精編高中數(shù)學(xué) 4.2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義練習(xí) 北師大版選修11

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2.1實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，則f′(x0)表示(　　) A．自變量x＝x0時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 B．函數(shù)值y在x＝x0時(shí)的瞬時(shí)變化率 C．函數(shù)值y在x＝x0時(shí)的平均變化率 D．無意義 [答案]　B [解析]　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知選B. 2．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度v(單位：m/s)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，且v＝v(t)，則v′(1)表示(　　) A．t＝1s時(shí)的速度　 B．t＝1s時(shí)的加速度 C．t＝1s時(shí)的位移 D．t＝1s時(shí)的平均速度

2、 [答案]　B [解析]　v(t)的導(dǎo)數(shù)v′(t)表示t時(shí)刻的加速度． 3．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2(t表示時(shí)間)，則t＝2時(shí)，汽車的加速度是(　　) A．14　　 B．4　　 C．10　　 D．6 [答案]　A [解析]　速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t. 所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當(dāng)t＝2時(shí)，a(t)＝14，即t＝2時(shí)汽車的加速度為14. 4．向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那水瓶的形狀是(　　) [答案]　B [解析]　在曲線上任取一個(gè)橫坐標(biāo)為h0的點(diǎn)，則注水量V在h0到

3、h0＋Δh的平均變化率為，在h0處的導(dǎo)數(shù)為V′＝ .由圖像可知，隨著h0的增大，曲線的切線的傾斜角越來越小，切線的斜率也就越來越小，即導(dǎo)數(shù)越來越小，那么在Δh不變的前提下，平均變化率＝ΔS，因此，水瓶中水面的面積會(huì)越來越小，故選B. 5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－12 D．a(chǎn)<－1或a>2 [答案]　D [解析]　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函數(shù)有極大值和極小值，則f′(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，故Δ＝36a2－36(a＋2)>0，即a2－a－2>0.所以a

4、<－1或a>2. 6．如圖，設(shè)有定圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90)時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖像大致是(　　) [答案]　D [解析]　由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時(shí)段緩慢增加，而中間時(shí)段相對(duì)增速較快． 選項(xiàng)A表示面積的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符； 選項(xiàng)B表示最后時(shí)段面積的增速較快，也與實(shí)際不符； 選項(xiàng)C表示開始時(shí)段和最后時(shí)段面積的增速比中間時(shí)段快，與實(shí)際不符； 選項(xiàng)D表示開始和最后時(shí)段面積的增速緩慢，中間時(shí)段增速較快．符合實(shí)際． 二、填空題 7．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位

5、移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時(shí)的時(shí)刻t＝________. [答案]　 [解析]　s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，設(shè)6t＋1＝10， 則t＝. 8．火箭豎直向上發(fā)射．熄火時(shí)向上速度達(dá)到100m/s.則熄火后________秒后火箭速度為零(g取10m/s2)． [答案]　10 [解析]　由已知，得火箭的運(yùn)動(dòng)方程為h(t)＝100t－gt2，∴h′(t)＝100－gt. 令h′(t)＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10(s)． 即火箭熄火后10s速度變?yōu)榱悖? 三、解答題 9．將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第xh，原油的

6、溫度(單位：℃)為f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它的意義． [答案]　f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5 [解析]　在第2h和6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f ′(2)和f ′(6)． ∵f ′(x)＝2x－7. ∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5. 在第2h與第6h，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3和5，它說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速度下降；在第6h附近，原油溫度大約為5℃/h的速度上升． 10．修建面積為xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函數(shù)：y＝f(x)＝10x2＋x. (1)求當(dāng)x從50

7、變到60時(shí)，成本y關(guān)于修建面積x的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義； (2)求f′(50)，并解釋它的實(shí)際意義． [答案]　(1)平均變化率為1101元/m2　(2)f ′(50)＝1001元/m2 [解析]　(1)當(dāng)x從50變到60時(shí)，成本關(guān)于草坪面積x的平均變化率為 ＝ ＝1101(元/m2)． 它表示在草坪面積從50m2增加到60m2的過程中，草坪面積每增加1m2，成本平均增加1101元． (2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)． f′(50)表示當(dāng)草坪面積為50m2時(shí)，每增加1m2，成本就要增加1001元. 一、解答題 1．自由落體運(yùn)動(dòng)

8、的方程為s＝gt2. (1)求t從3s變到3.1s時(shí)，s關(guān)于時(shí)間t的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義； (2)求s′(3)． [答案]　(1)3.05g m/s　(2)3g m/s [解析]　(1)Δs＝s(3.1)－s(3) ＝g3.12－g32＝0.305g， Δt＝0.1，∴＝3.05g(m/s)． 它表示從t＝3s到t＝3.1s這段時(shí)間內(nèi)，自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的平均速度為3.05g(m/s)． (2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)，它表示自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為3g(m/s)． 2．氡氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體．如果最初有500g

9、氡氣，那么t天后，氡氣的剩余量為A(t)＝5000.834t. (1)氡氣的散發(fā)速度是多少？ (2)A′(7)的值是什么(精確到0.1)？它表示什么意義？ [解析]　(1)A′(t)＝5000.834tln0.834. (2)A′(7)＝5000.8347ln0.834≈－25.5，它表示7天后氡氣散發(fā)的瞬時(shí)速度． 3．一底面半徑為rcm，高為hcm的倒立圓錐容器，若以ncm3/s的速度向容器里注水，求注水ts時(shí)水面上升的速率． [答案]　cm/s [解析]　設(shè)注水ts時(shí)，水面半徑為xcm，水面高度為ycm，則有， 從而得到y(tǒng)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：y＝， 從而y′＝， 故注

10、水t秒時(shí)水面上升的速率為： (cm/s)． 4．一個(gè)電路中，流過的電荷量Q(單位：C)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為Q(t)＝3t2－lnt. (1)求當(dāng)t從1變到2時(shí)，電荷量Q關(guān)于t的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義； (2)求Q′(2)，并解釋它的實(shí)際意義． [答案]　(1)從t＝1s到t＝2s這段時(shí)間內(nèi)，平均每秒經(jīng)過該電路的電量為8.31C，也就是這段時(shí)間內(nèi)電路的平均電流為8.31A　(2)Q′(2)＝11.5　在t＝2s這一時(shí)刻，每秒經(jīng)過該電路的電量為11.5C，也就是這一時(shí)刻電路的電流為11.5A [解析]　(1)當(dāng)t從1變到2時(shí)，電荷量從Q(1)變到Q(2)，此時(shí)電荷量關(guān)

11、于時(shí)間t的平均變化率為＝≈8.31，它表示從t＝1s到t＝2s這段時(shí)間內(nèi)，平均每秒經(jīng)過該電路的電量為8.31C，也就是這段時(shí)間內(nèi)電路的平均電流為8.31A. (2)Q′(t)＝6t－，Q′(2)＝11.5，它的實(shí)際意義是，在t＝2s這一時(shí)刻，每秒經(jīng)過該電路的電量為11.5C，也就是這一時(shí)刻電路的電流為11.5A. 5．將1kg鐵從0℃加熱到t℃需要的熱量Q(單位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t. (1)當(dāng)t從10變到20時(shí)函數(shù)值Q關(guān)于t的平均變化率是多少？它的實(shí)際意義是什么？ (2)求Q′(100)，并解釋它的實(shí)際意義． [答案]　(1)0.4498　表示在鐵塊的溫度從10℃增加到20℃的過程中，平均每增加1℃，需要吸收熱量0.449 8J　(2)Q′(100)＝0.5003　表示在鐵塊的溫度為100℃這一時(shí)刻每增加1℃，需要吸收熱量0.5003J [解析]　(1)當(dāng)t從10變到20時(shí)，函數(shù)值Q關(guān)于t的平均變化率為＝0.4498，它表示在鐵塊的溫度從10℃增加到20℃的過程中，平均每增加1℃，需要吸收熱量0.449 8J. (2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，則Q′(100)＝0.5003，它表示在鐵塊的溫度為100℃這一時(shí)刻每增加1℃，需要吸收熱量0.5003J.