有關(guān)線性變換的運算及其應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

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1、　　　 哈爾濱師范大學(xué) 學(xué)　年　論　文 題 目 有關(guān)線性變換的運算及其應(yīng)用 學(xué) 生 指導(dǎo)教師 年 級 2010級 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 哈爾濱師范大學(xué) 2012年11月 論 文 提 要 在以前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)提到向量空間之間的同構(gòu),刻畫了這兩個空間的某種本質(zhì)的一致.或者說,它們有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu).向量空間之間的同構(gòu)映射首先要求是雙射.然而有大量的向量空間之間的映射存在,它們雖然不是雙射,但也保持加法與數(shù)量乘法的對應(yīng)關(guān)系.這

2、種映射將被成為線性映射.它們是更廣泛的,因而也是最基本的映射. 本文我們將在線性映射的基礎(chǔ)上討論線性變換及其基本運算,并把線性變換與矩陣聯(lián)系起來,討論線性變換的本征值與本征向量.進一步研究一個階矩陣什么時候與一個對角形矩陣相似的問題. 有關(guān)線性變換的運算及其應(yīng)用 摘 要:在數(shù)學(xué)里,變換的概念是非?；A(chǔ)的.例如,在解析幾何里,經(jīng)常要用到坐標(biāo)的變換;在數(shù)學(xué)分析里,經(jīng)常要用到變量的代換.所謂變換,實質(zhì)上就是一個映射.線性代數(shù)里,我們主要考慮的是一個向量空間到自身的一種特定的映射,稱為線性變換. 關(guān)鍵詞:線性映射 線性變換 本征

3、值與本征向量 對角形矩陣 一 線性映射 設(shè)是一個數(shù)域,和是上向量空間. 定義1 設(shè)是到的一個線性映射.如果下列條件被滿足,就稱是到的一個線性映射; (i)對于任意; (ii)對于任意. 例1 對于的每一向量=()定義 , 是到的一個映射.我們證明,是一個線性映射. (i)設(shè)=(),是的任意兩個向量.我們有 . (ii)設(shè)我們有 . 因此是到的一個線性映射. 二 線性變換及運算 1 定義 令是數(shù)域上一個向量空間. 到自身的一個線性映射叫做的一個線性變換. 2 運算 設(shè)是數(shù)域上的向量空間, ,是的兩個線性變換. (1

4、)線性運算: 1) 與的和定義為 2) 中的數(shù)與的數(shù)量乘法定義為 3) 的負變換 4)向量空間上的線性變換的全體,對于如上定義的加法與數(shù)乘運算構(gòu)成數(shù)域上的向量空間,即 ① 仍是線性變換; ② 仍是線性變換; ③ ; ④ ; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧ ; ⑨ ; ⑩ . ⑵ 乘法: 1) 與的乘積定義為 2) 線性變換的乘法滿足如下性質(zhì)及運算律: ① 仍是線性變換; ② ; ③ ,; ④ ; ⑤ . 注 乘法交換律一般不成立,即一般的.

5、⑶ 逆變換: 1) 對線性變換,如果存在的變換使得 則稱是可逆的,并稱是的逆變換,記為. 2) 如果線性變換可逆,則也是線性變換. 3) 線性變換可逆的充分必要條件是為雙射. (4) 多項式: 1) 個(是正整數(shù))線性變換的乘積稱為的次冪,記為,即 規(guī)定.當(dāng)線性變換可逆時,規(guī)定 2) 設(shè),定義 稱之為線性變換的多項式. 1) 方冪運算有如下的運算律： ① ② 一般說來, . 2) 如果,且 則 特別的 . 三 線性變換的本征值與本征向量 1 定義 設(shè)是數(shù)域上一個向量空間. 是的一個線性變換.

6、 定義 2 設(shè)是中的一個數(shù),如果存在中非零向量,使得 . 那么就叫做的一個本征值,而叫做的數(shù)域本征值的一個本征向量. 定義 3 設(shè)是數(shù)域上一個階矩陣.行列式 叫做矩陣的特征多項式. 定義 4 我們把階矩陣的特征多項式在復(fù)數(shù)域內(nèi)的根叫做矩陣的特征根.設(shè)是矩陣的一個特征根,那么齊次線性方程組的一個非零解叫做矩陣的屬于特征根的一個特征向量. 2 求解步驟 設(shè)是數(shù)域上維向量空間, 是中的線性變換,求的本征值與本征向量步驟如下: 第一步 取的一組基求在該基下得矩陣; 第二步 求矩陣在數(shù)域中的特征值,即為的本征值; 第三步 求解齊次線性方程組的非零解,其非零解是的屬于本

7、征值的本征向量關(guān)于此基的坐標(biāo). 3 例題 例2 設(shè)上三維向量空間的線性變換關(guān)于一個基的矩陣是 . 求的本征值和相應(yīng)的本征向量. 解:先寫出矩陣的特征多項式 . 它只有一個實根. 為了求出屬于特征根的特征向量,我們需要解齊次線性方程組 即 . 這個方程組的解是,.因此, 的屬于本征值4的本征向量是 四 可以對角化的矩陣 1 定義 定義 5 設(shè)是數(shù)域上維向量空間的一個線性變換.如果存在的一個基,使得關(guān)于這個基的矩陣具有對角形式 , (1) 那么就說, 可以對角化.類似的,設(shè)是數(shù)域上一個階矩陣.如果存在上一個階可逆矩陣,使得具

8、有對角形式(1),那么就說矩陣可以對角化. 2 矩陣可對角化的充要條件 定理1令是數(shù)域上維向量空間的一個線性變換, 可以對角化的充分且必要條件是 (i) 的特征多項式的根都在內(nèi)； （ii）對于的特征多項式的每一根,本征子空間的維數(shù)等于的重數(shù). 證：設(shè)條件(i),(ii)成立.令,是的一切不同的的本征值.它們的重數(shù)分別是,我們有 , . 在每一個本征子空間里選取一個基.易知線性無關(guān),因而構(gòu)成的一個基. 關(guān)于這個基的矩陣是對角形式: . (2) 反過來,設(shè)可以對角化,那么有一個由的本征向量鎖組成的基.適當(dāng)排列這一組基向量的次序,可以假定這個基是 而

9、關(guān)于這個基的矩陣是對角形(2).于是的特征多項式 . 因此的特征多項式的根都在內(nèi),并且的重數(shù)等于然而基向量顯然是本征子空間的線性無關(guān)的向量,所以但.因此 . 設(shè)上維向量空間的一個線性變換關(guān)于某一個基的矩陣是,而是的一個本征值.那么齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系給出了本征子空間的一個基,即基礎(chǔ)解系的每一個解向量給出的一個基向量的坐標(biāo).因此, ,這里 于是我們得到 定理2 設(shè)是數(shù)域上一個階矩陣. 可以對角化的充分且必要條件是 (i) 的特征根都在內(nèi), (ii) 對于的每一個特征根, 秩, 這里是的重數(shù). 3 矩陣對角化的步驟 I 先求出矩陣

10、的全部特征根。 II 如果的特征根都在內(nèi)，那么對于每一特征根，求出齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系. III如果對于每一特征根來說,相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于的重數(shù), 那么可以對焦,以這些解向量為列,作一個階矩陣,易知的列向量線性無關(guān),因而是一個可逆矩陣,并且是對角形矩陣. 注:如果的某一特征根不在內(nèi),或者在內(nèi)秩不等于,這里是的重數(shù),那么在上不能對角化. 4例題 例3 判斷矩陣是否可以對角化.如果可以對角化,求出對角化形式. 解:矩陣的特征多項式是 特征根是2,2,-4. 對于特征根-4,求出齊次線性方程組 的一個基

11、礎(chǔ)解系. 對于特征根2,求出齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系. 由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)都等于對應(yīng)的特征根的重數(shù)，所以可以對角化.取 , . 參考文獻: [1]張和瑞:高等代數(shù),高等教育出版社,1997年第四版; [2]徐 仲:高等代數(shù) 導(dǎo)教 導(dǎo)學(xué) 導(dǎo)考,西北工業(yè)大學(xué)出版社,2003年; [3]陳光大:高等代數(shù)習(xí)題詳解,華中科技大學(xué)出版社,2006年.  論文題目 有關(guān)線性變換的運算及其應(yīng)用 作　　者 指導(dǎo)教師 職　稱 副教授 指 導(dǎo) 教 師 評 語 論文選題符合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，能夠達到綜合訓(xùn)練目標(biāo)，題目有較高難度，工作量大。選題具有較高的學(xué)術(shù)研究（參考）價值（較大的實踐指導(dǎo)意義）。 該生查閱文獻資料能力強，能全面收集關(guān)于線性變換的資料，綜合運用知識能力強。 文章篇幅完全符合學(xué)院規(guī)定，內(nèi)容完整，層次結(jié)構(gòu)安排科學(xué)，主要觀點突出，邏輯關(guān)系清楚，有一定的個人見解。 指導(dǎo)教師簽字 等級 11