第10篇 第5節(jié) 古典概型與幾何概型

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1、第十篇　第5節(jié) 一、選擇題 1．將一枚硬幣先后拋擲兩次，恰好出現(xiàn)一次正面的概率是(　　) A．　　　　　　　　　　 B. C． D． 解析：基本事件為正正、正反、反正、反反4個(gè)，恰好出現(xiàn)一次正面包括正反，反正2個(gè)基本事件，故P＝＝，故選A. 答案：A 2．(2014河北省衡水中學(xué)高三模擬)10張獎(jiǎng)券中只有3張有獎(jiǎng)，5個(gè)人購(gòu)買，每人1張，至少有1人中獎(jiǎng)的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：無(wú)人中獎(jiǎng)的概率為＝. 故至少有1人中獎(jiǎng)的概率為1－＝. 故選D. 答案：D 3．在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，則這正方形的

2、面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：由題意可知6≤AM≤9， 于是所求概率為P＝＝. 故選A. 答案：A 4．設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，則方程x2＋px＋＋＝0有實(shí)數(shù)根的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)≥0. 解得p≥2或p≤－1， 所求概率為＝. 故選B. 答案：B 5．設(shè)＝(k,1)(k∈Z)，＝(2,4)，若k為滿足||≤4的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，則△ABC是直角三角形的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：∵||≤4，∴k2＋1≤16，

3、∴k2≤15. 又∵k為整數(shù)， ∴k＝0，1，2，3. 經(jīng)檢驗(yàn)，只有當(dāng)k＝－1，－2,3時(shí)，△ABC為直角三角形， ∴該概率P＝. 故選C. 答案：C 6．(2014陜西師大附中高三模擬)在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為(a，b)，表示邊長(zhǎng)為2π的正方形． 要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)， 需4a2＋4b2－4π≥0， 即a2＋b2≥π，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的外部，且在正方形的內(nèi)部， 所以

4、其面積為4π2－π2＝3π2， 所以有零點(diǎn)的概率為＝. 故選B. 答案：B 二、填空題 7．曲線C的方程為＋＝1，其中m、n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù)，事件A＝“方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝______. 解析：試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36；若想表示橢圓，則前后兩次的骰子點(diǎn)數(shù)不能相同，則去掉6種可能，既然橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則m>n，又只剩下一半情況，即有15種． 因此P(A)＝＝. 答案： 8．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________． 解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與△

5、ABC交出三個(gè)扇形， 當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求． ∴P＝＝π. 答案：π 9．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為_(kāi)_______． 解析：點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為＝. 答案： 10．(2014山西康杰中學(xué)第二次模擬)設(shè)Ω＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，A是曲線y＝x2與y＝x圍成的區(qū)域，若在區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則P點(diǎn)落入?yún)^(qū)域

6、A的概率為_(kāi)_______． 解析：SΩ＝22＝4， SA＝(－x2)dx 故所求概率P＝＝＝. 答案： 三、解答題 11．已知袋中有編號(hào)1～9的小球各一個(gè)，它們的大小相同，從中任取三個(gè)小球．求： (1)恰好有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的概率； (2)至少有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的概率； (3)三個(gè)小球編號(hào)之和是3的倍數(shù)的概率． 解：(1)從九個(gè)小球中任取三個(gè)共有C種取法，它們是等可能的．設(shè)恰好有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的事件為A. 則P(A)＝＝. (2)設(shè)至少有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的事件為B， 則P(B)＝1－＝或P(B)＝＝. (3)設(shè)三個(gè)小球編號(hào)之和是3的倍數(shù)的事件為C，設(shè)

7、集合S1＝{3,6,9}，S2＝{1,4,7}，S3＝{2,5,8}， 則取出三個(gè)小球編號(hào)之和為3的倍數(shù)的取法共有3C＋CCC種， 則P(C)＝＝. 12．(2014煙臺(tái)一模)某校從參加高三年級(jí)期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分)，數(shù)學(xué)成績(jī)分組及各組頻數(shù)如下： [40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，4 (1)請(qǐng)把給出的樣本頻率分布表中的空格都填上； (2)估計(jì)成績(jī)?cè)?5分以上學(xué)生的比例； (3)為了幫助成績(jī)差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī)，學(xué)校決定成立“二幫

8、一”小組，即從成績(jī)[90,100]中選兩位同學(xué)，共同幫助成績(jī)?cè)赱40,50)中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?5分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率． 樣本頻率分布表 分組 頻數(shù) 頻率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) [90,100] 4 0.08 合計(jì) 解：(1)樣本的頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) 12 0.24 [90,100] 4 0.08 合計(jì) 50 1 (2)估計(jì)成績(jī)?cè)?5分以上的有6＋4＝10人，所以估計(jì)成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生比例為＝. (3)[40,50)內(nèi)有2人，[90,100]內(nèi)有4人，則“二幫一”小組有CC＝12(種)分組辦法．其中甲、乙兩同學(xué)被分在同一小組有C＝3(種)辦法． 所以甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率為 P＝＝.