新教材高中數(shù)學(xué) 第二章函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì) 北師大版必修1
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1、 (新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 第二章《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì) 北師大版必修1 【教學(xué)目標(biāo)】 【知識(shí)目標(biāo)】:使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì),初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法. 【能力目標(biāo)】通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力. 【德育目標(biāo)】通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過程. 【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)
2、單調(diào)性的概念、判斷及證明. 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生第一次接觸用嚴(yán)格的邏輯語言證明函數(shù)的性質(zhì),并在今后解決初等函數(shù)的性質(zhì)、求函數(shù)的值域、不等式及比較兩個(gè)數(shù)的大小等方面有廣泛的實(shí)際應(yīng)用, 【教學(xué)難點(diǎn)】歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 由于判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性,常常要綜合運(yùn)用一些知識(shí)(如不等式、因式分解、配方及數(shù)形結(jié)合的思想方法等)所以判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性是本節(jié)課的難點(diǎn). 【教材分析】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性的聯(lián)系在一起,所以本節(jié)課在教材中的作用如下 (1)函數(shù)的單調(diào)性起著承前啟后的作用。一方面,初中數(shù)學(xué)
3、的許多內(nèi)容在解決函數(shù)的某些問題中得到了充分運(yùn)用,函數(shù)的單調(diào)性與前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識(shí)的延續(xù)有密切的聯(lián)系;函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識(shí)是它和后面的函數(shù)奇偶性,合稱為函數(shù)的簡單性質(zhì),是今后研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)。 (2)函數(shù)的單調(diào)性是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材,這節(jié)課通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象,概括出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準(zhǔn)確定義,明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個(gè)區(qū)間來說的。教材中判斷函數(shù)的增減性,既有從圖像上進(jìn)行觀察的直觀方法,又有根據(jù)其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴(yán)格證明方法,最后將兩種方法統(tǒng)一起來,形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論,進(jìn)而用推理證明猜想
4、的體系。同時(shí)還要綜合利用前面的知識(shí)解決函數(shù)單調(diào)性的一些問題,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。 (3)函數(shù)的單調(diào)性有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性;同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)。 因此“函數(shù)的單調(diào)性”在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容里占有十分重要的地位。它體現(xiàn)了函數(shù)的變化趨勢和變化特點(diǎn),在利用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題中起著十分重要的作用,為培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力提供了重要方式和途徑。 【學(xué)情分析】 從學(xué)生的知識(shí)上看,學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù)等簡單函數(shù),函數(shù)的概念及函數(shù)的表示,能畫出一些簡單
5、函數(shù)的圖像,從圖像的直觀變化,學(xué)生能粗略的得到函數(shù)增減性的定義,所以引入函數(shù)的單調(diào)性的定義應(yīng)該是順理成章的。 從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看,通過初中對函數(shù)的認(rèn)識(shí)與實(shí)驗(yàn),學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn),在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力。 從學(xué)生的心理學(xué)習(xí)心理上看,學(xué)生頭腦中雖有一些函數(shù)性質(zhì)的實(shí)物實(shí)例,但并沒有上升為“概念”的水平,如何“定性”“定量”地描述函數(shù)性質(zhì)是學(xué)生關(guān)注的問題,也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題。函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì),學(xué)生也容易產(chǎn)生共鳴,通過對比產(chǎn)生頓悟,渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ)。但是
6、如何運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)將自然語言的描述提升為形式化的定義,學(xué)生接受起來比較困難?在教學(xué)中要多引導(dǎo),讓學(xué)生真正的理解函數(shù)單調(diào)性的定義。 【教學(xué)方法】教師是教學(xué)的主體、學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,通過雙主體的教學(xué)模式方法: 啟發(fā)式教學(xué)法——以設(shè)問和疑問層層引導(dǎo),激發(fā)學(xué)生,啟發(fā)學(xué)生積極思考,逐步從常識(shí)走向科學(xué),將感性認(rèn)識(shí)提升到理性認(rèn)識(shí),培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。 探究教學(xué)法——引導(dǎo)學(xué)生去疑;鼓勵(lì)學(xué)生去探; 激勵(lì)學(xué)生去思,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和批判精神。 合作學(xué)習(xí)——通過組織小組討論達(dá)到探究、歸納的目的。 【教學(xué)手段】計(jì)算機(jī)、投影儀. 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題(利用電腦展示) 1. 如
7、圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖: (1)觀察這個(gè)氣溫變化圖,說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況. (2)怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大,氣溫逐漸升高或下降”這一特征? 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考. 問題:觀察圖形,能得到什么信息? 預(yù)案:(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到; (2)在某時(shí)刻的溫度;(3)某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低. 在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律, 是很有幫助的. 問題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預(yù)案:股票價(jià)格、水位變化、心電圖等等 春蘭股份線性圖
8、 . 水位變化圖 歸納:用函數(shù)觀點(diǎn)看,其實(shí)就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變?。? 〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 二、歸納探索,形成概念 對于自變量變化時(shí),函數(shù)值是變大還是變小,初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí),但是沒有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義. 1.借助圖象,直觀感知 問題1:分別作出函數(shù)的圖象,并且觀察自變量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律?(學(xué)生自己動(dòng)手畫,然后電腦顯示下圖) 預(yù)案:生:函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而增大;函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。? 師:函數(shù)的圖像變化規(guī)律 生:在y軸的的左
9、側(cè)y隨x的增大而減?。趛軸的的右側(cè)y隨x的增大而增大。 師:我們學(xué)過區(qū)間的表示方法,如何用區(qū)間的概念來表述圖像的變化規(guī)律 生:在上 y隨x的增大而增大,在上y隨x的增大而減?。? 師:這樣表述就比較嚴(yán)密了,很好。由上面的討論可知,函數(shù)的單調(diào)性與自變量的范圍有關(guān),一個(gè)函數(shù)并不一定在整個(gè)正義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),但在定義城的某個(gè)子集上可以是單調(diào)函數(shù)。 (3)函數(shù)的圖像變化規(guī)律如何。 生:(1)定義域中的減函數(shù)。 (2)在上 y隨x的增大而減小,在上y隨x的增大而減?。? 師:對于兩種答案,哪一種是正確的,為什么?學(xué)生分組討論。從定義域,圖像的角度考慮,也可以舉反例 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述 (
10、增函數(shù)、減函數(shù)).并引導(dǎo)學(xué)生用區(qū)間明確描述函數(shù)的單調(diào)性從而讓學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì). 問題2:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案:如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù). 教師指出:這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調(diào)性的直觀,描述性的認(rèn)識(shí). 〖設(shè)計(jì)意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí). 2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識(shí) 問題1:下圖是函數(shù)的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)
11、和減函數(shù)嗎?(電腦顯示,學(xué)生分組討論) 學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置. 通過討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時(shí)不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究. 〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性. 問題2:如何從解析式的角度說明在為增函數(shù)? 預(yù)案: 生: 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù),例如1和2,因?yàn)?2<22,所以在為增函數(shù). 生:僅僅兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不能說明函數(shù)y=x2在區(qū)間[0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),應(yīng)該舉出無數(shù)個(gè)。 由于很多學(xué)生不能分清“無數(shù)”和“所有”的區(qū)別,所以許多學(xué)生對學(xué)生2的說法表示贊同。
12、生:函數(shù))無數(shù)個(gè)如(2)中的實(shí)數(shù),顯然f(x)也隨x的增大而增大,是不是也可以說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)?可這與圖象矛盾??? 師:“無數(shù)個(gè)”能不能代表“所有”呢?比如:2、3、4、5……有無數(shù)個(gè)自然數(shù)都比大,那我們能不能說所有的自然數(shù)都比大呢?所以具體值取得再多,也不能代表所有的,思考如何體現(xiàn)區(qū)間上的所有值。引導(dǎo)學(xué)生利用字母表示數(shù)。 生:任取且,因?yàn)?即,所以在為增函數(shù). 舊教材的定義在這里就可以歸納出來,但是人教B版新教材使用了自變量的增量和函數(shù)值的增量來表述,并為以后學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性做準(zhǔn)備,所以需進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用增量來定義函數(shù)的單調(diào)性。 (5)仿(4)且,由圖象可知,即
13、給自變量一個(gè)增量,,函數(shù)值的增量 所以在為增函數(shù)。 對于學(xué)生錯(cuò)誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量進(jìn)一步尋求自變量的增量與函數(shù)值的增量之間的變化規(guī)律,判斷函數(shù)單調(diào)性。注意這里的“都有”是對應(yīng)于“任意”的。 〖設(shè)計(jì)意圖〗把對單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊. 3.抽象思維,形成概念 問題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.
14、 (1)板書定義 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,區(qū)間MA,如果取區(qū)間M中的任意兩個(gè)值,當(dāng)改變量時(shí),都有,那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是增函數(shù),如圖(1)當(dāng)改變量時(shí),都有,那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是減函數(shù),如圖(2) (2)鞏固概念(以下問題老師提問后,學(xué)生適當(dāng)討論后回答) 師:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義思考:由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)能否推出x1<x2(x1>x2), 生:能。因?yàn)槎x中區(qū)間M中的任意兩個(gè)值若,都有。 師:我們來比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中的符號(hào)規(guī)律,你有什么發(fā)現(xiàn)沒有? 生:增函數(shù)都為正,減函數(shù)一正一負(fù)。 師:如果將增函數(shù)中的“當(dāng)時(shí),都有”
15、改為當(dāng)時(shí),都有結(jié)論是否一樣呢? 生:一樣 師:減函數(shù)的定義是否也可以進(jìn)行這樣修改? 生:可以。 師:根據(jù)剛才的分析,你們有沒有發(fā)現(xiàn)自變量的差量與函數(shù)值的差量之間的關(guān)系? 生:自變量的差量與相應(yīng)的函數(shù)值的差量如果保持同號(hào)就可以說明其是單調(diào)遞增函數(shù),如果是異號(hào)則是單調(diào)遞減函數(shù)。 師:那你們能否將定義修改地更為簡潔呢? 生:如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,若即,則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),若即,則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)。 師:很好,事實(shí)上的符號(hào)決定了函數(shù)f(x)的單調(diào)性,我們不僅要能從圖象上直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性,更應(yīng)該要從單調(diào)性的本質(zhì)上來理解這個(gè)概念。能用
16、這種表達(dá)形式來描述函數(shù)單調(diào)性,說明大家對單調(diào)性概念的理解還是比較非常深刻的。 【設(shè)計(jì)意圖】這一階段教師領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了剖析,帶領(lǐng)學(xué)生深入定義的表達(dá)形式,探索概念的本質(zhì)。實(shí)現(xiàn)學(xué)生將概念從具體的圖形表達(dá)形式化到一般的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的轉(zhuǎn)化。事實(shí)上,這一階段是對函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第四次歸納——由數(shù)學(xué)符號(hào)敘述抽象到了形式化 判斷題: ①已知因?yàn)?,所以函?shù)是增函數(shù). ②若函數(shù)滿足則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù). ③若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù). ④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是減函數(shù),所以在上是減函數(shù). ⑤觀察問題情境1中氣溫變化圖像,根據(jù)圖像說出函
17、數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其單調(diào)性。 通過判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn): ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②對于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)). ③單調(diào)性是對定義域的某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì),不能用特殊值說明問題。 ④函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù).如圖所示 o o x y O 思考:如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 說明:要說明一個(gè)命題是正確的,必須給出完整的證明。說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的
18、,只需舉一個(gè)反例即可。 〖設(shè)計(jì)意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學(xué)生對定義的理解,完成對概念的第三次認(rèn)識(shí). 三、掌握證法,適當(dāng)延展 例 證明函數(shù)在(0,+)是減函數(shù). 1.分析解決問題 針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題,組織學(xué)生討論、交流. 證明:任取且, 設(shè)元 求差 變形 斷號(hào) ∴函數(shù)函數(shù)在(0,+)是減函數(shù).
19、 定論 思考:如何證明在(-上的單調(diào)性。 2.歸納解題步驟 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元、作差、變形(因式分解、配方、不等式等)斷號(hào)、定論. 練習(xí):證明函數(shù)在上是增函數(shù). 問題:要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),除了用定義來證,可以讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式---對任意的,且有,證明函數(shù)在上是增函數(shù). 〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 四、歸納小結(jié),提高認(rèn)識(shí) 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲,交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受,師生合作共同完成小結(jié). 1.小結(jié) (1) 概
20、念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2) 證明方法和步驟:求函數(shù)的定義域,設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論. (3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化,類比等. 2.作業(yè) 書面作業(yè):課本第50頁練習(xí)B 3,課本第56頁 習(xí)題2.1 A第6題. 課后探究: (1) 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比叫做函數(shù)從到之間的平均變化率。研究一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)時(shí),能否根據(jù)函數(shù)的平均變化率,即比值的符號(hào)來判斷函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)?比值的大小與函數(shù)值增大的快慢有什么關(guān)系? (2) 研究函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函
21、數(shù)的草圖. 教學(xué)反思 1、新課標(biāo)明確指出:函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,不僅把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系,同時(shí)還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù),函數(shù)的思想將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終《函數(shù)的單調(diào)性》的課標(biāo)教學(xué)要求,從結(jié)合實(shí)際問題出發(fā),,讓學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法,體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性,初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的間斷問題。數(shù)學(xué)新課標(biāo)還提到:要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,即“在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí),應(yīng)經(jīng)歷直觀感知,觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程”。所以在本節(jié)課的
22、教學(xué)設(shè)計(jì)中在分析學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的只是經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生通過觀察函數(shù)圖像的變化規(guī)律,然后歸納猜測,勇于實(shí)踐探究式的教學(xué)方法,取得了較好的教學(xué)成果。 2、函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì) 在理解函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí),值得注意下列三點(diǎn): (1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念,一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性. 在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),特別要注意,若f(x)在區(qū)間D1,D2上分別是增函數(shù),但f(x)不一定在區(qū)間D1∪D2上是增函數(shù),例如:函數(shù)f(x)=在(-∞,-1)上是增函數(shù),在(-1,+∞)上也是增函數(shù),但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上不是增函數(shù),f(1)<f
23、(-3)便是一例. (2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì),因此定義中的x1,x2具有任意性,不能用特殊性替代. (3)由于定義都是充要性命題,因此由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)x1<x2(x1>x2),這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”. 2.判斷函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間時(shí),可以結(jié)合函數(shù)的圖象升降進(jìn)行判定,對于一般函數(shù)需用增、減函數(shù)定義加以證明,用定義的證明函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生還存在問題較多。 3.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=x+ (a>0)型的函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間要記熟,把它們作為性質(zhì),
24、可應(yīng)用到一般函數(shù)單調(diào)性的判斷上. 4.由于時(shí)間的限制,這節(jié)課對二次函數(shù)單調(diào)性的討論及應(yīng)用進(jìn)行的并不充分,下節(jié)課對于函數(shù)的單調(diào)性的定義的可逆性,已知二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的增減性,求參數(shù)的取值等問題還需進(jìn)一步探討。 《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)說明 一、教學(xué)內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì),是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的概念,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù). 對于函數(shù)單調(diào)性,學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面:(1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言去刻畫圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的;(2)單調(diào)性的證明是
25、學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn). 二、教學(xué)目標(biāo)的確定 根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平,從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo),重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí);強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透;突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的 培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成. 三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念
26、,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué),目的是充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識(shí). 四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì) 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),教學(xué)上采取了以下的措施: (1)在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程,完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對概念的認(rèn)識(shí)不斷深入. (2)在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析,幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟. (3)考慮到有些學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn),對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?,加深對定義的理解,同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆。
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