高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;2　第2課時 兩角和與差的正切函數(shù) Word版含答案

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1、第 2 課時兩角和與差的正切函數(shù)核心必知兩角和與差的正切公式名稱公式成立條件兩角和的正切(T)tan()tantan1tantan，k2(kZ Z)兩角差的正切(T)tan()tantan1tantan，k2(kZ Z)問題思考對于兩角和與差的正切公式，你能寫出它的幾種變形嗎？提示：常見的變形公式有：tantantan()(1tantan)；tantantan()(1tantan)；tantantantantan()tan()；tan()tantantantantan()；1tantantantantan（）；1tantantantantan（）.講一講1計算：(1)1tan 751tan 7

2、5_；(2)tan 10tan 50 3tan 10tan 50_嘗試解答(1)法一：tan 75tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301331333 33 32 31tan 751tan 751（2 3）12 3313 333.法二：原式tan 45tan 751tan 45tan 75tan(4575)tan 3033.(2)tan 10tan 501tan 10tan 50tan 60，原式tan 60(1tan 10tan 50) 3tan 10tan 50 3 3tan 10tan 50 3tan 10tan 50 3.利用兩角和與差的正切公式解決給角求

3、值問題，關(guān)鍵是對公式的靈活運用，既要會“正用”還要會“逆用”和“變形”用，如進行“1”的代換，常見 1tan 45，及變形公式 tantantan()(1tantan)等練一練1計算：(1)sin 15cos 15sin 15cos 15_；(2)(1tan 22)(1tan 23)_解析：(1)原式tan 151tan 151tan 15tan 45tan 45tan 151tan(1545)tan 60 3.(2)原式1tan 23tan 22tan 22tan 231tan(2223)(1tan 22tan 23)tan 22tan 2311(1tan 22tan 23)tan 22ta

4、n 232.答案：(1) 3(2)2講一講2已知 tan()25，tan(4)14，求 tan(4)嘗試解答tan()25，tan(4)14，tan(4)tan()(4)tan（）tan（4）1tan（）tan（4）251412514322.“給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于先用公式分析待求問題需要什么，然后利用化歸的思想，把未知向已知轉(zhuǎn)化解題過程中需多加注意角的范圍，必要時實行拆分角2已知 sin()35，tan12，并且是第二象限的角，求 tan()的值解：sin()sin35，sin35.又是第二象限角，cos1sin245，tansinco

5、s34，又 tan12，tan()tantan1tantan34121（34）122.講一講3已知 tan()12，tan17，且，(0，)，求 2的值嘗試解答tan()tantan1tantan12，tan（17）1tan（17）12.tan13.tan41tan130.又(0，)，(0，4)2(0，2)(0，)，tan17，(2，)20.tan(2)tan()tan（）tan1tan（）tan12131121310，234.在求角問題中，常常因出現(xiàn)忽視角的范圍出現(xiàn)增根而不能排除的錯誤，因此在解答該類問題時，應(yīng)盡量縮小角的范圍，使得該范圍內(nèi)的角和所求得的函數(shù)值一一對應(yīng)練一練3若 tan，ta

6、n是方程x23 3x40 的兩根，且，(2，2)，則_解析：由題意得 tantan3 30，tan0，tan0，(2，0)，(，0)而 tan()tantan1tantan3 314 3，23.答案：23已知 tan1，sin(2)3sin，試求 tan()的值錯解由 tan1，可設(shè)4，代入 sin(2)3sin，得 cos3sin，即 tan13.tan()tan(4)tan4tan1tan4tan1131132.錯因上述解法犯了以特殊代替一般的錯誤，是不完整的錯誤解法本題應(yīng)注意從 tan1 解得k4(kZ Z)，從而可把代入 sin(2)3sin得解另外，若注意到角的變化：2()，()，仍

7、可得解正解法一：由 tan1，得k4(kZ Z)，故 sin(2)sin(2)cos.sin(2)3sin，tan13.tan()tan(4)tan4tan1tan4tan1131132.法二：由 sin(2)3sin，可得 sin()3sin()由兩角和、差的正弦公式得2cos()sinsin()cos.2tantan()tan()2.1tan 195的值為()A2 3B2 3C. 31D. 32解析：選 Btan 195tan 15tan(4530)1tan 301tan 301331332 3.2已知(2，)，sin35，則 tan(4)等于()A.17B7C17D7解析：選 Asin3

8、5，(2，)，cos 1sin245.tansincos34，tan(4)tantan41tantan417.3已知 tantan2，tan()4，則 tantan()A2B1C.12D4解析：選 C由 tan()tantan1tantan，得tantan1tantantan（）12412.4已知 tan(4)2，則 tan等于_解析：tan(4)2，tan11tan2，解得 tan3.答案：35(新課標全國)設(shè)為第二象限角，若 tan4 12，則 sincos_解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式以及兩角和三角函數(shù)公式的基本運用，意在考查考生靈活運用知識解決問題的能力以及合理選取解法的能力法一：

9、 由在第二象限， 且 tan4 12， 因而 sin4 55， 因而 sincos 2 sin4 105.法二：如果將 tan4 12利用兩角和的正切公式展開，則tan11tan12，求得 tan13.又因為在第二象限，則 sin110，cos310，從而 sincos210105.答案：1056已知 tan13，cos55.若 090180，求的值解：cos55，90180，sin 1cos2255.tansincos2，又 tan13.tan()tantan1tantan1.090180，90270.135.一、選擇題1.tan 51tan 91tan 51tan 9等于()Atan 42

10、B.33C. 3D 3解析：選 C原式tan(519)tan 60 3.2在ABC中，tanAtanB 3 3tanAtanB，則C等于()A.3B.23C.6D.4解析：選 A已知條件可化為 tan(AB)(1tanAtanB) 3(tanAtanB1)tan(AB)tanC 3.tanC 3，即C3.3已知 tan()5，tan()3，則 tan 2()A47B.47C.18D18解析：選 Atan 2tan()()tan（）tan（）1tan（）tan（）5315347.4已知 tan()25，tan4 14，則 tan4 ()A.1318B.1322C.322D.16解析：選 C4()

11、4 ，tan4 tan （）4tan（）tan（4）1tan（）tan（4）322.二、填空題5.tan 20tan（50）1tan 20tan 50_解析：原式tan 20tan 501tan 20tan 501tan 50tan 201tan 20tan 501tan（5020）1tan 30 3.答案：36.1 3tan 753tan 75_解析：法一：原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75tan(3075)tan(45)1.法二：原式1tan 60tan 75tan 60tan 751tan（6075）1tan 1351.答案：17若A

12、18，B27，則(1tanA)(1tanB)的值是_解析：原式tanAtanBtanAtanB1tan(1827)(1tan 18tan 27)tan 18tan 2712.答案：28 已知tan和 tan(4)是方程x2pxq0的兩個根， 則p，q滿足關(guān)系式為_解析：由題意知，tantan(4)p，tantan(4)q.又44，tan(4)tantan（4）1tantan（4）p1q1.pq10.答案：pq10三、解答題9. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點已知A，B的橫坐標分別為210，2 55.(1)求 tan()的值；(2

13、)求2的值解：(1)由已知條件及三角函數(shù)的定義，可知cos210，cos2 55，因為銳角，故 sin0.從而 sin 1cos27 210.同理可得 sin55.因此 tan7，tan12.所以 tan()tantan1tantan71217123.(2)tan(2)tan()3121（3）121.又 02，02，故 0232.從而由 tan(2)1，得234.10是否存在銳角和，使得下列兩式：(1)223；(2)tan2tan2 3同時成立解：假設(shè)存在符合題意的銳角和，由(1)知23，tan(2)tan2tan1tan2tan 3.由(2)知 tan2tan2 3，tan2tan3 3.tan2，tan是方程x2(3 3)x2 30 的兩個根，得x11，x22 3.02，則 0tan21，tan21，即 tan22 3，tan1.又02，則4，代入(1)，得6，存在銳角6，4使(1)(2)同時成立