高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念互動課堂學案 蘇教版必修1

《高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念互動課堂學案 蘇教版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.1 函數的概念互動課堂學案 蘇教版必修1（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2．2．1　函數的單調性 互動課堂  疏導引導 2.1.1　函數的概念和圖象 1.函數的概念 一般地,設A、B是兩個非空的數集,如果按某種對應法則f,對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應,這樣對應叫做從A到B的一個函數,通常記為y=f(x),x∈A.其中所有的輸入值x組成的集合A叫做函數y=f(x)的定義域. 疑難疏引 (1)構成函數的三要素:定義域,對應法則f,值域.其中核心是對應法則f,它是聯系x和y的紐帶,是對應得以實現的關鍵,對應法則可以由多種形式給出,可以是解析法,可以是列表法和圖象法,不管是哪種形式,都必須是確定的,且使集合A中

2、的每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應.當一個函數的定義域和對應法則確定之后,值域也就唯一的確定了,所以值域是定義域這個“原材料”通過對應法則“加工”而成的“產品”.因此,要確定一個函數,只要定義域與對應法則確定即可.在函數符號y=f(x)中,f是表示函數的對應關系,等式y(tǒng)=f(x)表明,對于定義域中的任意x,在對應關系f的作用下,可得到y(tǒng),因此,f是使“對應”得以實現的方法和途徑.函數符號y=f(x)是“y是x的函數”這句話的數學表示,它不表示“y等于f與x的乘積”.f(x)可以是解析式,也可以是圖象或數表.符號f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯系.f(a)表示當自變量x=a時函數f(x)的

3、值,是一個常量;而f(x)是自變量x的函數,在一般情況下,它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值.值域是全體函數值所組成的集合.在多數情況下,一旦定義域和對應關系確定,函數的值域也就隨之確定. (2)關于函數的兩個定義實質上是一致的.初中定義的出發(fā)點是運動變化的觀點,而高中定義卻是從集合、對應的觀點出發(fā).初中階段學習的函數的概念的優(yōu)點是:直觀,生動.高中階段學習的函數的概念的優(yōu)點:更具一般性.比如按初中的定義就很難判斷下面的表達式是不是函數: f(x)= 現在用高中學的函數概念來判斷則是沒有問題的,事實上,在判斷兩個函數是不是同一個函數時,只要定義域和對應法則相同,則必為同一

4、函數,還有一點,如果三者中有一個不同,則必不是同一函數. ●案例1設對應法則f是從集合A到集合B的函數,則下列結論中正確的是(　　) A.B必是由A中的數對應的輸出值組成的集合 B.A中的每一個數在B中必有輸出值 C.B中的每一個數在A中必有輸入值 D.B中的每一個數在A中只對應唯一的輸入值 【探究】本題主要考查的是對函數定義的理解,注意區(qū)分數學語言的邏輯次序,是對數學基本功的考查.定義中要求有三個關鍵詞分別是:“非空”是指A、B都是非空的數集;“每一個”是指B中的每一個數在A中必有輸入值;“唯一”是指A中每一個元素在B中的輸出值必須唯一.故選C. 【溯源】數學選擇

5、題中有很多都是對基本概念辨析的考查,我們在學習中應該有意識地對一些新概念、定義、定理做一些精讀細研,這對我們高中數學學習也很有好處. 2.函數的圖象 所謂函數y=f(x)的圖象,就是將自變量的一個值x0作為橫坐標,相應的函數值f(x0)作為縱坐標,就得到坐標平面上的一個點(x0,f(x0)).當自變量取遍函數定義域A中的每一個值時,就得到一系列這樣的點.所有這些點組成的集合(點集)為{(x0,f(x0))|x0∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有這些點組成的圖形就是函數y=f(x)的圖象. 疑難疏引函數的圖象是數形結合應用的典范.函數圖象是函數關系的一種表示方法,它

6、能夠也必須把函數的三要素全面而直觀地反映出來,它是研究函數關系、性質的重要工具.函數圖象是函數部分運用數形結合思想方法的基礎. ●案例2畫出下列函數的圖象. (1)y=(-1)x,x∈{0,1,2,3}; (2)y=x-|1-x|; (3)y=. 【探究】 (1)y=(-1)x,x∈{0,1,2,3},由于定義域的特殊性從而導致函數圖象只是若干個孤立點. (2)先寫成分段函數再作圖. y=x-|1-x|=. (3)y=,定義域為x<0且x≠-.  　　【溯源】函數圖象部分應解決好畫圖、識圖、用圖這三個基本問題,即對函數的圖象有三點要求:

7、(1)會畫各種簡單函數的圖象. (2)能以函數的圖象識別相應函數的性質. (3)能用數形結合思想以圖輔助解題. (4)可得到如下結論:①函數y=-f(x)的圖象與y=f(x)的圖象關于x軸對稱;②函數y=f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關于y軸對稱;③函數y=-f(-x)的圖象與y=f(x)的圖象關于原點(0,0)對稱;④函數y=f(|x|)在y軸上及其右側的圖象與函數y=f(x)的圖象相同,再將y軸右側的圖象作關于y軸的對稱圖象可得x<0時的圖象;⑤函數y=|f(x)|在x軸上及其上方的圖象與函數y=f(x)的圖象相同,再將x軸下方的圖象作關于x軸的對稱圖象可得f(x)

8、<0時的圖象;⑥函數y=f(x+1)的圖象是將y=f(x)的圖象向左平移一個單位得到的;⑦函數y=f(x)+1的圖象是將y=f(x)的圖象向上平移一個單位得到的. 在函數圖象平移時,記住一個口訣:“平移變換,左加右減.”左是往左平移,指的是圖象往左平移幾個單位,則解析式的自變量要加幾個單位;右是往右平移,指的是圖象往右平移幾個單位,解析式的自變量要減去幾個單位. ●案例3求下列函數的定義域. (1)f(x)=; (2)f(x)=; (3)f(x)=. 【探究】 (1)要使函數f(x)= 有意義,應有x-|x|≠0,即x<0. 故所求函數的定義域為{x|x

9、<0}. (2)要使函數f(x)= 有意義, 應有 即 故所求函數的定義域為{x∈R|x≠0且x≠-2}. (3)要使函數f(x)= 有意義, 應有即 故所求函數的定義域為{x|x≤4且x≠1}. 【溯源】(1)式中要求分式的分母不為零;(2)式中要求兩個分母都不為零;(3)式中兩點要求:分母不為零,且二次根式中的被開方數非負. 定義域、對應法則和值域是函數的三要素. (1)目前求函數定義域的主要原則是: ①分式的分母不能為零; ②偶次根式的被開方數非負; ③零次冪的底數不為零. (2)目前應掌握的值域求法有: ①代入法(定義域為

10、有限集); ②配方法(和二次有關的函數); ③圖象法(能繪制出圖象的函數). 2.1.2　函數的表示方法 疑難疏引 函數的表示方法有三種:列表法、解析法、圖象法.其中后兩種方法最為常見.這些表示函數的方法各有優(yōu)缺點. 用解析法表示函數關系,優(yōu)點是簡明,便于用數學方法進行研究. 用列表法表示函數關系,優(yōu)點是容易找到對應于自變量的某一個值(只要表中有)的函數值,但缺點是往往不可能把自變量的值都列在表里. 用圖象法表示函數關系,優(yōu)點是一方面可以容易地找到自變量某一值所對應的函數值,另一方面可以明顯地看出自變量變化時,函數值的變化情況,但用圖象法表示函數關系只能是局部的、

11、近似的圖形. 根據函數所具有的某些性質或它所滿足的一些關系,求出它的解析式,一是要求出對應法則,二是要求出函數的定義域. 求函數的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系數法、換元法、配方法、方程或方程組法等.根據實際問題求函數表達式,是應用函數知識解決實際問題的基礎,但要注意函數定義域還應由實際意義來確定. 由于函數關系的三種表示方法各具特色,優(yōu)點突出,但大都存在著缺點,不盡人意,所以在應用中本著物盡其用、揚長避短、優(yōu)勢互補的精神,通常表示函數關系是把這三種方法結合起來運用,先確定函數的解析式,即用解析法表示函數;再根據函數解析式,計算自變量與函數的各組對應值,列表;最后是畫出函

12、數的圖象. ●案例1已知函數f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)的表達式. 【探究】函數是一類特殊的對應,已知函數f(x+1)=x2-1,即知道了x+1對應的元素是x2-1,求出x的對應元素,即是f(x)的表達式.求解f(x)的表達式可用“配湊法”或“換元法”. 【解法一】(配湊法)∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］時,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］. 【解法二】 (換元法)令x+1=t,則x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得

13、f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］. 【溯源】已知函數f［g(x)］的表達式,求f(x)的表達式,解決此類問題一般有兩種思想方法,一種是用配湊的方法,一種是用換元的方法.“配湊法”即把已知的f［g(x)］配湊成關于g(x)的表達式,而后將g(x)全用x取代,化簡得要求的f(x)的表達式;“換元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表達式表示出x,后代入f［g(x)］,化簡成最簡式. 需要注意的是,無論是用“配湊法”還是用“換元法”,在求出f(x)的表達式后,都需要指出其定義域,而f

14、(x)的定義域即x的取值范圍應和已知條件f［g(x)］中g(x)的范圍一致,所以說求f(x)的定義域就是求函數g(x)的值域. ●案例2已知二次函數f(x)的圖象過點A(1,1)、B(2,0)及點C(6,0),求f(x)的表達式. 【探究】 二次函數是我們熟悉的一種函數,其形式有:一般式f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0);兩點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a∈R且a≠0),其中x1、x2分別是f(x)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標;頂點式f(x)=a(x-m)2+n(a∈R且a≠0),(m,n)是頂點坐標.無論哪種形式都有三個參數,所以可用待定系數法求解f(x

15、),具體解法如下. 【解法一】 (待定系數法)由題意可設f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0).∵f(x)的圖象過點A(1,1)、B(2,0)及點C(6,0), ∴解得 ∴f(x)=x2-x+. 【解法二】(待定系數法)∵f(x)的圖象過點B(2,0)及點C(6,0),∴f(x)的圖象與x軸的兩交點的橫坐標分別是2和6.∴可設f(x)=a(x-2)(x-6),a∈R且a≠0.∵f(x)的圖象過點A(1,1),∴1=a(1-2)(1-6).解得a=.∴f(x)=(x-2)(x-6),即f(x)= x2-x+. 【解法三】(待定系數法)∵f(x)的圖象過點B(2,

16、0)及點C(6,0), ∴f(x)的圖象關于直線x=,即x=4對稱.∴可設f(x)=a(x-4)2+m,其中a、m∈R且a≠0. 又f(x)的圖象過點A(1,1)、B(2,0), ∴∴解得∴f(x)=(x-4)2-,即f(x)=x2-x+. 【溯源】 已知函數類型求解函數表達式時,一般用待定系數法.如求一次函數可設f(x)=kx+b,k、b為待定系數;求反比例函數可設f(x)=,k為待定系數等.本題是求二次函數,由于二次函數有三種形式,設成一般式還是兩點式、頂點式要根據題設中的條件來確定.一般情況,知道二次函數圖象過三點時,可選用一般式;知道圖象與x軸交點坐標時,可選用兩點式;

17、如知道二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程時,可選用頂點式.無論選用哪種形式,都需要列方程或方程組求解待定系數. 2.1.3　函數的簡單性質 1.函數的單調性 疑難疏引 函數的單調性是對區(qū)間而言的,它是“局部”性質,不同于函數的奇偶性,函數的奇偶性是對整個定義域而言的,即是“整體”性質.對某一函數y=f(x),它在某區(qū)間上可能有單調性,也可能沒有單調性;即使是同一個函數,它在某區(qū)間上可能單調遞增,而在另外一區(qū)間上可能單調遞減;對某一函數y=f(x),它在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都是單調增(減)函數,不能說y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是單調增(減)函數,即函數的單調性

18、是針對定義域內的某個區(qū)間而言的.例如函數y=在(-∞,0)上是減函數,在(0,+∞)上也是減函數,但不能說它在整個定義域即(-∞,0)∪(0,+∞)是減函數,因為當取x1=-1,x2=1時,對應的函數值為f(x1)=-1,f(x2)=1,顯然有x1<x2,但f(x1)<f(x2),不滿足減函數的定義. 有些函數在整個定義域內具有單調性.例如函數y=x就是這樣.有些函數在定義域內某個區(qū)間上是增函數,而在另一些區(qū)間上是減函數.例如函數y=x2在(-∞,0)上是減函數,在［０,+∞)上是增函數. 中學階段我們所討論的函數,只要它們在區(qū)間的端點有定義,那么在考慮單調區(qū)間時,包括端點

19、、不包括端點都可以. 函數的單調性所刻畫的是當自變量變化時其對應的函數值的變化趨勢,是函數在區(qū)間上的整體性質,函數圖象能直觀地顯示函數的這個性質.在單調區(qū)間上的增函數,它的圖象是沿x軸正方向逐漸上升的;在單調區(qū)間上的減函數,它的圖象是沿x軸正方向逐漸下降的. ●案例1觀察下列函數的圖象,寫出單調區(qū)間: 【探究】 本題主要檢測單調性定義的直觀理解,辨析函數y=f(x)在區(qū)間I上是單調增(減)函數,則圖象在I上的部分從左到右是上升(下降)的.(1)單調減區(qū)間為(-∞,1］,單調增區(qū)間為［1,+∞).(2)單調減區(qū)間為(-∞,1］,單調增區(qū)間為［1,+∞). 【溯源】單調性與單調

20、區(qū)間. (1)在這個區(qū)間上的x1、x2必須是任意的. (2)增函數自變量和函數值的關系是“大對大,小對小”,可以用“榮辱與共”這個詞形容. (3)說增函數必須談及區(qū)間,脫離區(qū)間談增函數是沒有意義的. 增函數的圖象特征:從左到右上升. 減函數的圖象特征:從左到右下降. 記憶口訣:增函數,減函數,函數作差要記住;正號增,負號減,增減函數很簡單;往上增,往下減,增減趨勢正相反. 2.函數的奇偶性 疑難疏引 奇偶性的判斷: (1)定義域不關于原點對稱的函數一定不是奇偶函數; (2)定義域關于原點對稱的函數也不一定是奇偶函數; (3)定義域關于原點對稱,且滿足f

21、(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的函數才是偶函數或奇函數. 函數奇偶性的應用: (1)利用奇偶性求有關函數值; (2)利用奇偶性求有關函數的解析式; (3)利用奇偶性研究函數的其他性質. 奇偶性、單調性等常常與函數方程、不等式結合在一起,具有較強的綜合性,這些知識的綜合與應用,一直是高考的熱點. 另外,由奇(偶)函數圖象的特征并結合函數單調性的定義不難得到: (1)奇(偶)函數在關于原點對稱的區(qū)間上,具有相同(反)的單調性; (2)若奇函數f(x)在區(qū)間(0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間上的最大值為-m,最小值為-M;

22、 (3)偶函數f(x)在區(qū)間 , (0<a<b)上有相同的最大(小)值. 記憶口訣:奇函數,偶函數,函數奇偶看f.同號偶,異號奇,非奇非偶不離奇.對折偶,旋轉奇,圖象重合在一起. ●案例2已知函數f(x)=. (1)用定義證明該函數在［1,+∞)上是增函數; (2)判斷該函數的奇偶性. 【探究】本題考查的是函數性質的證明,主要是進一步掌握證明步驟及要點. (1)設x1、x2∈［1,+∞)且x1<x2, f(x1)-f(x2)=, ∵x1<x2,∴x1-x2<0. ∵x1、x2∈［1,+∞), ∴(x1x2-1)>0,(

23、x12+1)(x22+1)>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以該函數在［1,+∞)上是增函數. (2)由x∈R,又f(-x)==-f(x), 所以該函數是奇函數. 【溯源】函數單調性的證明分四步:①設值;②著差;③定號;④結論.函數的奇偶性判定要注意定義域關于原點對稱. 3.利用信息技術探討函數的性質 利用計算機繪制函數的圖象具有快速準確的特點,常用的有microsoft出品的Excel和Scott and Nick Jackiw共同開發(fā)的《幾何畫板》,特別是《幾何畫板》是一款非常優(yōu)秀的多媒體軟件.它是一個通用的數學

24、、物理教學環(huán)境,提供豐富而方便的創(chuàng)造功能使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學課件.軟件提供充分的手段幫助用戶實現其教學思想,只需要熟悉軟件的簡單的使用技巧即可自行設計和編寫應用范例,范例所體現的并不是編者的計算機軟件技術水平,而是數學思想的應用水平. ●案例3借助計算機作出函數y=-x2+2|x|+3的圖象并指出它的單調區(qū)間. 【探究】計算機中有好多程序可以畫圖,但要注意的是,選用最常用的比較方便,如選用《幾何畫板》畫的函數圖象如右圖,由圖象可知,函數的單調遞增區(qū)間為(-∞,-1)、(0,1);函數的單調遞減區(qū)間為(-1,0)、(1,+∞). 　　【溯源】在應用《幾何畫板》

25、時,要注意使用其中的“圖表”中的“新建函數(N)”功能,要用到其中的“abs”即“絕對值函數”. 2.1.4　映射的概念 1.映射的概念 一般地,設A、B是兩個集合,如果按某種對應法則f,對于A中的每一個元素,在B中都有唯一的元素與之對應,那么,這樣的單值對應叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B. 疑難疏引 這個定義,可從以下四點深刻理解它:(1)“f:A→B”,包括集合A、B以及A到B的對應法則f(A≠,B≠).(2)映射f:A→B是有方向的,即從A到B,定義中只要求A中的每一個元素在B中有怎樣的“象”,并不要求B中的每一個元素在A中有怎樣的對應.因此,“從A到B的映射”

26、與“從B到A的映射”是不同的.(3)在A到B的映射中,集合A中的每一個元素在B中都有“象”,且“象”唯一.(4)映射是一種特殊的“對應”.而“對應”與集合一樣,也是原始概念,即無定義的,但可以“說明”.對應是兩個集合A與B的關系,通常以一個集合為主來考慮,對于A中的每一個元素來說,有以下三種對應關系:①B中有唯一元素與之對應;②B中有多個元素(不是唯一)與之對應;③B中沒有元素與之對應. ●案例 判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射,為什么? (1)設A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},對應法則f:x→2x+1; (2)設A=N*,B={0,1},對應

27、法則f:x→x除以2得到的余數; (3)設A={1,2,3,4},B={1,,,},f:x→x的倒數; (4)A={(x,y)||x|<2,x+y<3,x∈Z,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y; (5)A={x|x>2,x∈N},B=N,f:x→小于x的最大質數; (6)A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得余數. 【探究】依據映射的定義,可得(1)(2)(3)(5)(6)都是A到B的映射,(4)不是A到B的映射.因為(4)中A={(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,0),(0,1),(0,2),(1

28、,0),(1,1),(2,0)},由對應法則f:(x,y)→x+y知:集合A中的元素(-1,0)在集合B中沒有元素與之對應,故(4)不是A到B的映射. 【溯源】映射的概念是現代函數概念的基礎,弄懂映射的概念,為我們進一步理解函數概念的本質奠定了基礎.判別一個對應是映射f:A→B的要點是:①A到B;②A中每一個元素在B中都有元素與之對應,且元素唯一. 2.用映射的概念定義函數、函數的定義域、值域 疑難疏引 用映射的概念定義函數、函數的定義域、值域時應注意的問題:(1)函數是特殊的映射,特別注意A、B是非空數集;(2)函數符號y=f(x)表示“y是x的函數”,有的簡記作函數f(x).而

29、f(a)表示自變量x=a(a∈A)時的函數值;(3)值域C是B的子集,當B中的每一元素在A中都有元素與之對應時,B=C;(4)應該知道,函數的決定性要素是兩個:定義域和對應法則,而值域是由定義域和對應法則確定的,因而今后有“求函數的值域”的很多難題.因此,研究函數的任何問題都必須由定義域和對應法則這兩個獨立要素下手,但很多人往往犯“忽視定義域”的錯誤. “映射”這一節(jié)內容是學完集合及其相關概念后又出現的一個新概念,它是集合論中一個極為重要的概念,是函數概念的推廣.本節(jié)課主要內容就是映射概念,由于映射概念抽象、乏味、不好理解,因此重點、難點也是映射概念. 在初中我們初步學習了用變量描述的

30、函數概念,從運動變化的觀點出發(fā),將自變量x的每一取值與唯一確定的函數值對應起來.但是,有些函數如果只根據變量觀點,就很難進行深入研究.例如,著名的狄利克雷(Dirchlet)函數f(x)=和高斯(Gauss)函數g(x)=、(x∈R,表示不超過x的最大整數),對這兩個函數,如果用變量觀點來解釋,會顯得十分勉強,但用集合、對應的觀點來解釋,就十分自然.因此,近代數學引入集合與映射的概念,是數學發(fā)展的需要,是為了更好地刻畫函數的定義,加深對函數概念的理解. 函數是特殊的映射,即當兩個集合A、B均為非空數集時,則從A到B的映射就是函數.所以函數一定是映射,而映射不一定是函數. 給定兩集合A、

31、B及對應法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定義.用通俗的語言講:A→B的對應有“多對一”“一對一”及“一對多”,前兩種對應是A→B的映射,而后一種不是A→B的映射. 用映射的概念來深刻理解函數,反之,用函數的方法來解映射的問題,這是把概念與操作相結合的現代觀點.在學習中,用具體的函數來操作映射是最快的算法,而不要在概念中兜圈子. 活學巧用 1.已知P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列對應法則中不是從P到Q的函數是…(　　) A.f:x→y=　　　 B.f:x→y= C.f:x→y= D.f:x→y= 【思路解析】 本題關鍵還

32、是抓住定義中關鍵詞“每一個”,即P中每一個元素x在Q中都有的輸出值y.在法則f:x→y=中,若x=4,按照法則應該與y=6相對應,而6Q,所以應該選擇C. 【答案】 C 2.判斷下列對應f是否為從集合A到集合B的函數? (1)A={x|-2≤x≤2},B={y|-1≤y≤1},f(x)=x; (2)A={x|x是平面上的三角形},B={y|y是平面上的圓},f:作三角形的外接圓; (3)A={x|-1≤x≤1},B={y|-1≤y≤1},f:x→y=; (4)A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤2},f:x→y=x2; (5)A={x|0≤x≤4},B=

33、{y|-2≤y≤2},f:x→y2=x. 【解】(1)(4)是函數,(2)(3)(5)不是函數. 【提示】(2)不是數集; (3)A中有元素不能“輸入”; (5)B中的數在A中的輸入值不唯一. 3.求下列函數的定義域: (1)f(x)=. (2)f(x)=. (3)f(x)=. (4)y=. 【解】(1)要使函數有意義,必須 4-x2≥1, 即-≤x≤. ∴函數f(x)= 的定義域為 ∴函數的定義域為{x|x∈R且x≠0,-1,-}. 　　(3)要使函數有意義,必須 ∴函數f(x)=的定義域為 {x|x<-1或-1

34、<x<0}. 　　(4)要使函數有意義,必須 即x<-或x>-. ∴函數y=的定義域為{x|x∈R,x≠-}. 4.畫出下列函數的圖象: (1)y=x2-2,x∈Z且|x|≤2; (2)y=-2x2+3x,x∈(0,2］; (3)y=x|2-x|; (4)y= 【思路解析】 對于常見函數,由于其特征學生很熟悉,故一般只要選幾個關鍵點,但要注意人為限制的定義域對圖象的影響.對分段函數可先處理為若干段常見函數,在轉折點的取舍上格外注意. 【解】 如圖所示:  5.已知f(x)=畫出它的圖象,并求f(1),f(-2).

35、【解】 f(1)=3×12-2=1,f(-2)=-1.  6.某學生離家去學校,由于怕遲到,所以一開始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下圖中縱軸表示離學校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,則下圖四個圖形中較符合該生走法的是哪一種?(　　) 【思路解析】 A、C圖中t=0時d=0,即該生一出家門便進家門(與學校距離為0),應排除,B、D中因該生一開始就跑步與學校距離迅速減小.故應選D. 【答案】 D 7.已知函數f(x)=2x-1,g(x)=x2,求: (1)f［g(x)］;(2)g［f(x)］;(3)f［f(x)］;(4)g［g(x)］. 【思路解

36、析】 本題關鍵是理解復合函數的意義,f［g(x)］就是將g(x)作為f(x)中的自變量x,按照法則f輸出. 【解】f［g(x)］=2×g(x)-1=2x2-1,g［f(x)］=(2x-1)2.同理,f［f(x)］=4x-3,g［g(x)］=x4. 8.已知f(x)是一次函數,且f=4x-1,求f(x)的解析式. 【思路解析】 本題適合采用待定系數法求解. 【解】 設f(x)=kx+b, 則k(kx+b)+b=4x-1, 則 或 ∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1. 9.已知g(x)=1-2x,f［g(x)］=(x≠0),求f(). 【思路解析

37、】 本題有兩種思路,一是先將f(x)的解析式求出,然后將x=代入就可以求出f();二是令g(x)= ,先求出x的值,然后再求f(). 【解法一】令t=1-2x,則x=, ∴f(t)=. ∴f()==15. 【解法二】 令1-2x=,則x=. ∴f()==15. 10.給出下列函數的圖象,指出函數的單調區(qū)間,并指明其單調性. (1) (2) 【思路解析】 通過圖象直觀觀察其升降來判斷其增減性,但必須注意區(qū)間端點的取舍要合理. 【解】 圖(1)中y=f(x)的單調區(qū)間有(-3,-1］,(-1,0),［0,1),［1,3).其中在(-3,1］和［0,1)

38、上是減函數,在(-1,0)和［1,3)上是增函數. 圖(2)中y=g(x)的單調區(qū)間有(-,)和(,),其中在(-,)和(,)上都是減函數. 【解題回顧】 圖(1)中x=-3和x=3不在定義域內,因此寫單調區(qū)間時在這兩個點上必須寫成“開”,而其余端點寫成“開”或“閉”均可.圖(2)中雖在兩個區(qū)間上均為減函數,但不能把兩個區(qū)間并起來. 11.畫出函數y=的圖象,并寫出單調區(qū)間. 【思路解析】 圖略.單調減區(qū)間為(-∞,-1),(-1,+∞). 【思考】 能不能說函數y=在定義域(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是單調減函數? 【解】 不能. 12.證明函數f(x)=x+在

39、(-∞,2)上是增函數. 【證明】(定義法)設x1、x2∈(-∞,2),且x1<x2.則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+［-］=(x1-2)2(x2-2)2-4(x1+x2-4)］在(-∞,2)上,x1<x2<2,有x1-x2<0,x1+x2-4<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,2)上是增函數. 13.已知f(x)=x2+ax+3在［-1,1］上的最小值為-3,求a的值. 【思路解析】 本題要討論函數在給定區(qū)間上的單調性,二次函數的單調性與其對稱軸有關,故需結合圖象進行討論. 【

40、解】 當->1,即a<-2時,ymin=f(1)=4+a=-3,∴a=-7.當-1≤-≤1,即-2≤a≤2時,ymin=f(-)==-3,∴a=±2(舍去).當-<-1,即a>2時,ymin=f(-1)=4-a=-3,∴a=7.綜上,a=±7. 【借題發(fā)揮】對二次函數在定區(qū)間上的最值問題,一般需要研究二次函數的圖象,這時可能要討論函數的開口方向和對稱軸,平時在練習中要強化這方面的訓練. 14.判斷下列函數是否為奇函數或偶函數. (1)f(x)=x2-1; (2)f(x)=(x-1)2; (3)f(x)=x3+5x; (4)

41、f(x)=x2(x∈); (5)f(x)=; (6)f(x)=0(x∈∪); (7)f(x)=; (8)y=. 【思路解析】 本題主要考查的是對函數奇偶性定義的理解,要注意函數的定義域是否關于原點對稱. 【解】(1)是偶函數.因為它的定義域是R,且對任意x∈R,都有f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x). (2)既不是奇函數,也不是偶函數.因為雖然它的定義域是R,但對任意x∈R,f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x). (3)是奇函數.因為它的定義域是R,對任意x∈R,f(-x)=(-x)3+5(-

42、x)=-x3-5x=-f(x). (4)既不是奇函數,也不是偶函數.因為它的定義域不關于原點對稱,如f(2)存在,但f(-2)無意義. (5)既不是奇函數,也不是偶函數.因為它的定義域{x|x≠1,x∈R}不關于原點對稱. (6)既是奇函數,也是偶函數.因為它的定義域關于原點對稱,且對任意x∈∪都有f(-x)=0,故f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)同時成立. (7)既是奇函數,也是偶函數.因為它的定義域是{1,-1},關于原點對稱,化簡得f(x)=0,所以都有f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)成立. (8)是奇函數.由得 所以該函數的定義域是［-1

43、,0)∪(0,1］,此時化簡得f(x)=,對任意x∈都有f(x) =-f(x)成立. 【規(guī)律總結】函數的奇偶性是函數在定義域上的整體性質(函數的單調性是定義域上的局部性質),強化兩者間的辨析,能夠加深對定義的理解. 15.函數f(x)、g(x)在區(qū)間［a,b］上都有意義,且在此區(qū)間上 ①f(x)為增函數,f(x)>0; ②g(x)為減函數,g(x)<0. 判斷f(x)g(x)在［a,b］的單調性,并給出證明. 【解】 減函數. 令a≤x1<x2≤b,則有f(x1)-f(x2)<0,即可得0<f(x1)<f(x2); 同理,有g(

44、x1)-g(x2)>0,即可得f(x2)<f(x1)<0. 從而有f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)=f(x1)(g(x1)-g(x2))+(f(x1)-f(x2))g(x2), (*) 顯然f(x1)(g(x1)-g(x2))>0,(f(x1)-f(x2))g(x2)>0,從而(*)式>0,故函數f(x)g(x)為減函數. 16.畫出函數y=|2x-x2|的圖象并指出它的單調性.

45、 【解】  先畫u=-x2+2x的圖象,再將x軸下方的關于x軸對稱,x軸上方的圖象不變. 由圖象可知: 函數y=|2x-x2|在(-∞,0)上遞減,在［0,1］上遞增,在［1,2］上遞減,在［2,+∞)上遞增. 17.判斷函數f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函數還是減函數,并證明你的判斷.如果x∈(0,+∞),函數f(x)是增函數還是減函數? 【解】 一般地,當k>0,f(x)與kf(x)具有一致的單調性;若k<0,則f(x)與kf(x)的單調性相反.從f(x)=-x3+1上可直接得出f(x)是減函數,用單調性的定義證明,應注意對差式的變形及分解因式.

46、 f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是減函數,證明如下:在(-∞,0)上任取x1 、x2,且x1<x2. ∵f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)［(x2+)2+x12］,又∵x2-x1>0,(x2+)2+x12>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是減函數.同理可證,當x∈(0,+∞)時,函數f(x)仍然是減函數. 18.在下列各對應關系中,是從A到B的映射的有(　　) A.(1)(3)(4)

47、 B.(2)(3)(5) C.(1)(2)(4)(5) D.(2)(4)(5) 【答案】 D 【規(guī)律總結】對映射概念的理解是高中數學的一個難點,通過對圖象的認識,可進一步加深我們對映射定義本質的理解. 19.(1)已知f:x→y=x2是從集合A=R到B=［0,+∞)的一個映射,則B中的元素1在A中的對應元素是_________. (2)已知A={a,b},B={c,d},則從A到B的映射有_______個. 【答案】(1)±1　(2)4 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375