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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第九節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
A組 基礎(chǔ)題組
1.過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于2,則這樣的直線( )
A.有且只有一條 B.有且只有兩條
C.有且只有三條 D.有且只有四條
2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1與直線y=2x有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.(1,5) B.(1,5]
C.(5,+∞) D.5,+∞)
3.過點0,-12的直線l與拋物線y=-x2交于A、B兩點,O為坐標原點,則&
2、#183;的值為( )
A.-12 B.-14 C.-4 D.無法確定
4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一點到雙曲線的左、右焦點的距離之差為4,若拋物線y=ax2上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對稱,且x1x2=-12,則m的值為( )
A.32 B.52 C.2 D.3
5.直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k的值為 .
6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且傾斜角為60°的直角l與拋物線C在第一、四象限分別交于A,B兩點,則|A
3、F||BF|的值等于 .
7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,離心率e=22,P為橢圓上任一點,且△PF1F2的最大面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)斜率為22的直線l交橢圓C于A,B兩點,且以AB為直徑的圓恒過原點O,求△OAB的面積.
8.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,右焦點為F(1,0).
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)設(shè)點O為坐標原點,過點F作直線l與橢圓E交于M,N兩點,若OM⊥ON,求直線l的方程
4、.
B組 提升題組
9.(20xx四川,20,13分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P3,12在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
10.設(shè)拋物線過定點A(-1,0),且以直線x=1為準線.
(1)求拋物線頂點的軌跡C的方程;
(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點M
5、,N,且線段MN恰被直線x=-12平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍.
答案全解全析
A組 基礎(chǔ)題組
1.B 設(shè)該拋物線焦點為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=2,所以符合條件的直線有且只有兩條.
2.C 雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,
由題意得ba>2,
∴e=ca=1+ba2>1+4=5.
3.B 由題意知直線l的斜率存在.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為y=kx-12,代入拋物線方程得
6、2x2+2kx-1=0,由此得x1+x2=-k,x1x2=-12,∴·=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-12kx2-12=(k2+1)·x1x2-12k·(x1+x2)+14=-12(k2+1)-12k·(-k)+14=-14.故選B.
4.A 由雙曲線的定義知2a=4,得a=2,所以拋物線的方程為y=2x2.
因為點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,兩式相減得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨設(shè)x1<x2,又A,B關(guān)于直線y=x+m對稱,所以y1-y2x1-x2=-
7、1,故x1+x2=-12,而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=12,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)的中點為M(x0,y0),則x0=x1+x22=-14,y0=y1+y22=2x12+2x222=54,因為中點M在直線y=x+m上,所以54=-14+m,解得m=32.
5.答案 0或1
解析 由y=kx+2,y2=8x,得k2x2+(4k-8)x+4=0.
若k=0,則y=2.
若k≠0,則Δ=0,即64-64k=0,解得k=1.
所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點時,k的值為0或1.
6.答案 3
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),易
8、知x1>x2.
由直線l的傾斜角為60°,且過點Fp2,0,
得直線l的方程為y-0=3x-p2,
即y=3x-32p,聯(lián)立y=3x-32p,y2=2px,
消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,
則x1=32p,x2=16p,
則|AF||BF|=32p+12p16p+12p=3.
7.解析 (1)e=ca=22,
設(shè)P(x0,y0),△PF1F2的面積S=|y0|c,又|y0|≤b,所以最大面積為bc=1,則b=c=1,a=2,所以橢圓C的方程為x22+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=22x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=
9、22x+m,x2+2y2=2,消去y并整理得2x2+22mx+2m2-2=0,則x1+x2=-2m,x1路x2=m2-1.
由題意知·=x1x2+y1y2=0,
又y1y2=22x1+m22x2+m
=12x1x2+22m(x1+x2)+m2,
所以·=32x1x2+22m(x1+x2)+m2=32m2-32=0,
解得m=±1.
則|AB|=1+222·(x1+x2)2-4x1x2=3,
因為原點到直線l的距離為|m|1+222=63,
所以S△AOB=12×3×63=22.
8.解析 (1)依題意可得1a=22,
10、a2=b2+1,解得a=2,b=1,
所以橢圓E的標準方程為x22+y2=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
①當MN垂直于x軸時,直線l的方程為x=1,不符合題意;
②當MN不垂直于x軸時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1).
聯(lián)立x22+y2=1,y=k(x-1),
消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
所以x1+x2=4k21+2k2,x1·x2=2(k2-1)1+2k2.
所以y1·y2=k2x1x2-(x1+x2)+1]=-k21+2k2.
因為OM⊥ON,所以·=0,
所以x1·
11、x2+y1·y2=k2-21+2k2=0,所以k=±2,
所以直線l的方程為y=±2(x-1).
B組 提升題組
9.解析 (1)由已知,a=2b.
又橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點P3,12,
故34b2+14b2=1,解得b2=1.
所以橢圓E的方程是x24+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=12x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程組x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判別式為Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-2&l
12、t;m<2.
由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.
所以M點的坐標為-m,m2,直線OM的方程為y=-12x,
由方程組x24+y2=1,y=-12x,得C-2,22,D2,-22.
所以|MC|·|MD|=52(-m+2)·52(2+m)=54(2-m2).
又|MA|·|MB|=14|AB|2=14(x1-x2)2+(y1-y2)2]=516(x1+x2)2-4x1x2]=5164m2-4(2m2-2)]=54(2-m2),
所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
10.解析 (1)設(shè)拋物線的頂點為Q(
13、x,y),則焦點為F(2x-1,y).
根據(jù)拋物線的定義得|AF|=2,即(2x)2+y2=4,所以軌跡C的方程為x2+y24=1.
(2)設(shè)弦MN的中點為P-12,y0,M(xM,yM),N(xN,yN),則由點M,N為橢圓C上的點,可知4xM2+yM2=4,4xN2+yN2=4,
兩式相減,得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,(*)
將xM+xN=2×-12=-1,yM+yN=2y0,yM-yNxM-xN=-1k代入(*)式得k=-y02.
又點P-12,y0在弦MN的垂直平分線上,
所以y0=-12k+m,
所以m=y0+12k=34y0.
又點P-12,y0在線段BB'上,B',B為直線x=-12與橢圓的交點,如圖所示
所以yB'<y0<yB,所以-3<y0<3.
所以-334<m<334,且m≠0.
高三數(shù)學理一輪復習夯基提能作業(yè)本：第九章 平面解析幾何 第九節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 Word版含解析
