a＜c(a、b可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，而c是大于1的)． 2．比較與的大小(a＞0且a≠1)． 解：分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論：當0＜a＜1時，； 當a＞1時，. 例2 用函數(shù)單調(diào)性的定義證明指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性． 活動：教師點撥提示定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要按規(guī)定的格式書寫

24、． 證法一：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則 y2－y1＝． 因為a＞1，x2－x1＞0，所以，即－1＞0. 又因為＞0，所以y2－y1＞0，即y1＜y2. 所以當a＞1時，y＝ax，x∈R是增函數(shù)． 同理可證，當0＜a＜1時，y＝ax是減函數(shù)． 證法二：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則y2與y1都大于0，則＝. 因為a＞1，x2－x1＞0，所以＞1，即＞1，y1＜y2. 所以當a＞1時，y＝ax，x∈R是增函數(shù)． 同理可證，當0＜a＜1時，y＝ax是減函數(shù)． 變式訓練 若指數(shù)函數(shù)y＝(2a－1)x是減函數(shù)，則a的取值范圍是多少？ 解：由題可知0＜2a－1＜1，即

25、＜a＜1. 例3 截止到1999年底，我國人口約13億，如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少(精確到億)? 活動：師生共同討論，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式，建立目標函數(shù)，常采用特殊到一般的方式，教師引導學生注意題目中自變量的取值范圍，可以先考慮一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題： 1999年底　人口約為13億； 經(jīng)過1年　人口約為13(1＋1%)億； 經(jīng)過2年　人口約為13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2億； 經(jīng)過3年　人口約為13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3億； …… 經(jīng)過x年　人口約為13

26、(1＋1%)x億； 經(jīng)過20年　人口約為13(1＋1%)20億． 解：設今后人口年平均增長率為1%，經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為y億，則 y＝13(1＋1%)x， 當x＝20時，y＝13(1＋1%)20≈16(億)． 答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億． 點評：類似此題，設原值為N，平均增長率為p，則對于經(jīng)過時間x后總量y＝N(1＋p)x(x∈N)，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)． 1．函數(shù)y＝a|x|(a＞1)的圖象是(　　) 圖2 解析：當x≥0時，y＝a|x|＝ax的圖象過(0,1)點，在第一象限

27、，圖象下凸，是增函數(shù)． 答案：B 2．下列關(guān)系中正確的是(　　) A． B． C． D． 答案：D 3．已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,1)，那么f(2x)的定義域是(　　) A．(0,1) B． C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析：由題意得0＜2x＜1，即0＜2x＜20，所以x＜0，即x∈(－∞，0)． 答案：C 4．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，則(　　) A．AB B．AB C．A＝B D．A∩B＝ 解析：A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≥0}，所以AB. 答案：A

28、 5．對于函數(shù)f(x)定義域中的任意的x1、x2(x1≠x2)，有如下的結(jié)論： ①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③＞0；④f＜. 當f(x)＝10x時，上述結(jié)論中正確的是__________． 解析：因為f(x)＝10x，且x1≠x2，所以f(x1＋x2)＝＝f(x1)f(x2)，所以①正確； 因為f(x1x2)＝＝f(x1)＋f(x2)，②不正確； 因為f(x)＝10x是增函數(shù)，所以f(x1)－f(x2)與x1－x2同號， 所以＞0，所以③正確． 因為函數(shù)f(x)＝10x圖象如圖3所示是上凹下凸的，可解得④正確． 圖

29、3 答案：①③④ 另解：④.∵10x1＞0,10x2＞0，x1≠x2， ∴.∴， 即.∴＞f. 在同一坐標系中作出下列函數(shù)的圖象，討論它們之間的聯(lián)系． (1)①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1； (2)①y＝x，②y＝x－1，③y＝x＋1. 活動：學生動手畫函數(shù)圖象，教師點撥，學生沒有思路，教師可以提示．學生回憶函數(shù)作圖的方法與步驟，按規(guī)定作出圖象，特別是關(guān)鍵點． 解：如圖4及圖5. 觀察圖4可以看出，y＝3x，y＝3x＋1，y＝3x－1的圖象間有如下關(guān)系： y＝3x＋1的圖象由y＝3x的圖象左移1個單位得到； y＝3x－1的圖象由y＝3x的圖象右移1個

30、單位得到； y＝3x－1的圖象由y＝3x＋1的圖象向右移動2個單位得到． 觀察圖5可以看出，y＝x，y＝x－1，y＝x＋1的圖象間有如下關(guān)系： y＝x＋1的圖象由y＝x的圖象左移1個單位得到； y＝x－1的圖象由y＝x的圖象右移1個單位得到； y＝x－1的圖象由y＝x＋1的圖象向右移動2個單位得到． 你能推廣到一般的情形嗎？同學們留作思考． 思考 本節(jié)課我們主要學習了哪些知識，你有什么收獲？把你的收獲寫在筆記本上. 活動：教師用多媒體顯示以下內(nèi)容，學生互相交流學習心得，看是否與多媒體顯示的內(nèi)容一致． 本節(jié)課，在復習舊知識的基礎上學習了數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想，加

31、深了對問題的分析能力，形成了一定的能力與方法． 課本習題2.1 B組　1,3,4. 本節(jié)課主要是復習鞏固指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，涉及的內(nèi)容較多，要首先組織學生回顧指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為此，必須利用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，借助形的直觀性解決問題，本節(jié)課要訓練學生能夠恰當?shù)貥?gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，有時要分a＞1,0＜a＜1，這是分類討論的思想，因此加大了習題和練習的量，目的是讓學生在較短的時間內(nèi)，掌握學習的方法，提高分析問題和解決問題的能力，要加快速度，多運用現(xiàn)代化的教學手段． 第3課時　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(2) 作者：劉玉亭 導入新課 思路1．我們在學

32、習指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點，并且是用類比和歸納的方法得出，在上節(jié)課的探究中我們知道，函數(shù)①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的圖象之間的關(guān)系，由其中的一個可得到另外兩個的圖象，那么，對y＝ax與y＝ax＋m(a＞0，m∈R)有著怎樣的關(guān)系呢？在理論上，含有指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)是否具有奇偶性呢？這是我們本堂課研究的內(nèi)容．教師點出課題：指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(2)． 思路2．我們在第一章中，已學習了函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性和奇偶性是某些函數(shù)的重要特點，我們剛剛學習的指數(shù)函數(shù)，嚴格地證明了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，便于我們在解題時應用這些性質(zhì)，在實際生活中，往往遇到的不單單是指數(shù)函

33、數(shù)，還有其他形式的函數(shù)，有的是指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)，我們需要研究它的單調(diào)性和奇偶性，這是我們面臨的問題，也是我們本節(jié)課要解決的問題——指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用(2)． 推進新課 (1)指數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？ (2)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟有哪些？ (3)對復合函數(shù)，如何證明函數(shù)的單調(diào)性？ (4)如何判斷函數(shù)的奇偶性，有哪些方法？ 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容． 討論結(jié)果：(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax在底數(shù)a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示

34、： a＞1 0＜a＜1 圖 象 圖 象 特 征 圖象分布在一、二象限，與y軸相交，落在x軸的上方 都過點(0,1) 第一象限的點的縱坐標都大于1；第二象限的點的縱坐標都大于0且小于1 第一象限的點的縱坐標都大于0且小于1；第二象限的點的縱坐標都大于1 從左向右圖象逐漸上升 從左向右圖象逐漸下降 性 質(zhì) (1)定義域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1 (4)x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1 (4)x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1 (5)在R上是增函數(shù) (5)在R上是減函數(shù) (2)依據(jù)函

35、數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是： ①取值．即設x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值且x1＜x2. ②作差變形．即求f(x2)－f(x1)，通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形． ③定號．根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號確定f(x2)－f(x1)的符號，當符號不確定時，可以進行分類討論． ④判斷．根據(jù)單調(diào)性定義作出結(jié)論． (3)對于復合函數(shù)y＝f(g(x))可以總結(jié)為： 當函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相同時，復合函數(shù)y＝f(g(x))是增函數(shù)； 當函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相異即不同時，復合函數(shù)y＝f(g(x))是減函數(shù)； 又簡稱為口訣“同增異

36、減”． (4)判斷函數(shù)的奇偶性： 一是利用定義法，即首先是定義域關(guān)于原點對稱，再次是考查式子f(x)與f(－x)的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性； 二是作出函數(shù)圖象或從已知圖象觀察，若圖象關(guān)于原點或y軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性． 例1 在同一坐標系下作出下列函數(shù)的圖象，并指出它們與指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象的關(guān)系． (1)y＝2x＋1與y＝2x＋2；(2)y＝2x－1與y＝2x－2. 活動：教師適當時候點撥，學生回想作圖的方法和步驟，特別是指數(shù)函數(shù)圖象的作法，學生回答并到黑板上作圖，教師指點學生，列出對應值表，抓住關(guān)鍵點，特別是(0,1)點，或用計算機作圖． 解：(1)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作

37、出圖象如圖6. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … 2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 … 2x＋1 … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 … 2x＋2 … 0.5 1 2 4 8 16 32 … 圖6 比較可知函數(shù)y＝2x＋1、y＝2x＋2與y＝2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向左平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x＋1的圖象；將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向左平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x＋2的圖象． (2)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如圖7. x

38、 … －3 －2 －1 0 1 2 3 … 2x … 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 … 2x－1 … 0.062 5 0.125 0.25 0.5 1 2 4 … 2x－2 … 0.031 25 0.062 5 0.125 0.25 0.5 1 2 … 圖7 比較可知函數(shù)y＝2x－1、y＝2x－2與y＝2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向右平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x－1的圖象；將指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象向右平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y＝2x－2的圖象． 點評：類似地

39、，我們得到y(tǒng)＝ax與y＝ax＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之間的關(guān)系： y＝ax＋m(a＞0，m∈R)的圖象可以由y＝ax的圖象變化而來． 當m＞0時，y＝ax的圖象向左移動m個單位得到y(tǒng)＝ax＋m的圖象； 當m＜0時，y＝ax的圖象向右移動|m|個單位得到y(tǒng)＝ax＋m的圖象． 上述規(guī)律也簡稱為“左加右減”． 變式訓練 為了得到函數(shù)y＝2x－3－1的圖象，只需把函數(shù)y＝2x的圖象(　　) A．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 B．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 C．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 D．向左平移3個單位長度，再向上平移1

40、個單位長度 答案：A 點評：對于有些復合函數(shù)的圖象，常用變換方法作出. 例2 已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求a，b的值； (2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范圍． 活動：學生審題，考慮解題思路．求值一般是構(gòu)建方程，求取值范圍一般要轉(zhuǎn)化為不等式，如果有困難，教師可以提示，(1)從條件出發(fā)，充分利用奇函數(shù)的性質(zhì)，由于定義域為R，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，(2)在(1)的基礎上求出f(x)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，利用恒成立問題再轉(zhuǎn)化． (1)解：因為f(x)是奇函數(shù)， 所以f(0)＝0，即＝0?b

41、＝1.所以f(x)＝； 又由f(1)＝－f(－1)知＝－?a＝2. (2)解法一：由(1)知f(x)＝＝－＋，易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)． 又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 等價于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)為減函數(shù)，由上式推得： t2－2t＞k－2t2，即對一切t∈R有3t2－2t－k＞0， 從而判別式Δ＝4＋12k＜0，∴k＜－. 解法二：由(1)知f(x)＝. 又由題設條件得， 即. 整理得，因底數(shù)2＞1，故3t2－2t－k＞0， 上式對一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12

42、k＜0，即k＜－. 點評：記住下列函數(shù)的增減性，對解題是十分有用的，若f(x)為增(減)函數(shù)，則為減(增)函數(shù)． 求函數(shù)y＝|1＋2x|＋|x－2|的單調(diào)區(qū)間． 活動：教師提示，因為指數(shù)含有兩個絕對值，要去絕對值，要分段討論，同時注意底數(shù)的大小，分析出指數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用復合函數(shù)的單調(diào)性學生思考討論，然后解答． 解：由題意可知2與－是區(qū)間的分界點． 當x＜－時，因為y＝－1－2x－x＋2＝1－3x＝23x－1＝8x， 所以此時函數(shù)為增函數(shù)． 當－≤x＜2時，因為y＝1＋2x－x＋2＝3＋x＝2－3－x＝x， 所以此時函數(shù)為減函數(shù)． 當x≥2時，因為y

43、＝1＋2x＋x－2＝3x－1＝21－3x＝2x， 所以此時函數(shù)為減函數(shù)． 當x1∈，x2∈[2，＋∞)時，因為， 又因為1－3x2－(－3－x1)＝4－3x2＋x1＝4＋x1－3x2＜0，所以1－3x2＜－3－x1， 即. 所以此時函數(shù)為減函數(shù)． 綜上所述，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 設m＜1，f(x)＝，若0＜a＜1，試求： (1)f(a)＋f(1－a)的值； (2)f＋f＋f＋…＋f的值． 活動：學生思考，觀察，教師提示學生注意式子的特點，做這種題目，一定要有預見性，即第(2)問要用到第(1)問的結(jié)果，聯(lián)系函數(shù)的知識解決． 解：(1)f(a)＋f(1

44、－a)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1. (2)f＋f＋f＋…＋f ＝＋＋…＋ ＝5001＝500. 點評：第(2)問是第(1)問的繼續(xù)，第(1)問是第(2)問的基礎，兩個問題是銜接的，利用前一個問題解決后一個問題是我們經(jīng)常遇到的情形，要注意問題與問題之間的聯(lián)系． 本節(jié)課復習了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用，我們對函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性又進行了復習鞏固，利用單調(diào)性和奇偶性解決了一些問題，對?？嫉暮瘮?shù)圖象的變換進行了學習，要高度重視，在不斷學習中升華提高． 課本習題2.1B組　2. 指數(shù)函數(shù)作為一類基本的初等函數(shù)，它雖然不具有函數(shù)通性中的奇偶性，但是它與其他函數(shù)復合構(gòu)成具

45、有比較復雜的單調(diào)性的函數(shù)，同時也可以復合出比較特殊的奇函數(shù)和偶函數(shù)，判斷復合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性要十分小心，嚴格按規(guī)定的要求，有時借助數(shù)形結(jié)合可幫我們找到解題思路，本堂課是在以前基礎上的提高與深化，同時又兼顧了高考?？嫉膬?nèi)容，因此涉及面廣，容量大，要集中精力，加快速度，高質(zhì)量完成教學任務． 富蘭克林的遺囑與拿破侖的諾言 富蘭克林利用放風箏而感受到電擊，從而發(fā)明了避雷針．這位美國著名的科學家死后留下了一份有趣的遺囑： “……一千英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆錢應該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息．這些錢過了1

46、00年增加到131 000英鎊．我希望那時候用100 000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的31 000英鎊拿去繼續(xù)生息100年．在第二個100年末了，這筆錢增加到4 061 000英鎊，其中1 061 000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的3 000 000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理．過此之后，我可不敢主張了！” 你可曾想過：區(qū)區(qū)的1 000英鎊遺產(chǎn)，竟立下幾百萬英鎊財產(chǎn)分配的遺囑，是“信口開河”，還是“言而有據(jù)”呢？事實上，只要借助于復利公式，同學們完全可以通過計算而作出自己的判斷． yn＝m(1＋a)n就是復利公式，其中m為本金，a為年利率，yn為n年后本金與利息的總和．在第

47、一個100年末富蘭克林的財產(chǎn)應增加到：y100＝1 000(1＋5%)100≈131 501(英鎊)，比遺囑中寫的還多出約501英鎊．在第二個100年末，遺產(chǎn)就更多了：y100′＝31 501(1＋5%)100≈4 142 421(英鎊)．可見富蘭克林的遺囑是有科學根據(jù)的． 遺囑故事啟示我們：在指數(shù)效應下，微薄的財產(chǎn)，低廉的利率，可以變得令人瞠目結(jié)舌．威名顯赫的拿破侖，由于陷進了指數(shù)效應的漩渦而使法國政府十分難堪！ 1797年，拿破侖參觀國立盧森堡小學，贈上了一束價值三個金路易的玫瑰花，并許諾只要法蘭西共和國存在一天，他將每年送一束價值相等的玫瑰花，以作兩國友誼的象征．由于連年征戰(zhàn)，拿破侖

48、忘卻了這一諾言！1894年，盧森堡王國鄭重地向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”，要求法國政府在拿破侖的聲譽和1 375 596法郎的債款中，二者選取其一．這筆巨款就是三個金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指數(shù)效應下的產(chǎn)物． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375