專題四 第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列

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1、專題升級訓練 　等差數(shù)列、等比數(shù)列 (時間:60分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分) 1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且,則a2 014=(　　) A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015 2.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=(　　) A.5 B.4 C.6 D.7 3.(2013·山東青島模擬,6)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.若a1=1,則S4=(　　) A.7 B.8 C.15 D.16

2、4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=a1+a200,且A,B,C三點共線(該直線不過原點O),則S200=(　　) A.100 B.101 C.200 D.201 5.在等差數(shù)列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,則a5·a6的最大值等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.36[來源:] 6.設(shè){an},{bn}分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,且a1=b1=4,a4=b4=1,則以下結(jié)論正確的是(　　) A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6 二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,

3、共18分) 7.定義“等積數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積,已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=3,公積為15,那么a21=　　　　.  8.在數(shù)列{an}中,如果對任意n∈N*都有=k(k為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為等差比數(shù)列,k稱為公差比.現(xiàn)給出下列命題: ①等差比數(shù)列的公差比一定不為零; ②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列; ③若an=-3n+2,則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列; ④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列,則其公比等于公差比. 其中正確命題的序號為　　　　　.  9.已知a,b,c是

4、遞減的等差數(shù)列,若將其中兩個數(shù)的位置互換,得到一個等比數(shù)列,則=　　　　　.  三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10.(本小題滿分15分)已知數(shù)列{an}為公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的第1項、第3項、第5項分別是a1,a3,a21. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和. 11.(本小題滿分15分)(2013·山東東營模擬,19)已知三個正整數(shù)2a,1,a2+3按某種順序排列成等差數(shù)列. (1)求a的值; (2)若等差數(shù)列{an}

5、的首項、公差都為a,等比數(shù)列{bn}的首項、公比也都為a,前n項和分別為Sn,Tn,且>Sn-108,求滿足條件的正整數(shù)n的最大值.[來源:] 12.(本小題滿分16分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn; (2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. ## 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分) 1.C　解析:由,可得an=n,故a2 014=2 014. 2.A　解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)==50,且an>0, ∴a

6、4a5a6==5. 3.C　解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由題意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,得q=2.∴S4==15. 4.A　解析:∵=a1+a200,且A,B,C三點共線, ∴a1+a200=1,故根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得S200==100. 5.C　解析:∵a1+a2+…+a10=30,得a5+a6==6,又an>0, ∴a5·a6≤=9. 6.A　解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由a1=b1=4,a4=b4=1,得d=-1,q=,∴a2=3,b2=2;a3=2,b3=;a

7、5=0,b5=;a6=-1,b6=.故選A. 二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分) 7.3　解析:由題意知an·an+1=15,即a2=5,a3=3,a4=5,…觀察可得:數(shù)列的奇數(shù)項都為3,偶數(shù)項都為5.故a21=3. 8.①③④　解析:若k=0,{an}為常數(shù)列,分母無意義,①正確;公差為零的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,②錯誤;=3,滿足定義,③正確;設(shè)an=a1qn-1(q≠0),則=q,④正確.[來源:] 9.20　解析:依題意得①或者②或者③ 由①得a=b=c,這與a,b,c是遞減的等差數(shù)列矛盾; 由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0. 又a&

8、gt;b,因此有a=-2b,c=4b,故=20; 由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0. 又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20. 三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),數(shù)列{bn}的公比為q(q>0), 由題意得=a1a21, ∴(1+2d)2=1×(1+20d),∴4d2-16d=0. ∵d≠0,∴d=4.∴an=4n-3. 于是b1`=1,b3=9,b5=81,{bn}的各項均為正數(shù), ∴q=3.∴bn=3n-1. (2)anbn=(

9、4n-3)3n-1, ∴Sn=30+5×31+9×32+…+(4n-7)×3n-2+(4n-3)×3n-1,3Sn=31+5×32+9×33+…+(4n-7)×3n-1+(4n-3)×3n. 兩式兩邊分別相減得 -2Sn=1+4×3+4×32+4×33+…+4×3n-1-(4n-3)×3n =1+4(3+32+33+…+3n-1)-(4n-3)×3n =1+-(4n-3)×3n =(5-4n)×3n-5,∴Sn=. 11.

10、解:(1)∵2a,a2+3是正整數(shù),∴a是正整數(shù),∴a2+3>2a>1,∴4a=a2+3+1,∴a=2. (2)Sn=2n+·2=n2+n, Tn==2n+1-2,∴=2. ∴Sn<110,即n2+n-110<0, ∴-11<n<10. ∵n是正整數(shù),∴n的最大值是9.[來源:] 12.解:(1)由已知得 ∴d=2. 故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)由(1)得bn==n+. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,則=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),[來源:] ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴ ∴=pr,(p-r)2=0. ∴p=r,這與p≠r矛盾. ∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.