高中數(shù)學(xué)人教A版選修11 第3章綜合檢測1 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 第三章 單元綜合檢測（一） (時(shí)間120分鐘　　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．下列各式正確的是(　　) A. (sina)′＝cosa(a為常數(shù)) B. (cosx)′＝sinx C. (sinx)′＝cosx D. (x－5)′＝－x－6 解析：由導(dǎo)數(shù)公式知選項(xiàng)A中(sina)′＝0；選項(xiàng)B中(cosx)′＝－sinx；選項(xiàng)D中(x－5)′＝－5x－6，只有C正確． 答案：C 2．曲線y＝在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為(　　) A. y＝2x＋1　 B. y＝2x－1 C. y＝－2x

2、－3　 D. y＝－2x－2 解析：∵y′＝＝， ∴k＝y(tǒng)′x＝－1＝＝2. ∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案：A 3．函數(shù)f(x)＝x2－ln2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A.　　 B. C.，　 D. ， 解析：∵f′(x)＝2x－＝，當(dāng)00時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(shí)(　　) A. f′(x)>0，g′(x)>0　 B. f′(x)>0，g′(x)<0 C. f′(x)<0，g′(x)>0　

3、D. f′(x)<0，g′(x)<0 解析：f(x)為奇函數(shù)且x>0時(shí)單調(diào)遞增，所以x<0時(shí)單調(diào)遞增，f′(x)>0；g(x)為偶函數(shù)且x>0時(shí)單調(diào)遞增，所以x<0時(shí)單調(diào)遞減，g′(x)<0. 答案：B 5．[2014保定調(diào)研]已知曲線y＝lnx的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為(　　) A. e　 B. －e C. 　 D. － 解析：y＝lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則k＝f′(x0)，∴切線方程為y－y0＝(x－x0)，又切線過點(diǎn)(0,0)，代入切線方程得x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝. 答案：C 6．[2014山西忻州聯(lián)考]函數(shù)f(x

4、)＝x2＋2cosx＋2的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象大致是(　　) 解析：∵f′(x)＝x－2sinx，顯然是奇函數(shù)，∴排除A.而[f′(x)]＝－2cosx＝0有無窮多個(gè)根，∴函數(shù)f′(x)有無窮多個(gè)單調(diào)區(qū)間，排除C、D，故選B. 答案：B 7．[2013課標(biāo)全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A. ?x0∈R，f(x0)＝0 B. 函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形 C. 若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減 D. 若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0 解析：取a＝0，b＝－3，c＝0，則f

5、(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3(x＋1)(x－1)， 知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上遞增，在(－1,1)上遞減．畫出f(x)的簡圖，知C錯(cuò)誤． 答案：C 8．若函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－f′(1)x2－x，則f′(1)的值為(　　) A．0　 B．2 C．1　 D．－1 解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1， 所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，則f′(1)＝0. 答案：A 9．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　) A．－12　 D．a(chǎn)<－3或

6、a>6 解析：f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 由Δ＝(2a)2－43(a＋6)＝4(a2－3a－18)>0，解得a<－3或a>6. 答案：D 10．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)>f′(x)，則當(dāng)a>b時(shí)，下列不等式成立的是(　　) A. eaf(a)>ebf(b)　 B. ebf(a)>eaf(b) C. ebf(b)>eaf(a)　 D. eaf(b)>ebf(a) 解析：∵()′＝ ＝<0， ∴y＝單調(diào)遞減，又a>b， ∴<，∴eaf(b)>ebf(a)． 答案：D

7、 11．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(　　) A. 在區(qū)間(－2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù) B. 在區(qū)間(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù) C. 在區(qū)間(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù) D. 在x＝2時(shí)，f(x)取極小值 解析：由圖象可知，當(dāng)x∈(4,5)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(4,5)內(nèi)為增函數(shù)． 答案：C 12．[2013湖北高考]已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. (－∞，0)　 B. (0，) C. (0,1)　 D. (0，＋∞) 解析：由題知，x>0，f′(x)＝ln

8、x＋1－2ax，由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′(x)＝0有兩個(gè)不等的正根，即函數(shù)y＝lnx＋1與y＝2ax的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x>0)，則a>0；設(shè)函數(shù)y＝lnx＋1上任一點(diǎn)(x0,1＋lnx0)處的切線為l，則kl＝y(tǒng)′＝，當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，結(jié)合圖象知0

9、aA≠0)，函數(shù)F(x)＝f(x)－A2x2滿足F′(a)＝0，則A＝__________. 解析：f′(x)|x＝a＝A，即f′(a)＝A. 又F′(x)＝f′(x)－2A2x，且F′(a)＝f′(a)－2aA2＝A－2aA2＝0. ∵aA≠0，∴A＝. 答案： 15．[2014唐山統(tǒng)考]已知a>0，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞減，則4a＋b的最大值為________． 解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞減，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0在[－2,2]上恒成立

10、．∵a>0，∴－＝－<0，∴f′(x)max＝f′(2)≤0，即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值為－12. 答案：－12 16．若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(m,2m＋1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________． 解析：f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1. ∴函數(shù)y＝.在(0，)上遞增，

11、在(－∞，0)，(，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減． 18．(12分)已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在x＝2處的切線方程； (2)求曲線過點(diǎn)(2,4)的切線方程． 解：(1)∵y′＝x2， ∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線斜率k＝y(tǒng)′x＝2＝4. 又x＝2時(shí)y＝4， ∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程：4x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A(x0，x＋)， 則切線斜率k＝y(tǒng)′x＝x0＝x， ∴切線方程為y－(x＋)＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋. ∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴x－3x＋4＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，

12、x0＝2. 故所求的切線方程為y＝x－2或y＝4x－4， 即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 19．(12分)[2014河南洛陽統(tǒng)考]已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－e2x. (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若x>0時(shí)，總有f(x)>－e2x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2得： y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率k＝4a＝0，則a＝0. 此時(shí)f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2. 由f′(x)＝0，得x＝2. 當(dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，f′(x)<0，f(x

13、)在(－∞，2)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)由f(x)>－e2x得：a>－. 設(shè)g(x)＝－，x>0，則g′(x)＝. ∴當(dāng)00，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴g(x)≤g(2)＝－. 因此，a的取值范圍為(－，＋∞)． 20．(12分)已知某公司生產(chǎn)的某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件，需另投入1.9萬元，設(shè)R(x)(單位：萬元)為銷售收入，據(jù)市場調(diào)查知 R(x)＝其中x是年產(chǎn)量(單位：千件)． (1)

14、寫出年利潤W關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式； (2)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？ 解：(1)依題意有： W＝ 即W＝ (2)設(shè)f(x)＝－x3＋8.1x－10(0≤x≤10)，f′(x)＝－x2＋8.1，由f′(x)＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)． 當(dāng)0≤x≤9時(shí)，f′(x)≥0；當(dāng)9≤x≤10時(shí)，f′(x)≤0，所以當(dāng)x＝9時(shí)，f(x)取得最大值38.6. 當(dāng)x>10時(shí)，－1.9x<<38.6.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大． 21．(12分)[2013浙江高考]已知a∈R，函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2

15、＋6ax. (1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程； (2)若|a|>1，求f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6. 又因?yàn)閒(2)＝4，所以切線方程為y＝6x－8. (2)記g(a)為f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值． f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)． 令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a. 當(dāng)a>1時(shí)， x 0 (0,1) 1 (1，a) a (a,2a) 2a f′(x) ＋ 0 － 0

16、 ＋ f(x) 0 單調(diào)遞增 極大值3a－1 單調(diào)遞減 極小值a2(3－a) 單調(diào)遞增 4a3 比較f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得 g(a)＝ 當(dāng)a<－1時(shí)， x 0 (0,1) 1 (1，－2a) －2a f′(x) － 0 ＋ f(x) 0 單調(diào)遞減 極小值3a－1 單調(diào)遞增 －28a3－24a2 得g(a)＝3a－1. 綜上所述，f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值為g(a)＝ 22．(12分)[2014長春高二檢測]設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a. (1)當(dāng)a＝0時(shí)

17、，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)當(dāng)m＝2時(shí)，若函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)可得 －mlnx≥－x，即m≤. 記φ(x)＝，則f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等價(jià)于m≤φ(x)min， 求得φ′(x)＝， 當(dāng)x∈(1，e)時(shí)：φ′(x)<0； 當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0 故φ(x)在x＝e處取得極小值，也是最小值， 即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e. (2)函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根． 令g(x)＝x－2lnx，則g′(x)＝1－ 當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，g′(x)<0； 當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，g′(x)>0. ∴g(x)在[1,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,3]上是單調(diào)遞增函數(shù)． 故g(x)min＝g(2)＝2－2ln 2. 又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln 3， ∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)