高中物理 第6章 相對論與天體物理 6.3 廣義相對論初步教案 魯科版選修34

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1、 廣義相對論初步 狹義相對論在慣性系里研究物理規(guī)律，不能處理引力問題。 1915年，愛因斯坦在數(shù)學(xué)家的協(xié)助下，把相對性原理從慣性系推廣到任意參照系，發(fā)表了廣義相對論。由于這個理論過于抽象，數(shù)學(xué)運算過于復(fù)雜，這里只做個大概描述。 2．6．1、 非慣性系與慣性力 牛頓運動定律在慣性系里才成立，在相對慣性系做加速運動的參照系（稱非慣性系）里，會出現(xiàn)什么情況呢？例如，在一列以加速度 做直線運動的車廂里，有一個質(zhì)量為m的小球，小球保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運動定律。相對于非慣性系的車廂來觀測，小球以加速度-向后運動，而小球沒有受到其他物體力的作用，牛頓運動定律不再成立。

2、 不過，車廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力，把牛頓運動定律寫為。這樣的力不是其他物體的作用，而是由參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力。如果一非慣性系以加速度相對慣性系而運動，則在此非慣性里，任一質(zhì)量為m的物體受到一慣性力，把慣性力計入在內(nèi)，在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律。當(dāng)汽車拐彎做圓周運動時，相對于地面出現(xiàn)向心加速度，相對于車廂人感覺向外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應(yīng)是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。 2．6．2、 慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量 根據(jù)牛頓運動定律，力一定時，物體的加速度與質(zhì)量成反比，牛頓定律中的質(zhì)量度量了物體的慣性，稱為慣性質(zhì)量，以為符號，有

3、 根據(jù)萬有引力定律，兩物體（質(zhì)點）間的引力和它們的質(zhì)量乘積成正比。萬有引力定律中的質(zhì)量，類似于庫侖定律中的電荷，稱為引力質(zhì)量，以為符號。 慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量是兩個不同的概念，沒有必然相等的邏輯關(guān)系，它們是否相等，應(yīng)由實驗來檢驗。本世紀(jì)初，匈牙利物理學(xué)家厄缶應(yīng)用扭秤證明，只要單位選擇恰當(dāng)，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，實驗精度達(dá)。后來，人們又把兩者相等的實驗精度提高到。 設(shè)一物體在地面上做自由落體運動，此物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量分別為和，以代表地球的引力質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有 , 式中G為萬有引力常量，R為地球半徑，g為物體下落的加速度。

4、因為，所以，與物體的質(zhì)量無關(guān)。這就是伽利略自由落體實驗的結(jié)論。 既然慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等，就可以簡單地應(yīng)用質(zhì)量一詞，并應(yīng)用相同的單位。質(zhì)量也度量了物質(zhì)的多少。 2．6．3、 廣義相對論的基本原理 愛因斯坦提出廣義相對論，主要依據(jù)就是引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的實驗事實。既然引力質(zhì)量和慣性相等，就無法把加速坐標(biāo)系中的慣性力和引力區(qū)分開來。比如，在地面上，物體以的加速度向下運動。這是地球引力作用的結(jié)果。設(shè)想在沒有引力的太空，一個飛船以做直線運動（現(xiàn)在可以做到），宇航員感受到慣性力，力的方向與a的方向相反，這時他完全可以認(rèn)為是受到引力的作用。勻加速的參照系與均勻引力場等效，這是愛因斯坦提出的等

5、效原理的特殊形式。因為引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，所以，在均勻引力場中，不同的物體以相同的加速度運動。這也是伽利略自由落體實驗的結(jié)果。它可一般敘述為：在引力場中，如無其他力作用，任何質(zhì)量的質(zhì)點的運動規(guī)律都相同。這是等效原理的另一種表述。 由于等效原理，相對于做加速運動的參照系來觀測，任一質(zhì)點的運動規(guī)律都是引力作用的結(jié)果，具有相同的規(guī)律形式。愛因斯坦進(jìn)一步假設(shè)，相對任何一種坐標(biāo)系，物理學(xué)的基本規(guī)律都具有相同的形式。這個原理表明，一切參照系都是平等的，所以又稱為廣義協(xié)變性原理。 等效性原理和廣義協(xié)變性原理是廣義相對論的基本原理。 圖 2-6-1 水星 2．6．4、 廣義相對論的實驗驗證

6、 在廣義相對論的基本原理下，應(yīng)建立新的引力理論和運動定律，愛因斯坦完成了這個任務(wù)。這樣，牛頓運動定律和萬有引力定律成為一定條件下廣義相對論的近似規(guī)律。根據(jù)廣義相對論得出的許多重要結(jié)論，有一些已得到實驗證實。下面介紹幾例。 1、日點的進(jìn)動 按照牛頓引力理論，水星繞日作橢圓運動，軌道不是嚴(yán)格封閉的，軌道離太陽最近的點（近日點）也在做旋轉(zhuǎn)運動，稱為水星近日點的進(jìn)動，如圖2-6-1所示。理論計算和實驗觀測的水星軌道長軸的轉(zhuǎn)動速率有差異。牛頓的引力理論不能正確地給予解釋，而廣義相對論的計算結(jié)果與觀測值符合。愛因斯坦當(dāng)年給朋友寫信說：“方程給出了進(jìn)動的正確數(shù)字，你可以想象我有多高興，有好些天，我高

7、興得不知怎樣才好。” 2、光線的引力偏折 在沒有引力存在的空間，光沿直線行進(jìn)。在引力作用下，光線不再沿直線傳播。比如，星光經(jīng)過太陽附近時，光線向太陽一側(cè)偏折，如圖2-6-2所示。這已在幾次日蝕測量中得到了證實，證明廣義相對論的計算偏折δ 星球 太陽 圖2-6-2 角與觀測值相符合。 3、光譜線的引力紅移 按照廣義相對論，在引力場強的地方，鐘走得慢，在引力場弱的地方，鐘走得快。原子發(fā)光的頻率或波長?？梢暈殓姷墓?jié)奏。引力場存在的地方，原子譜線的波長加大，引力場越強，波長增加的量越大，稱這個效應(yīng)為引力紅移。引力紅移早已為恒星的光譜測量所證實。20世紀(jì)60年代，由于大大提高了時間

8、測量的精度，即使在地面上幾十米高的地方由引力場強的差別所造成的微小引力紅移，也已經(jīng)精確地測量出來。這再一次肯定了廣義相對論的正確性。 4、引力波的存在 廣義相對論預(yù)言，與電磁波相似，引力場的傳播形成引力波。星體作激烈的加速運動時，發(fā)射引力波。引力波也以光的速度傳播。雖然還沒有直接的實驗證據(jù)，但后來對雙星系統(tǒng)的觀測，給出了引力波存在的間接證據(jù)。 廣義相對論建立的初期并未引起人們的足夠重視，后來在天體物理中發(fā)現(xiàn)了許多廣義相對論對天體物理的預(yù)言，如脈沖星、致密X射線源、類星體等新奇天象的發(fā)現(xiàn)以及微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)等。這些發(fā)現(xiàn)一方面證實了廣義相對論的正確性，另一方面也大大促進(jìn)了相對論的進(jìn)一步發(fā)

9、展。 本章典型例題 例1、放射性物質(zhì)的原子放射出兩個沿相反方向運動的電子。在實驗室中測出每個電子的速率為0.6c，c是光速。今以一個電子為參照物，另一個電子的速率是多大？（1）用伽利略變換進(jìn)行計算；（2）用洛侖茲變換進(jìn)行計算。并指出哪個不合理。 y x 圖2-6-3 解: （1）設(shè)向右運動的電子為系，則按伽利略變換，在系中看另一電子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c，這與光速不變的實驗事實相矛盾，所以是不合理的。 （2）設(shè)實驗室為參照系S，一個電子參照系為，則相對于S系的速度是0.6c，另一個電子相對于S系的速度為-0.6c，按洛侖茲變換，另一個電子相對于系

10、的速度是，則 = = 這就是說，以一個電子為參照物看另一個電子的速度是0.88c＜c，即小于光速，與實驗相符合，是合理的。 例2、有一條河寬為l，其河水流速是v，船相對河水的速度為，且。今有

11、船A和B分別沿圖2-6-4（a）中所示路徑往返一次，求各需要時間多少？哪條船需時長些？ 圖2-6-4 A B v (a) S y v x yˊ (b) 解 本題是經(jīng)典力學(xué)問題，用力伽利略變換處和即可。設(shè)岸的坐標(biāo)系為S，河水的坐標(biāo)系為，如圖2-6-4（b）所示，若船相對岸的速度為u，則對于A船 ， ， . 由伽利略變換知:,則.而 = = 所以A船往返一次所需時間為 對于B船，相對于岸的往返速度分別為和，所以其往反一次所需要的時間為 因為，所以.按和展為冪級數(shù)的公式有

12、 = = 所以 , 故，即B往返一次的時間比A船往返一次的時間要長。 y S O x v Oˊ xˊ 圖2-6-5 圖2-5 例3、一個中微子在慣性系S中沿+y方向以光速c運動，求對S系以速度v沿+x方向運動的觀察者所觀測到的中微子的速度和方向怎樣？ 解: 設(shè)運動觀察者為系，他所看到的中微子的速度分量為， ，，則按洛侖茲變換 = = （令） = 因此， 即運動中的觀測者測得中微子的速度仍是c，中

13、微子的運動方向是 即中微子運動方向與軸的夾角。 例4、試證明：物體的相對論能量E與相對論動量P的量值之間有如下關(guān)系： 證明：E- pc=(mc)-(mvc) =mc( c- v)=( c- v) = c - v)= mc=E E=pc+ E 讀者可試為之，從E- E入手證明它等于pc。 例5、一個靜止質(zhì)量為m的粒子以速率 v=運動，它和一個同類的靜止粒子進(jìn)行完全非彈性碰撞。求： （1）復(fù)合粒子的速率。 （2）復(fù)合粒子的靜止質(zhì)量。 解: 在微觀領(lǐng)域相對論動量守恒、相對論能量守恒。故有

14、 ① ② ③ 將③代入②得： ④ ③與④代入①得： 即復(fù)合粒子的速率為，靜止質(zhì)量為。 例6、求證：在伽利略變換下，質(zhì)點動量定理具有不變性。 證明：在S系中， 兩邊同時作定積分得： 這就是S系中質(zhì)點的動能定理的數(shù)學(xué)公式。在系中 兩邊同時作定積分可得： 這就是系中的質(zhì)點動量定理的數(shù)學(xué)公式。為回避高等數(shù)學(xué)，可設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿x軸正方向，在平行于x軸的恒定的合外力F作用下作勻加速直線運動。經(jīng)過時間t，速度從增大到，根據(jù)牛頓第二定律在S系中

15、有 整理得： 這就是S系中的質(zhì)點動量定理。在系中， 即 此即系中的質(zhì)點動量定理。 例7、一個靜止質(zhì)量為M的物體靜止在實驗室中，裂變?yōu)殪o止質(zhì)量為和的兩部分，試求裂變產(chǎn)物的相對論動能和。 解：根據(jù)相對論能量守恒有 化簡得： ① 根據(jù)相對論動量守恒有 ② 但 將 和 代入②式化簡得: ③ 由①、③兩式可解得： ,, 例8、愛因斯坦的“等效原理”指出，

16、在不十分大的空間范圍和時間間隔內(nèi)，慣性系中引力作用下的物理規(guī)律與沒有引力但有適當(dāng)加速度的非慣性系中的物理規(guī)律是相同的?，F(xiàn)在研究以下問題。 （1）試從光量子的觀點出發(fā)，討論在地面附近的重力場中，由地面向離地面的距離為L處的接收器發(fā)射頻率為的激光與接收器接收到的頻率v之間的關(guān)系。 （2）假設(shè)地球物體沒有引力作用，現(xiàn)在一以加速度a沿直線做勻加速運動的箱子中做一假想實驗。在箱尾和箱頭處分別安裝一適當(dāng)?shù)募す獍l(fā)射器和激光接收器，兩者間的距離為L，現(xiàn)從發(fā)射器向接收器發(fā)射周期為的激光。試從地面參考系的觀點出發(fā)，求出位于箱頭處的接收器所到的激光周期T。 （3）要使上述兩個問題所得到的結(jié)論是完全等價的。則問

17、題（2）中的箱子的加速度的大小和方向應(yīng)如何？ 解: （1）對于能量為的光子，其質(zhì)量，在重力場中，當(dāng)該光子從地面到達(dá)接收器時，增加的重力勢能為mgh。由能量守恒得 得 （2）設(shè)t=0時刻，箱子從靜止開始加速，同時，激光光波的某一振動狀態(tài)從發(fā)射器發(fā)出，任何時刻t，發(fā)射器和接收器的位置分別為 所考察的振動狀態(tài)的位置和比該振動狀態(tài)晚一個周期的振動狀態(tài)的位置分別為： x=ct 設(shè)所考察的振動狀態(tài)在時刻到達(dá)接收器，則有 解得 比所考察的振動狀態(tài)晚一個周期發(fā)出的振動狀態(tài)到達(dá)接收器的時刻為，則有 解得

18、 接收器接收到的激光的周期為 T=t-t =( （3） 比較上述兩式得a=g，即“箱子”的加速度a=g方向豎直向上。 例9、考慮不用發(fā)射到繞太陽運動的軌道上辦法，要在太陽系建立一個質(zhì)量為m的靜止空間站。這個空間站有一個面向太陽的大反射面（反射系數(shù)為1），來自太陽的輻射功率L產(chǎn)生的輻射壓力使空間站受到一個背離太陽的力，此力與質(zhì)量為的太陽對空間站的萬有引力方向相反，大小相等，因而空間站處于平衡狀態(tài)。忽略行星對該站的作用力，求： （1）此空間站反射面的面積A。 （2）平衡條件和太陽與空間站之間的距離是否有關(guān)？ （3）設(shè)反射面是邊長為d的正方形，空

19、間站的質(zhì)量為千克，確定d之值。已知太陽的輻射功率是瓦。太陽質(zhì)量為千克。 解: （1）設(shè)空間站與太陽的距離為r，則太陽輻射在空間站反射面上單位面積內(nèi)的功率即光強，太陽光對反射面產(chǎn)生的壓強是光子的動量傳遞給反射面的結(jié)果，這一光壓為 于是反射面受到的輻射壓力 太陽對空間站的萬有引力為 式中G為萬有引力常數(shù)，在空間站處于平衡狀態(tài)時,,即 這就得到，反射面的面積 （2）由上面的討論可知，由于輻射壓力和太陽引力都與成反比，因而平衡條件與太陽和空間站的距離r無關(guān)。 （3）若A=。并以題給數(shù)據(jù)代入前式得到 米。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375