高考數(shù)學復習：第三章 ：第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式 考點一 同角三角函數(shù)基本關系式的應用 　 [例1]　已知α是三角形的內角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出來，并求其值． [自主解答]　(1)法一： 聯(lián)立方程 由①得cos α＝－sin α， 將其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形內角， ∴∴tan α＝－. 法二：∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin α

2、cos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－<0且0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝. 由得 ∴tan α＝－. (2)＝＝＝. ∵tan α＝－， ∴＝＝＝－. 【互動探究】 保持本例條件不變，求：(1)； (2)sin2α＋2sin αcos α的值． 解：由例題可知tan α＝－. (1)＝＝＝. (2)sin2α＋2sin αcos α＝＝ ＝＝－.　　　　　 【方法規(guī)律】

3、 同角三角函數(shù)基本關系式的應用技巧 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化． (2)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 1．已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 解析：選A　由＝5，得＝5，即tan α＝2. 所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.[來源:數(shù)理化網][來源:] 2．(2014·杭州模擬)已知α∈，tan α＝2，

4、則cos α＝________. 解析：依題意得 由此解得cos2α＝，又α∈，因此cos α＝－. 答案：－ 考點二 誘導公式的應用 　 [例2]　(1)(2014·長沙模擬)若cos＝－，則sin＝(　　) A.　　　　　　B．－ C. D．－ (2)已知α為第三象限角， f(α)＝， ①化簡f(α)； ②若cos＝，求f(α)的值． [自主解答]　(1)∵－＝，即α－＝－， ∴sin＝sin＝－sin ＝－cos＝. (2)①f(α)＝＝ ＝－cos α. ②∵cos＝，∴－sin α＝，從而sin

5、α＝－. 又α為第三象限角，∴cos α＝－＝－， ∴f(α)＝. [答案]　(1)A 【互動探究】 在本例(1)的條件下，求cos的值． 解：∵＋＝π，即－α＝π－， ∴cos＝cos＝－cos＝.　　　　　 【方法規(guī)律】 利用誘導公式化簡三角函數(shù)的思路和要求 (1)思路方法：①分析結構特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式． (2)化簡要求：①化簡過程是恒等變形；②結果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值． 已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 解：∵

6、cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝. 高頻考點 考點三 兩類公式在化簡與求值中的應用　　 1．高考單獨考查同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式的題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度偏小，屬中低檔題． 2．高考對同角三角函數(shù)基本關系式與誘導公式在化簡與求值中的應用主要有以下幾個命題角度： (1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦． [

7、例3]　(1)(2013·廣東高考)已知sin＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. (2)(2012·遼寧高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 (3)(2011·福建高考)若tan α＝3，則的值等于(　　)[來源:] A．2 B．3 C．4 D．6 (4)(2013·重慶高考)4cos 50°－tan 40°＝

8、(　　) A. B. C. D．2－1 [自主解答]　(1)sin＝sin＝sin＝cos α＝. (2)∵sin α－cos α＝，∴sin＝， ∴sin＝1.[來源:] 又∵0＜α＜π，∴α－＝，α＝，tan α＝－1. (3)＝＝＝2tan α. 又tan α＝3，故＝2tan α＝2×3＝6. (4)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝·＝. [答案]　(1)C　(2)A　(3)D　(4)C 化簡求值問題的常見類型及解題策略

9、 (1)知弦求弦．利用誘導公式及平方關系sin2α＋cos2α＝1求解． (2)知弦求切．常通過平方關系，對稱式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之間可建立聯(lián)系，注意tan α＝的靈活應用． (3)知切求弦．通常先利用商數(shù)關系轉化為sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方關系求解． 1．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，則C等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵sin＝3sin(π－A)， ∴cos A＝3sin A，即t

10、an A＝. 又∵A∈(0，π)，∴A＝. 由cos A＝－cos(π－B)，得cos A＝cos B. ∴cos B＝，又B∈(0，π)， ∴B＝.故C＝π－－＝. 2．(2014·金華模擬)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，則＝(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：選D　∵方程3x2－x－2＝0的根為x1＝1，x2＝－， 由題知cos α＝－，所以sin α＝－，tan α＝.[來源:] ∴原式＝＝tan2α＝. ———————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————

11、— 1個口訣——誘導公式的記憶口訣 　奇變偶不變，符號看象限． 1個原則——誘導公式的應用原則 　負化正、大化小、化到銳角為終了． 2個注意點——應用同角三角函數(shù)關系式與誘導公式應　注意的問題 　(1)利用誘導公式進行化簡求值時，特別注意函數(shù)名稱和符號的確定． (2)在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號． 3種方法——三角函數(shù)求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦． (2)和積轉換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關系進行變形、轉化． (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝… 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品