高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 課時分層訓練21 正弦定理和余弦定理 文 北師大版

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1、 課時分層訓練(二十一)　正弦定理和余弦定理 A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1．(20xx蘭州模擬)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A． ∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.] 2．在△ABC中，已知b＝40

2、，c＝20，C＝60，則此三角形的解的情況是(　　) A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數不確定 C　[由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝＞1. ∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在．] 3．(20xx天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120，則AC＝(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos C，即13＝AC2＋9－2AC3cos 120，化簡得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故選A．] 4．(20xx石家莊模擬)△ABC中，AB

3、＝，AC＝1，∠B＝30，則△ABC的面積等于(　　) 【導學號：00090111】 A． B． C．或 D．或 D　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B， 即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2， 當BC＝1時，△ABC的面積S＝ABBCsin B＝1＝. 當BC＝2時，△ABC的面積S＝ABBCsin B＝2＝. 總上之，△ABC的面積等于或.] 5．(20xx全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝(　　) A． B． C． D． D　[過A作AD⊥BC于D，設BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴

4、AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴sin ∠BAC＝，故選D．] 二、填空題 6．(20xx青島模擬)如圖361所示，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 【導學號：00090112】 圖361 　[∵sin∠BAC＝sin(90＋∠BAD)＝cos∠BAD＝， ∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2ABADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－233＝3， ∴BD＝.] 7．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝c

5、os C，則△ABC的面積為________． 　[由sin C＝cos C得tan C＝＞0，所以C＝. 根據正弦定理可得＝，即＝＝2， 所以sin A＝.因為AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形為直角三角形， 故S△ABC＝1＝.] 8．(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. 　[由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理， 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A． ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又A

6、＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B． ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B． 又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.] 三、解答題 9．(20xx陜西八校聯(lián)考)已知△ABC內接于單位圓，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acos A＝ccos B＋bcos C． (1)求cos A的值； (2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面積． [解]　(1)∵2acos A＝ccos B＋bcos C， ∴2sin Acos A＝sin Ccos B＋sin Bcos C， 即2sin Acos A＝sin(B＋C)＝sin A． 4分 又0＜A＜π，∴sin

7、 A≠0. ∴2cos A＝1，cos A＝. 6分 (2)由(1)知cos A＝，∴sin A＝. ∵△ABC內接于單位圓，＝2R＝2，∴a＝2sin A＝. 8分 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1， 10分 ∴S△ABC＝bcsin A＝1＝. 12分 10．(20xx云南二次統(tǒng)一檢測)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，m＝(sin B,5sin A＋5sin C)與n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直． (1)求sin A的值； (2)若a＝2，求△ABC的面積S的最大值． 【導學號

8、：00090113】 [解]　(1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)與n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴mn＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin2C－5sin2A＝0， 即sin2B＋sin2C－sin2A＝. 3分 根據正弦定理得b2＋c2－a2＝， 由余弦定理得cos A＝＝. ∵A是△ABC的內角， ∴sin A＝＝. 6分 (2)由(1)知b2＋c2－a2＝， ∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2. 8分 又∵a＝2，∴bc≤10. ∵△ABC的面積S＝bcsin A＝≤4， ∴△ABC的面積S的最大

9、值為4. 12分 B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(20xx山東高考)△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則A＝(　　) A． B． C． D． C　[∵b＝c，∴B＝C． 又由A＋B＋C＝π得B＝－. 由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得 sin2A＝2sin2B(1－sin A)， 即sin2A＝2sin2(1－sin A)， 即sin2A＝2cos2(1－sin A)， 即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)， 整理得cos2＝0， 即cos2(cos A－sin

10、A)＝0. ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos ≠0， ∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.] 2．如圖362，在△ABC中，∠B＝45，D是BC邊上的點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB的長為________． 圖362 　[在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3， 由余弦定理得cos ∠ADC＝＝－， 所以∠ADC＝120，∠ADB＝60. 在△ABD中，AD＝5，∠B＝45，∠ADB＝60， 由正弦定理得＝， 所以AB＝.] 3．(20xx昆明模擬)如圖363，在四邊形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC． 圖363 (1)求sin∠ABD的值； (2)若∠BCD＝，求CD的長. 【導學號：00090114】 [解]　(1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可設AD＝2k，AB＝3k. 又BD＝，∠DAB＝， ∴由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－23k2kcos， 解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3， sin∠ABD＝＝＝. (2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝， ∴sin∠DBC＝，∴＝， ∴CD＝＝.