人教版 高中數(shù)學 選修23 習題 23綜合檢測2

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1、2019人教版精品教學資料·高中選修數(shù)學 第二章綜合檢測 時間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1．設隨機變量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值為(　　) A．3 B．4 C．9 D．10 [答案]　D [解析]　∵P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10. 2．(2016·北京東城區(qū)高二檢測)兩個實習生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，，則這兩個零件中恰有一個一等品的

2、概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　根據(jù)相互獨立事件與互斥、對立事件的概率公式得P＝×(1－)＋(1－)×＝，故選A． 3．已知某離散型隨機變量X服從的分布列如圖，則隨機變量X的方差D(X)等于(　　) X 0 1 P m 2m A． B． C． D． [答案]　B [解析]　由m＋2m＝1得，m＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝，故選B． 4．(2016·天水高二檢測)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<1－3a

3、)＝P(X>a2＋7)成立的一個必要不充分條件是(　　) A．a＝1或2 B．a＝±1或2 C．a＝2 D．a＝ [答案]　B [解析]　∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)， ∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故選B． 5．如果隨機變量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，則p等于(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　如果隨機變量ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)， 又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝. 6．盒

4、中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么概率是的事件為(　　) A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的 [答案]　C [解析]　X＝k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的，則P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)． ∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴選C． 7.將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為(　　) A． B

5、． C． D． [答案]　D [解析]　小球落入B袋中的概率為P1＝(××)×2＝，∴小球落入A袋中的概率為P＝1－P1＝. 8．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，則E(2ξ＋1)與D(2ξ＋1)的值分別為(　　) A．13,4 B．13,8 C．7,8 D．7,16 [答案]　D [解析]　由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16. 9．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學期望是(　　) A．7.8

6、B．8 C．16 D．15.6 [答案]　A [解析]　X的取值為6、9、12，P(X＝6)＝＝， P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝. E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. 10．設隨機變量ξ服從分布P(ξ＝k)＝，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，則m－n＝(　　) A．－ B．7 C． D．－5 [答案]　D [解析]　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10， 又E(ξ2)＝12×＋22×＋3

7、2×＋42×＋52×＝15，∴m－n＝－5. 11．某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負一局得0分，某參賽隊員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負的概率為c(a、b、c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的數(shù)學期望為1，則ab的最大值為(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由條件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·2＝，等號在3a＝b＝，即a＝，b＝時成立． 12．一個盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域為R的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝

8、sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學期望為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機變量ξ可取1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝

9、. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．(2016·泉州高二檢測)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號．若η＝aξ－2，E(η)＝1，則D(η)的值為________. [答案]　11 [解析]　根據(jù)題意得出隨機變量ξ的分布列： ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝， ∵η＝aξ－2，E(η)＝1， ∴1＝a×

10、;－2，即a＝2， ∴η＝2ξ－2，E(η)＝1， D(ξ)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＋×(4－)2＝， ∵D(η)＝4D(ξ)＝4×＝11. 故答案為11. 14．一盒子中裝有4只產品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產品兩次，每次任取1只，做不放回抽樣．設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，則P(B|A)＝________. [答案]　 [解析]　由條件知，P(A)＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝. 15．在一次商業(yè)活動中，某人獲利300元的

11、概率為0.6，虧損100元的概率為0.4，此人在這樣的一次商業(yè)活動中獲利的均值是________元. [答案]　140 [解析]　設此人獲利為隨機變量X，則X的取值是300，－100，其概率分布列為： X 300 －100 P 0.6 0.4 所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140. 16．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正

12、確的是______(寫出所有正確結論的序號). ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B與事件A1相互獨立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關． [答案]?、冖? [解析]　從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1、A2、A3中任意兩個事件不可能同時發(fā)生，即A1、A2、A3兩兩互斥，故④正確，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②對③錯；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B

13、|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤錯誤．綜上知，正確結論的序號為②④. 三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)甲、乙、丙、丁4名同學被隨機地分到A、B、C三個社區(qū)參加社會實踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學. (1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率； (2)求甲、乙兩人不在同一個社區(qū)的概率； (3)設隨機變量ξ為四名同學中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和E(ξ)的值． [解析]　(1)記甲、乙兩人同時到A社區(qū)為事件M，那么P(M)＝＝， 即甲、乙兩人同時分

14、到A社區(qū)的概率是. (2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么 P(E)＝＝， 所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是 P()＝1－P(E)＝. (3)隨機變量ξ可能取的值為1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個同學到A社區(qū)， 則p(ξ＝2)＝＝. 所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝， ξ的分布列是： ξ 1 2 p ∴E(ξ)＝1×＋2×＝. 18．(本題滿分12分)(2015·重慶理，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取

15、3個. (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望． [解析]　(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，由古典概型的概率計算公式有 P(A)＝＝. (2)X的可能取值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝ 綜上知，X的分布列為： X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(個)． 19．(本題滿分12分)某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級

16、，對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品. (1)已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等品的概率P甲、P乙； 工序 概率 產品 第一工序 第二工序 甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 (2)已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在(1)的條件下，求ξ、η的分布列及E(ξ)，E(η)； 等級 利潤 產品 一等 二等 甲 5(萬元) 2.5(萬元) 乙 2.5(萬元) 1.5(萬元) (3)已知生產一件產品需用的工人數(shù)和資金額

17、如表三所示．該工廠有工人40名，可用資金60萬元．設x、y分別表示生產甲、乙產品的數(shù)量，在(2)的條件下，x、y為何值時，z＝xE(ξ)＋yE(η)最大？最大值是多少？ 項目 產品 工人(名) 資金(萬元) 甲 8 5 乙 2 10 [解析]　(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68， P乙＝0.75×0.8＝0.6. (2)隨機變量ξ、η的分布列是 ξ 5 2.5 P 0.68 0.32 　 η 2.5 1.5 P 0.6 0.4 E(ξ)＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， E(η)＝2.

18、5×0.6＋1.5×0.4＝2.1. (3)由題設知 即目標函數(shù)為z＝xE(ξ)＋yE(η)＝4.2x＋2.1y. 作出可行域(如圖)：作直線l：4.2x＋2.1y＝0， 將l向右上方平移至l1位置時，直線經過可行域上的點M，此時z＝4.2x＋2.1y取最大值． 解方程組 得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4時，z取最大值，z的最大值為25.2. 20．(本題滿分12分)(2016·天津理，16)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4，現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會. (Ⅰ)

19、設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (Ⅱ)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． [解析]　(Ⅰ)由已知有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (Ⅱ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，隨機變量X分布列為 X 0 1 2 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 21．(本題滿分12分)從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結

20、果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布，求p(187.8<Z<212.2)； ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產品件數(shù)，利用①的結果，求E(X)． 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z

21、<μ＋2σ)＝0.9544. [解析]　(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，從而

22、 P(187.8<Z<212.2)＝P(220－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826. ②由①知，一件產品的質量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826， 依題意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26. 22．(本題滿分12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束，除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立. (1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率； (2)若比賽結果為30或31，則勝利方得

23、3分、對方得0分；若比賽結果為32，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望． [解析]　(1)依次將事件“甲隊以30勝利”、“甲隊以31勝利”、“甲隊以32勝利”記作A1、A2、A3，由題意各局比賽結果相互獨立， 故P(A1)＝()3＝， P(A2)＝C·()2·(1－)×＝， P(A3)＝C()2·(1－)2×＝. 所以甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為. (2)設“乙隊以32勝利”為事件A4，則由題意知 P(A4)＝C(1－)2·()2×(1－)＝. 由題意，隨機變量X的所有可能取值為0、1、2、3， 由事件的互斥性得， P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝， P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2××＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.