數(shù)學 理一輪對點訓練：73 簡單的線性規(guī)劃 Word版含解析

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1、 1．若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案　D 解析　由題意作出可行域如圖中陰影部分所示，當z＝x＋2y經(jīng)過點A(0,1)時，目標函數(shù)取得最大值，且zmax＝0＋21＝2. 2.已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案　B 解析　畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數(shù)z＝ax＋y的最大值為4，即目標函數(shù)對應直線與可行域有公共點時，在y軸上的截距的最大值為4，作出過點D(0,4)的直線，由圖可知，目標函數(shù)在點B(2

2、,0)處取得最大值，故有a2＋0＝4，解得a＝2.故選B. 3．若變量x，y滿足約束條件，則z＝3x＋2y的最小值為(　　) A．4 B. C．6 D. 答案　B 解析　作出如圖中陰影部分所示的可行域，當直線y＝－x＋經(jīng)過點A時z取得最小值．由 得，此時，zmin＝31＋2＝. 4．若x，y滿足且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　D 解析　如圖，作出 所表示的平面區(qū)域，作出目標函數(shù)取得最小值－4時對應的直線y－x＝－4，即x－y－4＝0.顯然z的幾何意義為目標函數(shù)對應直線x－y＋z＝0在x軸上的截

3、距的相反數(shù)，故該直線與x軸的交點(4,0)必為可行域的頂點，又kx－y＋2＝0恒過點(0,2)，故k＝＝－.故選D. 5．x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為(　　) A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1 答案　D 解析　畫出約束條件下的可行域，如圖所示．令z＝0，畫出直線y＝ax. 當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則必須使得直線y＝ax與x＋y－2＝0平行，此時a＝－1； 當a>0時，則直線y＝ax與2x－y＋2＝0平行，此時a＝2. 6．已知不等式組(a>0)表示的平面區(qū)域的面積是，則a等于(　

4、　) A. B．3 C. D．2 答案　A 解析　畫出平面區(qū)域，可知該區(qū)域是一個三角形，其面積等于2h＝，所以h＝.解方程組得y＝，所以＝，解得a＝，選A. 7．在平面直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　已知直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示． 當直線y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區(qū)域．所以直線y＝k(x－1)－1的

5、斜率的范圍為(－∞，－1)，即實數(shù)k的取值范圍是(－∞，－1)．當直線y＝k(x－1)－1與y＝x平行時不能形成三角形，不平行時，由題意可得k>1時，也可形成三角形，綜上可知k<－1或k>1. 8．設變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為(　　) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 答案　B 解析　首先畫出|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域為陰影部分． x＋y＝1，x＋y＝－1，x－y＝1，x－y＝－1這四條直線的交點為(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1,0)，由圖形可知，當過點(0,1)時，x＋2y 取得最大值2，

6、過點(0，－1)時，x＋2y取得最小值－2. 9．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 答案　D 解析　根據(jù)題意，設每天生產(chǎn)甲x噸，乙y噸， 則目標函數(shù)為z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，作出直線3x＋4y＝0并平移，易知當直線經(jīng)過點A(2,3)

7、時，z取得最大值且zmax＝32＋43＝18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元，故選D. 10．若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 答案　3 解析　作出可行域如圖中陰影部分所示， 由可行域知，在點A(1,3)處，取得最大值3. 11．若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 答案　 解析　在平面直角坐標系中畫出可行域如圖中陰影部分所示，易得在點A處，z取得最大值，且zmax＝. 12.若實數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________． 答案　3 解析　∵x2＋y2≤1，∴6－x

8、－3y>0，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，當2x＋y－2≥0時，t＝x－2y＋4.點(x，y)可取區(qū)域Ⅰ內(nèi)的點(含邊界)． 通過作圖可知，當直線t＝x－2y＋4過點A時，t取最小值，∴tmin＝－＋4＝3. 當2x＋y－2<0時，t＝8－3x－4y，點(x，y)可取區(qū)域Ⅱ內(nèi)的點(不含線段AB)． 通過作圖可知，此時t>8－3－4＝3. 綜上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3. 13．實數(shù)x、y滿足 (1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍． 解　由作出

9、可行域如圖中陰影部分所示． (1)z＝表示可行域內(nèi)任一點與坐標原點連線的斜率，因此的取值范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(OA斜率不存在)． 而由得B(1,2)，則kOB＝＝2. ∴zmax不存在，zmin＝2， ∴z的取值范圍是[2，＋∞)． (2)z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標原點之間的距離的平方． 因此x2＋y2的范圍最小為|OA|2(取不到)，最大為|OB|2. 由得A(0,1)， ∴|OA|2＝()2＝1， |OB|2＝()2＝5. ∴z的最大值為5，沒有最小值． 故z的取值范圍是(1,5]． 14.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為45個

10、與55個，所用原料為A，B兩種規(guī)格金屬板，每張面積分別為2 m2與3 m2.用A種規(guī)格金屬板可造甲種產(chǎn)品3個，乙種產(chǎn)品5個；用B種規(guī)格金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個．問A，B兩種規(guī)格金屬板各取多少張才能完成計劃，并使總的用料面積最??？ 解　設A，B兩種金屬板各取x張，y張，用料面積為z， 則約束條件為目標函數(shù)z＝2x＋3y. 作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示． z＝2x＋3y變成y＝－x＋，得斜率為－，在y軸上截距為，且隨z變化的一組平行直線． 當直線z＝2x＋3y過可行域上點M時，截距最小，z最小，解方程組得M點的坐標為(5,5)． 此時zmin＝25＋35＝25(m2)． 兩種金屬板各取5張時，用料面積最?。?