高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.3 映射的概念自主訓(xùn)練 蘇教版必修1

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1、 2.3 映射的概念 自主廣場(chǎng) 我夯基 我達(dá)標(biāo) 1.在從集合A到集合B的映射中,下列說(shuō)法正確的是( ) A.B中的某一個(gè)元素b的原象可能不止一個(gè) B.A中的某一個(gè)元素a的象可能不止一個(gè) C.A中的兩個(gè)不同元素所對(duì)應(yīng)的象必不相同 D.B中的兩個(gè)不同元素的原象可能相同 思路解析:映射在法則f的作用下,集合A中的任何一個(gè)元素都有象,并且象是唯一的.不要求B中的每一個(gè)元素都有原象,也就是說(shuō),象集C是集合B的子集. 答案:A 2.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,則在映射f下,象20的原象是( ) A.2

2、 B.3 C.4 D.5 思路解析:本題主要考查映射的概念,同時(shí)考查了運(yùn)算能力.因?yàn)?n+n=20,用n=2,3或4,5逐個(gè)代入,排除A、B、D,得出正確答案.∴選C. 答案:C 3.設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),則在映射f下象(2,1)的原象是( ) A.(3,1) B.(,) C.(,-) D

3、.(1,3) 思路解析:本題主要考查映射的概念及解方程的思想.由 答案:B 4.已知四個(gè)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)(如下圖),那么集合A到集合B的映射是( ) A.④ B.①④ C.②④ D.③④ 思路解析:在②中,A中的元素a2與B中的兩個(gè)元素b2、b3對(duì)應(yīng)(“象不唯一”);在③中,A中的元素a2在B中沒(méi)有元素與它對(duì)應(yīng)(“沒(méi)有象”),故②和③都不是集合A到集合B的映射.根據(jù)映射的定義,①和④是集合A到集合B的映射. 答案:B 5.下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中,判斷哪些是A到

4、B的映射,哪些是A到B的一一映射. (1)A=N,B=Z,對(duì)應(yīng)法則f:x→y=-x,x∈A,y∈B. (2)A=R+,B=R+,f:x→y=,x∈A,y∈B. (3)A={α|0≤α≤90},B={x|0≤x≤1},對(duì)應(yīng)法則f:取正弦. (4)A=N*,B={0,1},對(duì)應(yīng)法則f:除以2得的余數(shù). (5)A={-4,-1,1,4},B={-2,-1,1,2},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=|x|2,x∈A,y∈B. (6)A={平面內(nèi)邊長(zhǎng)不同的等邊三角形},B={平面內(nèi)半徑不同的圓},對(duì)應(yīng)法則f:作等邊三角形的內(nèi)切圓. 思路解析:解決的起點(diǎn)是讀懂各對(duì)應(yīng)中的法則含義,判斷的依據(jù)是映射和一一映

5、射的概念,要求對(duì)“任一對(duì)唯一”有準(zhǔn)確的理解,對(duì)問(wèn)題考慮要細(xì)致、周全. 答案:(1)是映射,不是一一映射.因?yàn)榧螧中有些元素(正整數(shù))沒(méi)有原象. (2)是映射,是一一映射.不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實(shí)數(shù),任何一個(gè)正數(shù)都存在倒數(shù). (3)是映射,是一一映射.因?yàn)榧螦中的角的正弦值各不相同,且集合B中每一個(gè)值都可以是集合A中角的正弦值. (4)是映射,不是一一映射.因?yàn)榧螦中不同元素對(duì)應(yīng)集合B中相同的元素. (5)不是映射.因?yàn)榧螦中的元素(如4)對(duì)應(yīng)集合B中兩個(gè)元素(2和-2). (6)是映射,是一一映射.因?yàn)槿魏我粋€(gè)等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓,而任何一個(gè)圓都可以是

6、一個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓.邊長(zhǎng)不同,圓的半徑也不同. 說(shuō)明:此題的主要目的在于明確映射構(gòu)成的三要素的要求,特別是對(duì)于集合A,集合B及對(duì)應(yīng)法則f有哪些具體要求,包括對(duì)法則f是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言給出時(shí)的理解. 6.給出下列關(guān)于從集合A到集合B的映射的論述,其中正確的有_____________. ①B中任何一個(gè)元素在A中必有原象; ②A中不同元素在B中的象也不同; ③A中任何一個(gè)元素在B中的象是唯一的; ④A中任何一個(gè)元素在B中可以有不同的象; ⑤B中某一元素在A中的原象可能不止一個(gè); ⑥集合A與B一定是數(shù)集; ⑦記號(hào)f:A→B與f:B→A的含義是一樣的. 思路解析:此題是對(duì)抽象的映射

7、概念的認(rèn)識(shí),理論性較強(qiáng),要求較高,判斷時(shí)可以讓學(xué)生借助具體的例子來(lái)幫助. 答案:③⑤ 7.(1)A=N,B=R,f:x→y=,x∈A,y∈ B.在f的作用下,的原象是多少?14的象是多少? (2)設(shè)集合A=N,B={偶數(shù)},映射f:A→B把集合A中的元素a映射到集合B中的元素a2-a,則在映射f下,象20的原象是多少? (3)f:A→B是從A到B的映射,其中A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:x→(x+1,x2+1),則A中元素的象是多少?B中元素(2,2)的原象是多少? 思路解析:通過(guò)此題使學(xué)生不僅會(huì)求指定元素的象與原象,而且明確求象與原象的方法. 解答:(1)由=,解得

8、x=6,故的原象是6; 又,故14的象是. (2)由a2-a=20解得a=5或a=-4,又a∈N,故a=5,即20的原象是5. (3)的象是(+1,3),由解得x=1,故(2,2)的原象是1. 8.已知集合A={x│x≠0,x∈R},B=R,對(duì)應(yīng)法則是“取負(fù)倒數(shù)”. (1)畫圖表示從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)(在集合A中任取四個(gè)元素); (2)判斷這個(gè)對(duì)應(yīng)是否為從集合A到集合B的映射; (3)元素-2的象是什么?-3的原象是什么? (4)能不能構(gòu)成從集合B到集合A的映射? 答案:(1) (2)因?yàn)槊恳粋€(gè)非零實(shí)數(shù)(即A中任意一個(gè)元素)都有唯一的負(fù)倒數(shù)在實(shí)數(shù)集中(即在法則“取負(fù)倒

9、數(shù)”下,都在集合B中有且只有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)),所以這個(gè)對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射. (3)元素-2的象是-2的負(fù)倒實(shí)數(shù),-3的原象是-3的負(fù)倒實(shí)數(shù). (4)因?yàn)锽中有一個(gè)元素“0”,而在集合A中沒(méi)有負(fù)倒數(shù)為0的元素與之對(duì)應(yīng),即集合B中不是任意一個(gè)元素在A中都存在非零實(shí)數(shù)以其為負(fù)倒數(shù),所以由集合B到集合A構(gòu)不成映射. 9.設(shè)集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},其中a、k∈N,(映射f:A→B,使B中元素y=3x+1與A中元素x對(duì)應(yīng),求a及k的值. 思路解析:∵B中元素y=3x+1與A中元素x對(duì)應(yīng),A中元素1的象是-4,A中元素2的象是7,A中元素3的象是1

10、0,故有a4=10或a2+3a=10.而a∈N,所以由a2+3a=10解得a=2;由k的象是a4,得3k+1=24,解得k=5. 答案:a=2;k=5. 10.(1)已知集合A={a1,a2},B={b1,b2},試問(wèn)從集合A到集合B的所有不同的映射有多少種? (2)已知集合A={a1,a2},B={b1,b2,b3},試問(wèn)從集合A到集合B的所有不同的映射有多少種? 思路解析:當(dāng)所給集合中的元素?cái)?shù)目不大時(shí),可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不同的映射;若不然,可采用分析的方法解之. 解答:(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4種不同的映射(見(jiàn)下圖). (2)分A中元素對(duì)應(yīng)B中

11、同一元素和A中元素對(duì)應(yīng)B中不同元素兩種情形考慮.A中2個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中相同元素的對(duì)應(yīng)有3個(gè),這時(shí)有3種不同的映射;A中2個(gè)元素同時(shí)對(duì)應(yīng)B中2個(gè)不同的元素的對(duì)應(yīng)有6個(gè),這時(shí)有6種不同的映射.所以,集合A到集合B的所有不同的映射一共有9種. 我綜合 我發(fā)展 11.以下對(duì)應(yīng)不是從集合M到集合N的映射的是( ) A.M={P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)},N=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點(diǎn)與它代表的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng) B.M={P|P是平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)},N={(x,y)|x、y∈R},對(duì)應(yīng)關(guān)系f:平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它代表的坐標(biāo)對(duì)應(yīng) C.M={x|x是三角形},N={x|x是圓},對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它

12、的內(nèi)切圓 D.M={x|x是新華中學(xué)的班級(jí)},N={x|x是新華中學(xué)的學(xué)生},對(duì)應(yīng)關(guān)系f:每個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里的學(xué)生 思路解析:考查映射的概念.據(jù)映射的概念,在對(duì)應(yīng)法則f下從A到B的映射,是指集合A中任意一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng),而集合B中的元素可以無(wú)原象,由此可知四個(gè)選項(xiàng)中A、B、C均正確,只有D不符合要求,故選D. 答案:D 12.已知集合A={1,2,3,a},B={4,7,b4,b2+3b},其中a∈N*,b∈N*.若x∈A,y∈B,映射f:A→B使B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng).求a和b的值. 思路解析:利用原象與象的關(guān)系,建立關(guān)于a和b的方程組. 解

13、答:∵A中元素x對(duì)應(yīng)B中元素y=3x+1, ∴A中元素1的象是4,2的象是7,3的象是10. ∴b4=10或b2+3b=10. 又b∈N*, ∴b2+3b-10=0.解之,得b=2. ∵a的象是b4=16,∴3a+1=16.解之,得a=5. 我創(chuàng)新 我超越 13.集合M={a,b,c},N={-1,0,1},映射f:M→N滿足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么映射f:M→N的個(gè)數(shù)是( ) A.3 B.4 C.5 D.7 思路解析:∵f(a)∈N,f(b)∈

14、N,f(c)∈N且f(a)+f(b)+f(c)=0, ∴有0+0+0=0+1+(-1)=0. 當(dāng)f(a)=f(b)=f(c)=0時(shí),只有一個(gè)映射; 當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0,而另兩個(gè)分別為1、-1時(shí),有=6個(gè)映射.因此所求映射的個(gè)數(shù)為1+6=7. 答案:D 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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