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1、精編北師大版數(shù)學資料 章末分層突破章末分層突破 自我校對 1 ac，bd zabi Z(a，b) OZ ac (bd)i (ac)(bd)i 復數(shù)的概念 正確確定復數(shù)的實、虛部是準確理解復數(shù)的有關概念(如實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模)的前提. 兩復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù). 求字母的范圍時一定要關注實部與虛部自身有意義. 復數(shù) zlog3(x23x3)ilog2(x3)，當 x 為何實數(shù)時， (1)zR；(2)z 為虛數(shù). 【精彩點撥】 根據(jù)復數(shù)的分類列方程求解. 【規(guī)范解答】 (1)因為一個復數(shù)是實數(shù)的充要條件是虛部為 0， 所以x23x30， lo
2、g2（x3）0， x30， 由得 x4，經(jīng)驗證滿足式. 所以當 x4 時，zR. (2)因為一個復數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為 0， 所以x23x30， log2（x3）0， x30， 由得 x3 212或 x3. 所以當 x3 212且 x4 時，z 為虛數(shù). 再練一題 1.(1)設 i 是虛數(shù)單位，若復數(shù) a103i(aR)是純虛數(shù)，則 a 的值為( ) A.3 B.1 C.1 D.3 (2)設復數(shù) z 滿足 i(z1)32i(i 是虛數(shù)單位)，則復數(shù) z 的實部是_. 【解析】 (1)因為 a103ia10（3i）（3i）（3i）a10（3i）10(a3)i，由純虛數(shù)的定義，知 a30，
3、所以 a3. (2)法一：設 zabi(a，bR)， 則 i(z1)i(abi1)b(a1)i32i. 由復數(shù)相等的充要條件，得b3，a12，解得a1，b3. 故復數(shù) z 的實部是 1. 法二：由 i(z1)32i，得 z132ii23i，故 z13i，即復數(shù)z 的實部是 1. 【答案】 (1)D (2)1 復數(shù)的四則運算 復數(shù)加減乘運算可類比多項式的加減乘運算，注意把 i 看作一個字母(i21)，除法運算注意應用共軛的性質(zhì) zz為實數(shù). (1)設 i 是虛數(shù)單位，z表示復數(shù) z 的共軛復數(shù).若 z1i， 則ziiz( ) A.2 B.2i C.2 D.2i (2)設復數(shù) z 滿足(z2i)(
4、2i)5，則 z( ) A.23i B.23i C.32i D.32i 【精彩點撥】 (1)先求出 z及zi，結(jié)合復數(shù)運算法則求解. (2)利用方程思想求解并化簡. 【規(guī)范解答】 (1)z1i， z1i，zi1iii2ii1i， ziiz1ii(1i)(1i)(1i)2.故選 C. (2)由(z2i)(2i)5，得 z2i52i2i5（2i）（2i）（2i）2i2i23i. 【答案】 (1)C (2)A 再練一題 2.已知(12i) z43i，則z-z的值為( ) A.3545i B.3545i C.3545i D.3545i 【解析】 因為(12i) z43i， 所以 z43i12i（43i
5、）（12i）52i，所以 z2i，所以z-z2i2i（2i）253545i. 【答案】 A 復數(shù)的幾何意義 1.復數(shù)的幾何表示法：即復數(shù) zabi(a，bR)可以用復平面內(nèi)的點 Z(a，b)來表示.此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解. 2.復數(shù)的向量表示：以原點為起點的向量表示的復數(shù)等于它的終點對應的復數(shù)；向量平移后，此向量表示的復數(shù)不變，但平移前后起點、終點對應的復數(shù)要改變. (1)在復平面內(nèi)，復數(shù)i1i對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)在復平面內(nèi)，復數(shù)12i2i對應的點的坐標為( ) A.(0，1)
6、 B.(0，1) C.45，35 D.45，35 【精彩點撥】 先把復數(shù) z 化為復數(shù)的標準形式，再寫出其對應坐標. 【規(guī)范解答】 (1)復數(shù)i1ii（1i）（1i）（1i）1i21212i. 復數(shù)對應點的坐標是12，12. 復數(shù)i1i在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限.故選 A. (2)12i2i（12i）（2i）（2i）（2i）5i5i，其對應的點為(0，1)，故選A. 【答案】 (1)A (2)A 再練一題 3.(1)已知復數(shù) z 對應的向量如圖 5- 1 所示， 則復數(shù) z1 所對應的向量正確的是( ) 圖 5- 1 (2)若 i 為虛數(shù)單位，圖 5- 2 中復平面內(nèi)點 Z 表示復數(shù) z，
7、則表示復數(shù)z1i的點是( ) 圖 5- 2 A.E B.F C.G D.H 【解析】 (1)由題圖知，z2i，z12i11i，故 z1對應的向量應為選項 A. (2)由題圖可得 z3i，所以z1i3i1i（3i）（1i）（1i）（1i）42i22i，則其在復平面上對應的點為 H(2，1). 【答案】 (1)A (2)D 轉(zhuǎn)化與化歸思想 一般設出復數(shù) z 的代數(shù)形式，即 zxyi(x，yR)，則涉及復數(shù)的分類、幾何意義、模的運算、四則運算、共軛復數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實數(shù) x，y 應滿足的條件，即復數(shù)問題實數(shù)化的思想是本章的主要思想方法. 設 zC，滿足 z1zR，且 z14是純虛數(shù)，求 z.
8、【精彩點撥】 本題關鍵是設出 z 代入題中條件進而求出 z. 【規(guī)范解答】 設 zxyi(x，yR)，則 z1zxyi1xyi xxx2y2yyx2y2i， z1zR， yyx2y20， 解得 y0 或 x2y21， 又z14xyi14x14yi 是純虛數(shù). x140，y0， x14，代入 x2y21 中，求出 y154， 復數(shù) z14154i. 再練一題 4.滿足 z5z是實數(shù)，且 z3 的實部與虛部是相反數(shù)的虛數(shù) z 是否存在？若存在，求出虛數(shù) z；若不存在，請說明理由. 【解】 設虛數(shù) zxyi(x，yR，且 y0)， 則 z5zxyi5xyix5xx2y2y5yx2y2i，z3x3yi
9、. 由已知，得y5yx2y20，x3y， 因為 y0， 所以x2y25，xy3，解得x1，y2或x2，y1. 所以存在虛數(shù) z12i 或 z2i 滿足題設條件. 1.(2016 全國卷)設復數(shù) z 滿足 zi3i，則 z( ) A.12i B.12i C.32i D.32i 【解析】 由 zi3i 得 z32i， z32i，故選 C. 【答案】 C 2.(2015 廣東高考)若復數(shù) zi(32i)(i 是虛數(shù)單位)，則 z( ) A.23i B.23i C.32i D.32i 【解析】 zi(32i)3i2i223i， z23i. 【答案】 A 3.(2015 安徽高考)設 i 是虛數(shù)單位，則
10、復數(shù)2i1i在復平面內(nèi)所對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 2i1i2i（1i）（1i）（1i）2（i1）21i，由復數(shù)的幾何意義知1i 在復平面內(nèi)的對應點為(1，1)，該點位于第二象限，故選 B. 【答案】 B 4.(2015 山東高考)若復數(shù) z 滿足-z1ii，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z( ) A.1i B.1i C.1i D.1i 【解析】 由已知得 zi(1i)i1，則 z1i，故選 A. 【答案】 A 5.(2016 全國卷)設(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中 a 為實數(shù)，則 a( ) A.3 B.2 C.2 D.3 【解
11、析】 (12i)(ai)a2(12a)i，由題意知 a212a，解得 a3，故選 A. 【答案】 A 章末綜合測評章末綜合測評( (五五) ) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入引入 (時間 120 分鐘，滿分 150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1.已知 a，bC，下列命題正確的是( ) A.3i5i B.a0|a|0 C.若|a|b|，則 a b D.a20 【解析】 A 選項中，虛數(shù)不能比較大小；B 選項正確；C 選項中，當 a，bR 時，結(jié)論成立，但在復數(shù)集中不一定成立，如|i|123
12、2i ，但 i1232i 或1232i；D 選項中，當 aR 時結(jié)論成立，但在復數(shù)集中不一定成立，如i210， b24b5(b2)210. 復數(shù)對應的點在第四象限.故選 D. 【答案】 D 10.如果復數(shù) z3ai 滿足條件|z2|2，那么實數(shù) a 的取值范圍是( ) A.(2 2，2 2) B.(2，2) C.(1，1) D.( 3， 3) 【解析】 因為|z2|3ai2|1ai|1a22，所以 a214，所以a23，即 3a 3. 【答案】 D 11.若 1 2i 是關于 x 的實系數(shù)方程 x2bxc0 的一個復數(shù)根，則( ) A.b2，c3 B.b2，c3 C.b2，c1 D.b2，c1
13、 【解析】 因為 1 2i 是實系數(shù)方程的一個復數(shù)根， 所以 1 2i 也是方程的根，則 1 2i1 2i2b，(1 2i)(1 2i)3c，解得 b2，c3. 【答案】 B 12.設 z 是復數(shù)，則下列命題中的假命題是( ) A.若 z20，則 z 是實數(shù) B.若 z20，則 z 是虛數(shù) C.若 z 是虛數(shù)，則 z20 D.若 z 是純虛數(shù)，則 z20 【解析】 設 zabi(a，bR)， 選項 A， z2(abi)2a2b22abi0， 則ab0，a2b2，故 b0 或 a， b 都為 0，即 z 為實數(shù)，正確. 選項 B，z2(abi)2a2b22abi0，則ab0，a2b2，則a0，b
14、0，故 z 一定為虛數(shù)，正確. 選項 C，若 z 為虛數(shù)，則 b0，z2(abi)2a2b22abi， 由于 a 的值不確定，故 z2無法與 0 比較大小，錯誤. 選項 D，若 z 為純虛數(shù)，則a0，b0，則 z2b20，正確. 【答案】 C 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.將答案填在題中的橫線上) 13.(2015 重慶高考)設復數(shù) abi(a，bR)的模為 3，則(abi)(abi)_. 【解析】 |abi|a2b2 3，(abi)(abi)a2b23. 【答案】 3 14.a 為正實數(shù)，i 為虛數(shù)單位，aii2，則 a_. 【解析】 aii（ai） （i）i
15、（i）1ai， 則aii|1ai| a212，所以 a23. 又 a 為正實數(shù)，所以 a 3. 【答案】 3 15.設 a，bR，abi117i12i(i 為虛數(shù)單位)，則 ab 的值為_. 【導學號：94210088】 【解析】 abi117i12i（117i）（12i）（12i）（12i）2515i553i，依據(jù)復數(shù)相等的充要條件可得 a5，b3. 從而 ab8. 【答案】 8 16.若復數(shù) z 滿足|zi| 2(i 為虛數(shù)單位)，則 z 在復平面內(nèi)所對應的圖形的面積為_. 【解析】 設 zxyi(x，yR)，則由|zi| 2可得 x2（y1）2 2，即 x2(y1)22，它表示以點(0，
16、1)為圓心， 2為半徑的圓及其內(nèi)部，所以 z在復平面內(nèi)所對應的圖形的面積為 2. 【答案】 2 三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分 10 分)計算： (1)( 2 2i)2(45i)； (2)22i（1i）221i2 016. 【解】 (1)( 2 2i)2(45i)2(1i)2(45i) 4i(45i)2016i. (2)22i（1i）221i2016 22i2i22i1 008 i(1i)1i1 008 1i(i)1 008 1i1 i. 18.( 本 小 題 滿 分12分 ) 已 知 關 于x ， y的 方 程 組（
17、2x1）iy（3y）i，（2xay）（4xyb）i98i，有實數(shù)解，求實數(shù) a，b 的值. 【解】 由得2x1y，y31，解得x52，y4， 將 x，y 代入得(54a)(6b)i98i， 所以54a9，（6b）8， 所以 a1，b2. 19.(本小題滿分 12 分)實數(shù) k 為何值時，復數(shù) z(k23k4)(k25k6)i是： (1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)0. 【解】 (1)當 k25k60，即 k6 或 k1 時，z 是實數(shù). (2)當 k25k60，即 k6 且 k1 時，z 是虛數(shù). (3)當k23k40，k25k60，即 k4 時，z 是純虛數(shù). (4)當k23k40
18、，k25k60，即 k1 時，z 是 0. 20.(本小題滿分 12 分)已知復數(shù) z 滿足|z| 2，z2的虛部是 2. (1)求復數(shù) z； (2)設 z，z2，zz2在復平面上的對應點分別為 A，B，C，求ABC 的面積. 【解】 (1)設 zabi(a，bR)，則 z2a2b22abi，由題意得 a2b22 且 2ab2，解得 ab1 或 ab1，所以 z1i 或 z1i. (2)當 z1i 時，z22i，zz21i，所以 A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，所以 SABC1. 當 z1i 時，z22i，zz213i，所以 A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，所以 SABC1
19、. 21.(本小題滿分 12 分)已知復數(shù) z1 5i，z2 2 3i，z32i，z4 5在復平面上對應的點分別是 A，B，C，D. (1)求證：A，B，C，D 四點共圓； (2)已知AB2 AP，求點 P 對應的復數(shù). 【解】 (1)證明：|z1|z2|z3|z4| 5， 即|OA|OB|OC|OD|， A，B，C，D 四點都在圓 x2y25 上， 即 A，B，C，D 四點共圓. (2)A(0， 5)，B( 2， 3)， AB( 2， 3 5). 設 P(x，y)，則AP(x，y 5)， 若AB2 AP，那么( 2， 3 5)(2x，2y2 5)， 22x， 3 52y2 5， 解得x22，
20、y5 32， 點 P 對應的復數(shù)為225 32i. 22.(本小題滿分 12 分)設 O 為坐標原點，已知向量OZ1，OZ2分別對應復數(shù)z1，z2，且 z13a5(10a2)i，z221a(2a5)i，aR.若z1z2可以與任意實數(shù)比較大小，求OZ1OZ2的值. 【解】 由題意，得z13a5(10a2)i， 則z1z23a5(10a2)i21a(2a5)i 3a521a(a22a15)i. 因為z1z2可以與任意實數(shù)比較大小， 所以z1z2是實數(shù)， 所以 a22a150，解得 a5 或 a3. 又因為 a50，所以 a3，所以 z138i，z21i. 所以OZ138，1 ，OZ2(1，1). 所以OZ1OZ238(1)1158.
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