高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修1

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1、 2.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì) 5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前) 1.右圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)? 解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2,[-2,1,[1,3,[3,5]. 其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2,[1,3上是減函數(shù),在函數(shù)[-2,1,[3,5]上是增函數(shù). 2.物理學(xué)中的玻意耳定律p=(k為正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當(dāng)其體積V減小時(shí),壓強(qiáng)p將增大,試用函數(shù)的單調(diào)性證明之. 解:根據(jù)單調(diào)性的定義, 設(shè)V1、V2是定義域(0,+∞)上的任意兩個(gè)

2、實(shí)數(shù),且V1<V2,則p(V1)-p(V2)==k . 由V1、V2∈(0,+∞),得V1V2>0; 由V1<V2,得V2-V1>0. 又k>0,于是p(V1)-p(V2)>0, 即p(V1)>p(V2). ∴函數(shù)p=,V∈(0,+∞)是減函數(shù),也就是說,當(dāng)體積V減小時(shí),壓強(qiáng)p將增大. 3.已知函數(shù)f(x)=,判斷f(x)的奇偶性. 思路解析:判斷函數(shù)的奇偶性,即需要判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系. 解:∵f(x)的定義域?yàn)镽,又f(-x)==f(x),∴f(x)為偶函數(shù). 10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中) 1.若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4

3、)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 思路解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,它在(-∞,-(a-1)]上是減函數(shù),又因?yàn)閒(x)在區(qū)間(-∞,4)上是減函數(shù),因此必有4≤-(a-1),解得a≤-3. 答案:A 2.設(shè)f(x)是定義在A上的減函數(shù),且f(x)>0,則下列函數(shù)中為增函數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) ①y=3-f(x) ②y=1+ ③y=[f(x)]2 ④y= A.1 B.2

4、 C.3 D.4 思路解析:∵f(x)是定義在A上的減函數(shù),且f(x)>0, 設(shè)x1、x2∈A,且x1<x2, 則f(x1)>f(x2)>0. ∴3-f(x1)<3-f(x2),即y=3-f(x)在A上為增函數(shù). 同理,可證1+<1+, f2(x1)>f2(x2),1-<1-. ∴y=1+在A上為增函數(shù). y=f2(x)在A上是減函數(shù).y=1-在A上為增函數(shù). 答案:C 3.若f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞]時(shí),f(x)=x-1,則f(x-1)<0的解集是____________. 思路解析:偶函數(shù)的圖象關(guān)于

5、y軸對稱,可先作出f(x)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法. 畫圖可知f(x)<0的解集為{x|-1<x<1}, ∴f(x-1)<0的解集為{x|0<x<2}. 答案:{x|0<x<2} 4.證明函數(shù)f(x)=2x+1在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù). 思路解析:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明即可. 證明:設(shè)x1、x2是區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1

6、-f(x-t),判斷F(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論. (1)證明:∵f(x)的定義域是{x|x∈R且x≠0}, 又∵f(x)-f(-x)=()x-()(-x)=(+1)x=0, ∴f(x)為偶函數(shù). 當(dāng)x>0時(shí),顯然f(x)>0; 當(dāng)x<0時(shí),f(x)=f(-x)>0. ∴當(dāng)x∈R且x≠0時(shí),f(x)>0. (2)解:由x+t≠0且x-t≠0,可知F(x)的定義域?yàn)椋鹸|x≠t}. ∵F(-x)=f(-x+t)-f(-x-t)=f(x-t)-f(x+t)=-F(x), ∴F(x)為奇函數(shù). 快樂時(shí)光 童言童語 一年級(jí)的老師教小朋友認(rèn)識(shí)家禽動(dòng)物. 老師

7、:“有一種動(dòng)物兩只腳,每天早上太陽公公出來時(shí),它都會(huì)叫你起床,而且叫到你起床為止,是哪一種動(dòng)物?” 小朋友:“媽媽!” 30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后) 1.函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)x∈[-2,+∞]時(shí)是增函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)是減函數(shù),則f(1)等于( ) A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常數(shù) 思路解析:由題意可知x=-2是f(x)=2x2-mx+3的對稱軸,即-=-2. ∴m=-8. ∴f(x)=2x2+8x+3. ∴f(1)=13. 答案:B

8、 2.若y=f(x)在x∈[0,+∞)上的表達(dá)式為y=x(1-x),且f(x)為奇函數(shù),則x∈(-∞,0]時(shí)f(x)等于( ) A.-x(1-x) B.x(1+x) C.-x(1+x) D.x(x-1) 思路解析:x∈(-∞,0],-x≥0, ∴f(-x)=(-x)(1+x),-f(x)=-x(1+x). ∴f(x)=x(1+x). 答案:B 3.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-4,7)上是增函數(shù),則y=f(x-3)的遞增區(qū)間是( ) A.(-2,3) B.(-1,10) C

9、.(-1,7) D.(-4,10) 思路解析:∵f(x)在(-4,7)上是增函數(shù), 由-4<x-3<7,得-1<x<10. 且u=x-3,在(-1,10)上也為增函數(shù), ∴f(x-3)在(-1,10)上為增函數(shù). 答案:B 4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),且定義域?yàn)椋踑-1,2a],則a=_________,b=_________. 思路解析:定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱, 故a-1=-2a,∴a=. 又對于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立, ∴b=0. 答案: 0 5.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17,則f(5)=__

10、________. 思路解析:整體思想:f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17 (a57-5b)=-15, ∴f(5)=a57-b5+2=-15+2=-13. 答案:-13 6.已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且單調(diào)遞減,若a滿足f(1-a) +f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:∵定義域?yàn)閇-1,1],∴ 解得 ∴0≤a≤. ① ∵f(x)是奇函數(shù),且a滿足f(1-a) -f(1-a2)<0, ∴f(1-a) <-f(1-a2)= f

11、(a2-1). ∵f(x)在定義域上單調(diào)遞減, ∴1-a > a2-1,即-20,f(x)=是R上的偶函數(shù), (1)求a的值; (2)證明f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù). (1)解:依題意,對一切x∈R,有f(-x)=f(x),即+aex=. ∴(a-)(ex-)=0對一切x∈R成立.則a- =0.∴a=1.∵a>0,∴a=1. (2)證明:設(shè)00,x

12、2>0,x2-x1>0,得x1+x2>0,-1>0,1-<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

13、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解:(1)∵f(-x)=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f(x), 由f(-x)=-f(x),得-1+2a=0. ∴a=. (2)對于任意x1≠0,x2≠0,且x1, <1, <1. ∴f(x1)-f(x2)>0; 當(dāng)0,>1, >1. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞). 10.已知函數(shù)f(x)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù),對定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>1時(shí)f(x)>0,f(

14、2)=1, (1)求證:f(x)是偶函數(shù); (2)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); (3)解不等式f(2x2-1)<2. (1)證明:令x1=x2=1,得f(1)=2f(1). ∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(-1)=0. ∴f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函數(shù). (2)解:設(shè)x2>x1>0,則 f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f(). ∵x2>x1>0,∴>1. ∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增

15、函數(shù). (3)解:∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2. ∵f(x)是偶函數(shù), ∴不等式f(2x2-1)<2可化為f(|2x2-1|)

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