高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.2 函數(shù)的定義域、值域課堂導學案 蘇教版必修1

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高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.1 函數(shù)的概念 2.1.2 函數(shù)的定義域、值域課堂導學案 蘇教版必修1_第1頁
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1、 2.1.2 函數(shù)的定義域、值域 課堂導學 三點剖析 一、求函數(shù)的定義域 【例1】 求下列函數(shù)的定義域,并用區(qū)間表示. (1)f(x)=; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=-+. 思路分析:當函數(shù)解析式給出,定義域就是使其解析式有意義自變量的范圍;當一個函數(shù)由兩個以上數(shù)學式子的和、差、積、商的形式構(gòu)成時[如(3)(4)],定義域是使各個部分都有意義的公共部分的集合 . 解析:(1)要使f(x)=有意義,必須x-2≠0,所以x≠2. 故函數(shù)的定義域是{x|x≠2},區(qū)間表示為(-∞,2)∪(2,+∞). (2)要使f(x)=有意義,必須3

2、x+2≥0,所以x≥-. 故函數(shù)的定義域是{x|x≥-},區(qū)間表示為[-,+∞]. (3)由于00沒有意義,所以x+1≠0. ① 又分式的分母不可為零,開偶次方根被開方數(shù)非負,所以|x|-x≠0,即x<0. ② 由①②可得函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠-1},區(qū)間表示為(-∞,-1)∪(-1,0). (4)要使函數(shù)f(x)=-+有意義,必須 所以-≤x<2且x≠0,故函數(shù)的定義域為{x|-≤x<2且x≠0},區(qū)間表示為[-,0)∪(0,2). 二、函數(shù)值域的求法

3、 【例2】 求下列函數(shù)的值域: (1)y=x2-4x+6,x∈[1,5); (2)y=. 解析:這是二次函數(shù)在定義域范圍內(nèi)求值域的問題,可用配方法,結(jié)合二次函數(shù)的圖象(如右圖)來求. (1)配方,得y=(x-2)2+2. ∵x∈[1,5), ∴函數(shù)的值域為{y|2≤y<11}. (2)∵y==-, 顯然,y1=5+4x-x2的最大值是9,故函數(shù)y=的最大值是3,且y≥0. ∴函數(shù)y=的值域是[0,3]. 溫馨提示 求函數(shù)值域常用的方法:①觀察法:根據(jù)完全平方式、算術(shù)根、絕對值都是非負數(shù)的特點,以及函數(shù)的圖象、性質(zhì)等,觀察得出函數(shù)的值域.②配方法:二

4、次函數(shù)或轉(zhuǎn)化為形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c的函數(shù)的值域,均可采用配方法求之.③分離變量法:一般形如y=可用此法求解.④換元法:形如y=ax+b(a、b、c、d均為常數(shù),且ac≠0)的函數(shù),一般設t=,然后x用t表示出來,代入原函數(shù),使原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù),從而求出函數(shù)的值域,一定要注意t的范圍,t≥0. 三、求形如f[g(x)]的定義域 【例3】 若函數(shù)f(x)的定義域是[1,4],求f(x+2)、f(x2)的定義域. 解析:∵f(x)的定義域為[1,4], ∴使f(x+2)有意義的條件為1≤x+2≤4, 即-1≤x≤2,則f(x+2)的定義域是[

5、-1,2]. 同理,由1≤x2≤4,即-2≤x≤-1或1≤x≤2,則f(x2)的定義域為[-2,-1]∪[1,2]. 溫馨提示 這里易誤解為:由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定義域為[3,6],忽視了f(x+2)有意義的條件,習慣性地代換x是錯因. 各個擊破 類題演練 1 函數(shù)y=的定義域為___________________. 解析:由已知應有 解得x≥-4且x≠-2, 所以定義域為[-4,-2)∪(-2,+∞). 答案:[-4,-2)∪(-2,+∞) 變式提升 1 已知函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],其中a<0

6、b,求函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的定義域. 解析:若g(x)的定義域為M,f(x)及f(-x)的定義域分別為A、B,則有M=A∩B,利用數(shù)軸分析得知,陰影部分即為所求. ∵函數(shù)f(x)有定義域為[a,b], ∴ a≤x≤b. 若使f(-x)有意義,必須有a≤-x≤b,即有-b≤x≤-a. ∵a<00>-b. 又∵|a|>b>0, ∴a<-b,且b<-a. ∴函數(shù)g(x)的定義域為 {x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}. 類題演練 2 求下列函數(shù)的值域. (1)y=3x+2,x∈{

7、-1,0,1,2}; (2)y=-1; (3)y=-x2-2x+3; (4)y=; 解析:(1)函數(shù)的定義域為{-1,0,1,2}, ∵f(-1)=3(-1)+2=-1,f(0)=2,f(1)=5,f(2)=8. ∴函數(shù)的值域為{-1,2,5,8}. (2)∵≥0,∴-1≥-1. ∴函數(shù)值域是[-1,+∞). (3)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4. ∴當x=-1時,ymax=4. ∴函數(shù)的值域為(-∞,4]. (4)y==1-,∵≠0, ∴y≠1.∴函數(shù)值域是(-∞,1)∪(1,+∞). 變式提升 2 設A=[1,b](b>1),函數(shù)f(x)=(

8、x-1)2+1,當x∈A時,f(x)的值域也是A,試求b值. 解析:∵x∈A,∴1≤x≤b,當x=1時,函數(shù)f(x)的最小值為1. 當x=b時,f(b)=(b-1)2+1為最大值. ∴(b-1)2+1=b,整理可得 b2-4b+3=0, 解得b=1或b=3. ∵b>1,∴b=3. 類題演練 3 已知f(x2-2x+3)的定義域為[-2,1],求函數(shù)f(x)的定義域. 解析:令t=x2-2x+3,x∈[-2,1]. ∴t∈[2,11], ∴f(x)的定義域為[2,11] 變式提升 3 已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],且a+b>0,求f(x2)的

9、定義域. 解析:∵f(x)的定義域為[a,b],即a≤x≤b. 那么a≤u=x2≤b. 又b>a且b>-a,∴b>|a|≥0. ∴當a≤0時,-≤x≤; 當a>0時,≤|x|≤. 即-≤x≤-或≤x≤. 綜上所述,當a≤0時,x∈[-,]; 當a>0時,x∈[-,-]∪[,] 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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