《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理 北師大版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
[考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第82頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列.用符號(hào)表示為an+1-an=d(n∈N+,d為常數(shù)).
(2)等
2、差中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項(xiàng),即A=.
2.等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d.
(2)前n項(xiàng)和公式:Sn=na1+=.
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).
(2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,公差為2d.
(4)若{an},{bn}是等差數(shù)列,則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.
(5)若
3、{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為md的等差數(shù)列.
4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
Sn=n2+n.
5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.
[知識(shí)拓展] {an}為等差數(shù)列,Sn是{an}前n項(xiàng)和
(1)若an=m,am=n,則am+n=0,
(2)若Sm=n,Sn=m,則Sm+n=-(m+n),
(3)若Sm=Sk(m≠k),則Sm+k=0.
[基本能力自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“
4、×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.( )
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.( )
(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.( )
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).( )
(5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=6,a3=0,則公差d等于( )
A.-1
5、 B.1
C.2 D.-2
D [依題意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故選D.]
3.在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.6
B [由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6=2a4-a2=2×2-4=0,選B.]
4.(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=( )
A.5 B.7
C.9 D.11
A [a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5==5a3=5.]
5.(教材改編)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5
6、+a6+a7=450,則a2+a8=________.
180 [由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第82頁(yè))
等差數(shù)列的基本運(yùn)算
(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為( )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16=__________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140171】
(1)C (2)-7
7、2 [(1)設(shè){an}的公差為d,則
由
得解得d=4.
故選C.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
由已知,得解得
所以S16=16×3+×(-1)=-72.]
[規(guī)律方法] 解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法
(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個(gè)量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
(3)利用性質(zhì):運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化
8、解題過程.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·云南省二次統(tǒng)一檢測(cè))設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=( )
A.9 B.10
C.11 D.15
(2)《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為:今有女善織,日益功疾(注:從第2天起每天比前一天多織相同量的布),第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì)),共織390尺布,則第2天織布的尺數(shù)為( )
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意解得
∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.
(2)由條件知該女子每天織布的尺數(shù)
9、構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an},且a1=5,S30=390,設(shè)公差為d,則30×5+×d=390,解得d=,則a2=a1+d=,故選A.]
等差數(shù)列的判定與證明
(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.
[解] (1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)可得
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通項(xiàng)公式為an=(-2)n.
(2)由(1)可得
Sn==-+(-1)n.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n
10、=2=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.
規(guī)律方法] 等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明.
(2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明.
(3)通項(xiàng)公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N+),則該數(shù)列的通項(xiàng)為( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
(2)
11、已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N+).
①求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
②求數(shù)列{an}中的通項(xiàng)公式an.
(1)A [由已知式=+可得
-=-,知是首項(xiàng)為=1,公差為-=2-1=1的等差數(shù)列,所以=n,即an=.]
(2)①證明:因?yàn)閍n=2-(n≥2,n∈N+),
bn=.
所以n≥2時(shí),bn-bn-1=-
=-=-=1.
又b1==-,
所以數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
②由(1)知,bn=n-,
則an=1+=1+.
等差數(shù)列的性質(zhì)及最值
(1)(20xx·
12、東北三省三校二聯(lián))等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=39,a5+a7+a9=27,則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)的和S9等于( )
A.66 B.99
C.144 D.297
(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,前n項(xiàng)和為Sn,若S9=S12,則Sn取得最大值時(shí),n=________,Sn的最大值為________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140172】
(1)B (2)10或11 55 [(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1+a3+a5=3a3=39,可得a3=13.由a5+a7+a9=3a7=27,可得a7=9,故S9===99,故選B.
(2)法一:因?yàn)閍1=10,S9=S12,
13、
所以9×10+d=12×10+d,
所以d=-1.
所以an=-n+11.
所以a11=0,即當(dāng)n≤10時(shí),an>0,
當(dāng)n≥12時(shí),an<0,
所以當(dāng)n=10或11時(shí),Sn取得最大值,且最大值為S10=S11=10×10+×(-1)=55.
法二:同法一求得d=-1.
所以Sn=10n+·(-1)=-n2+n
=-+.
因?yàn)閚∈N+,所以當(dāng)n=10或11時(shí),Sn有最大值,且最大值為S10=S11=55.
法三:同法一求得d=-1.
又由S9=S12得a10+a11+a12=0.
所以3a11=0,即a11=0.
所
14、以當(dāng)n=10或11時(shí),Sn有最大值.
且最大值為S10=S11=55.]
[規(guī)律方法] 1.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)項(xiàng)的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,am-an=(m-n)d?=d(m≠n),其幾何意義是點(diǎn)(n,an),(m,am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.
(2)和的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,則
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).
②S2n-1=(2n-1)an.
2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法
(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解.
(2)鄰項(xiàng)變
15、號(hào)法.
①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm.
②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.
易錯(cuò)警示:易忽視n∈N+.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=,則=( )
A.1 B.-1
C.2 D.
(2)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S10=16,S100-S90=24,則S100=________.
(1)A (2)200 [===×=1.
(2)依題意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差數(shù)列,設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=,因此S100=10S10+d=10×16+×=200.]