新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修2－3同步導(dǎo)學(xué)案：第2章 章末分層突破

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①均值 ②條件概率 ③正態(tài)分布 ④正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì) 　 條件概率 條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率． 　在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求： (1)第1次抽到理科題的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科題的概率； (3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率． 【精彩點(diǎn)撥】　本題是條件概率問(wèn)題，根據(jù)條件概率公式求解即可． 【規(guī)范解答】　設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“

2、第2題抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB. (1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為 n(Ω)＝A＝20. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)＝AA＝12. 于是P(A)＝＝＝. (2)因?yàn)閚(AB)＝A＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率 P(B|A)＝＝＝. 法二：因?yàn)閚(AB)＝6，n(A)＝12， 所以P(B|A)＝＝＝. [再練一題] 1．?dāng)S兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn)，問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”的概率． 【解】　設(shè)“擲出的點(diǎn)數(shù)之和

3、大于或等于10”為事件A，“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”為事件B. 法一：P(A|B)＝＝＝. 法二：“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種，故n(B)＝6. “擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆擲出6點(diǎn)”的情況有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3種，即n(AB)＝3. 從而P(A|B)＝＝＝. 相互獨(dú)立事件的概率 求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解． 特別注意以下兩公

4、式的使用前提： (1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． (2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立． 　設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立． (1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率； (2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求P(X＝1)． 【精彩點(diǎn)撥】　解決本題的關(guān)鍵是將復(fù)雜事件拆分成若干個(gè)彼此互斥事件的和或幾個(gè)彼此相互獨(dú)立事件的積事件，再利用相應(yīng)公式求解． 【規(guī)范解答】　記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i＝0,1,2，

5、 B表示事件：甲需使用設(shè)備，C表示事件：丁需使用設(shè)備， D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備． (1)D＝A1BC＋A2B＋A2C， P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2C) ＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2C) ＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)＝0.31. (2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用設(shè)備． P(X＝1)＝P(BA0＋A0C＋A1) ＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P() ＝0.60.52(1

6、－0.4)＋(1－0.6)0.520.4＋(1－0.6)20.52(1－0.4)＝0.25. [再練一題] 2．某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第1,2,3個(gè)問(wèn)題分別得100分，100分，200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第1,2,3個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8,0.7,0.6.且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響． (1)求這名同學(xué)得300分的概率； (2)求這名同學(xué)至少得300分的概率． 【解】　記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6. (1)這名同學(xué)得300分的概率為：P1

7、＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2) P(A3) ＝0.80.30.6＋0.20.70.6＝0.228. (2)這名同學(xué)至少得300分的概率為： P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3) ＝0.228＋0.80.70.6＝0.564. 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差 1.含義：均值和方差分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平及其穩(wěn)定性． 2．應(yīng)用范圍：均值和方差在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛，如同等資本下比較收益的高低、相同條件下比較質(zhì)量的優(yōu)劣、性能的好壞等． 3．求解思路：應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)

8、學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列．對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算．計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識(shí)求解．若離散型隨機(jī)變量服從特殊分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，則可直接代入公式計(jì)算其數(shù)學(xué)期望與方差． 　甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊(duì)伍比賽兩場(chǎng)，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒(méi)有平局．已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為，甲隊(duì)獲得第一名的概率為，乙隊(duì)獲得第一名的概率為. (1)求甲隊(duì)分別勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率P1，P2； (2)設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)得

9、分為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)通過(guò)列方程組求P1和P2；(2)由題意求出甲隊(duì)得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望和方差． 【規(guī)范解答】　(1)設(shè)“甲隊(duì)勝乙隊(duì)”的概率為P1，“甲隊(duì)勝丙隊(duì)”的概率為P2.根據(jù)題意，甲隊(duì)獲得第一名，則甲隊(duì)勝乙隊(duì)且甲隊(duì)勝丙隊(duì)， 所以甲隊(duì)獲得第一名的概率為P1P2＝.① 乙隊(duì)獲得第一名，則乙隊(duì)勝甲隊(duì)且乙隊(duì)勝丙隊(duì)， 所以乙隊(duì)獲得第一名的概率為(1－P1)＝.② 解②，得P1＝，代入①，得P2＝， 所以甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為，甲隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為. (2)ξ的可能取值為0,3,6. 當(dāng)ξ＝0時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)比賽皆輸，

10、其概率為 P(ξ＝0)＝＝； 當(dāng)ξ＝3時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)，其概率為 P(ξ＝3)＝＋＝； 當(dāng)ξ＝6時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)皆勝，其概率為 P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 3 6 P 所以Eξ＝0＋3＋6＝. Dξ＝2＋2＋2＝. [再練一題] 3．(2015天津高考)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽． (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生

11、的概率； (2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解】　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 所以，隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX＝1＋2＋3＋4＝. 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題，課標(biāo)要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識(shí)，主要是：(1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式；(2)理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；(3)記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對(duì)

12、稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率． 正態(tài)分布的概率通常有以下兩種方法： (1)注意“3σ原則”的應(yīng)用．記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率． (2)注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問(wèn)題成為熱點(diǎn)問(wèn)題． 　某學(xué)校高三2 500名學(xué)生第二次模擬考試總成績(jī)服從正態(tài)分布N(500,502)，請(qǐng)您判斷考生成績(jī)X在550～600分的人數(shù)． 【精彩點(diǎn)撥】　根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求出P(550＜x≤600)，即可解決在550～600分的人數(shù)． 【規(guī)范解答】　∵考生成績(jī)X～N (500,502)， ∴μ＝500，σ＝50，

13、 ∴P(550

14、 ∴P(－2≤X≤2)＝1－20.023＝0.954. 【答案】　C 方程思想的應(yīng)用 通過(guò)列方程求解未知數(shù)是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的一種重要數(shù)學(xué)思想．在概率運(yùn)算過(guò)程中，會(huì)經(jīng)常遇到求兩個(gè)或三個(gè)事件的概率或確定參數(shù)的值的問(wèn)題，此時(shí)可考慮方程(組)的方法，借助題中條件列出含參數(shù)或未知量的方程(組)進(jìn)行求解即可． 　甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為. (1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品

15、的概率； (2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率． 【精彩點(diǎn)撥】　設(shè)出甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品，依題意，它們相互獨(dú)立，利用乘法公式，結(jié)合方程思想來(lái)解決． 【規(guī)范解答】　(1)設(shè)A，B，C分別表示甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件． 由題設(shè)條件，有 即 由①③得，P(B)＝1－P(C)，代入②得： 27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0， 解得P(C)＝或(舍去)． 將P(C)＝分別代入②③，可得P(A)＝， P(B)＝. 即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是，，. (2)記D為從甲、乙、丙加

16、工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件． 則P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－＝. 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為. [再練一題] 5．A，B，C相互獨(dú)立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB )＝，則P(B)＝________. 【解析】　設(shè)P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c， ∴ 解得 ∴P(B)＝＝. 【答案】　 1．(2016江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________． 【解析】　5個(gè)數(shù)的平均數(shù)＝＝5.1， 所

17、以它們的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1. 【答案】　0.1 2．(2016四川高考)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________． 【解析】　法一：由題意可知每次試驗(yàn)不成功的概率為，成功的概率為，在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝2＝. 所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列為 X 0 1 2 P 則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的

18、均值為 E(X)＝0＋1＋2＝. 法二：此試驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布，其中p＝，所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2＝. 【答案】　 3．(2016全國(guó)卷Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保　費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

19、 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． 【解】　(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. (3

20、)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0. 10 0.05 EX＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 4．(2016山東高考)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)．在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知

21、甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： (1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【解】　(1)記事件A：“甲第一輪猜對(duì)”， 記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”， 記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”， 記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”， 記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的獨(dú)立性與互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(

22、B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝＋2＝， 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝2 ＝＝， P(X＝2)＝＋＋＋＝， P(X＝3)＝＋ ＝＝， P(X＝4)＝2 ＝＝， P(X＝6)＝＝＝. 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望EX＝0＋1＋2＋3＋4＋

23、6＝. 5．(2015四川高考)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)． (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率； (2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解】　(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名． 參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為＝. 因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1－＝. (2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3. P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列為 X 1 2 3 P 因此，X的數(shù)學(xué)期望為 EX＝1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3) ＝1＋2＋3＝2.