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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料章末分層突破章末分層突破自我校對(duì)1ac，bdzabiZ(a，b)OZac(bd)i(ac)(bd)i復(fù)數(shù)的概念正確確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提.兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù).求字母的范圍時(shí)一定要關(guān)注實(shí)部與虛部自身有意義.復(fù)數(shù) zlog3(x23x3)ilog2(x3)，當(dāng) x 為何實(shí)數(shù)時(shí)，(1)zR；(2)z 為虛數(shù).【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類列方程求解.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為 0，所以x23x30，log2（x3）0，x30，由得 x4
2、，經(jīng)驗(yàn)證滿足式.所以當(dāng) x4 時(shí)，zR.(2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為 0，所以x23x30，log2（x3）0，x30，由得 x3 212或 x3.所以當(dāng) x3 212且 x4 時(shí)，z 為虛數(shù).再練一題1.(1)設(shè) i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) a103i(aR)是純虛數(shù)，則 a 的值為()A.3B.1C.1D.3(2)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 i(z1)32i(i 是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) z 的實(shí)部是_.【解析】(1)因?yàn)?a103ia10（3i）（3i） （3i）a10（3i）10(a3)i，由純虛數(shù)的定義，知 a30，所以 a3.(2)法一：設(shè) zabi(a，bR)，則 i(z1)i(a
3、bi1)b(a1)i32i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得b3，a12，解得a1，b3.故復(fù)數(shù) z 的實(shí)部是 1.法二：由 i(z1)32i，得 z132ii23i，故 z13i，即復(fù)數(shù)z 的實(shí)部是 1.【答案】(1)D(2)1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)加減乘運(yùn)算可類比多項(xiàng)式的加減乘運(yùn)算，注意把 i 看作一個(gè)字母(i21)，除法運(yùn)算注意應(yīng)用共軛的性質(zhì) z z為實(shí)數(shù).(1)設(shè) i 是虛數(shù)單位，z表示復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù).若 z1i， 則ziiz()A.2B.2iC.2D.2i(2)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(z2i)(2i)5，則 z()A.23iB.23iC.32iD.32i【精彩點(diǎn)撥】(1)先求出 z及zi，結(jié)合復(fù)
4、數(shù)運(yùn)算法則求解.(2)利用方程思想求解并化簡(jiǎn).【規(guī)范解答】 (1)z1i， z1i，zi1iii2ii1i， ziiz1ii(1i)(1i)(1i)2.故選 C.(2)由(z2i)(2i)5，得 z2i52i2i5（2i）（2i） （2i）2i2i23i.【答案】(1)C(2)A再練一題2.已知(12i)z43i，則z-z的值為()A.3545iB.3545iC.3545iD.3545i【解析】因?yàn)?12i)z43i，所以 z43i12i（43i） （12i）52i，所以 z2i，所以z-z2i2i（2i）253545i.【答案】A復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)的幾何表示法：即復(fù)數(shù) zabi(a，bR
5、)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z(a，b)來表示.此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.2.復(fù)數(shù)的向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量表示的復(fù)數(shù)等于它的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；向量平移后，此向量表示的復(fù)數(shù)不變，但平移前后起點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)要改變.(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i1i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)12i2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(0，1)B.(0，1)C.45，35D.45，35【精彩點(diǎn)撥】先把復(fù)數(shù) z 化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出其對(duì)應(yīng)坐標(biāo).【規(guī)范解答】(1)復(fù)數(shù)i1ii（1i）（1i） （1i）1i21212
6、i.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是12，12 .復(fù)數(shù)i1i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選 A.(2)12i2i（12i） （2i）（2i） （2i）5i5i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(0，1)，故選A.【答案】(1)A(2)A再練一題3.(1)已知復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的向量如圖 51 所示， 則復(fù)數(shù) z1 所對(duì)應(yīng)的向量正確的是()圖 51(2)若 i 為虛數(shù)單位，圖 52 中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) Z 表示復(fù)數(shù) z，則表示復(fù)數(shù)z1i的點(diǎn)是()圖 52A.EB.FC.GD.H【解析】(1)由題圖知，z2i，z12i11i，故 z1對(duì)應(yīng)的向量應(yīng)為選項(xiàng) A.(2)由題圖可得 z3i，所以z1i3i1i（3i） （1i）（1i） （1i
7、）42i22i，則其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 H(2，1).【答案】(1)A(2)D轉(zhuǎn)化與化歸思想一般設(shè)出復(fù)數(shù) z 的代數(shù)形式，即 zxyi(x，yR)，則涉及復(fù)數(shù)的分類、幾何意義、模的運(yùn)算、四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù) x，y 應(yīng)滿足的條件，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的思想是本章的主要思想方法.設(shè) zC，滿足 z1zR，且 z14是純虛數(shù)，求 z.【精彩點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是設(shè)出 z 代入題中條件進(jìn)而求出 z.【規(guī)范解答】設(shè) zxyi(x，yR)，則z1zxyi1xyixxx2y2yyx2y2i，z1zR，yyx2y20，解得 y0 或 x2y21，又z14xyi14x14 yi 是純虛數(shù).x14
8、0，y0，x14，代入 x2y21 中，求出 y154，復(fù)數(shù) z14154i.再練一題4.滿足 z5z是實(shí)數(shù)，且 z3 的實(shí)部與虛部是相反數(shù)的虛數(shù) z 是否存在？若存在，求出虛數(shù) z；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解】設(shè)虛數(shù) zxyi(x，yR，且 y0)，則 z5zxyi5xyix5xx2y2y5yx2y2i，z3x3yi.由已知，得y5yx2y20，x3y，因?yàn)?y0，所以x2y25，xy3，解得x1，y2或x2，y1.所以存在虛數(shù) z12i 或 z2i 滿足題設(shè)條件.1.(2016全國(guó)卷)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 zi3i，則 z()A.12iB.12iC.32iD.32i【解析】由 zi3i 得 z
9、32i， z32i，故選 C.【答案】C2.(2015廣東高考)若復(fù)數(shù) zi(32i)(i 是虛數(shù)單位)，則 z()A.23iB.23iC.32iD.32i【解析】zi(32i)3i2i223i， z23i.【答案】A3.(2015安徽高考)設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2i1i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】2i1i2i（1i）（1i） （1i）2（i1）21i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知1i 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1，1)，該點(diǎn)位于第二象限，故選 B.【答案】B4.(2015山東高考)若復(fù)數(shù) z 滿足z1ii，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z()A.1i
10、B.1iC.1iD.1i【解析】由已知得 zi(1i)i1，則 z1i，故選 A.【答案】A5.(2016全國(guó)卷)設(shè)(12i)(ai)的實(shí)部與虛部相等，其中 a 為實(shí)數(shù)，則 a()A.3B.2C.2D.3【解析】(12i)(ai)a2(12a)i，由題意知 a212a，解得 a3，故選 A.【答案】A章末綜合測(cè)評(píng)章末綜合測(cè)評(píng)( (五五) )數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入引入(時(shí)間 120 分鐘，滿分 150 分)一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知 a，bC，下列命題正確的是()A.3i5iB.a
11、0|a|0C.若|a|b|，則 abD.a20【解析】A 選項(xiàng)中，虛數(shù)不能比較大??；B 選項(xiàng)正確；C 選項(xiàng)中，當(dāng) a，bR 時(shí)， 結(jié)論成立， 但在復(fù)數(shù)集中不一定成立， 如|i|1232i|， 但 i1232i或1232i；D 選項(xiàng)中，當(dāng) aR 時(shí)結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如 i210，b24b5(b2)210.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選 D.【答案】D10.如果復(fù)數(shù) z3ai 滿足條件|z2|2，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()A.(2 2，2 2)B.(2，2)C.(1，1)D.( 3，3)【解析】因?yàn)閨z2|3ai2|1ai| 1a22，所以 a214，所以a23，即 3a 3.【
12、答案】D11.若 1 2i 是關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x2bxc0 的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則()A.b2，c3B.b2，c3C.b2，c1D.b2，c1【解析】因?yàn)?1 2i 是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以 1 2i 也是方程的根，則 1 2i1 2i2b，(1 2i)(1 2i)3c，解得 b2，c3.【答案】B12.設(shè) z 是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A.若 z20，則 z 是實(shí)數(shù)B.若 z20，則 z 是虛數(shù)C.若 z 是虛數(shù)，則 z20D.若 z 是純虛數(shù)，則 z20【解析】設(shè) zabi(a，bR)，選項(xiàng) A，z2(abi)2a2b22abi0，則ab0，a2b2，故 b0 或 a，b
13、都為 0，即 z 為實(shí)數(shù)，正確.選項(xiàng) B，z2(abi)2a2b22abi0，則ab0，a2b2，則a0，b0，故 z 一定為虛數(shù)，正確.選項(xiàng) C，若 z 為虛數(shù)，則 b0，z2(abi)2a2b22abi，由于 a 的值不確定，故 z2無法與 0 比較大小，錯(cuò)誤.選項(xiàng) D，若 z 為純虛數(shù)，則a0，b0，則 z2b20，正確.【答案】C二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.將答案填在題中的橫線上)13.(2015重慶高考)設(shè)復(fù)數(shù) abi(a，bR)的模為 3，則(abi)(abi)_.【解析】|abi| a2b2 3，(abi)(abi)a2b23.【答案】314.a
14、 為正實(shí)數(shù)，i 為虛數(shù)單位，|aii|2，則 a_.【解析】aii（ai）（i）i （i）1ai，則|aii|1ai| a212，所以 a23.又 a 為正實(shí)數(shù)，所以 a 3.【答案】315.設(shè) a，bR，abi117i12i(i 為虛數(shù)單位)，則 ab 的值為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210088】【解析】 abi117i12i（117i） （12i）（12i） （12i）2515i553i， 依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 a5，b3.從而 ab8.【答案】816.若復(fù)數(shù) z 滿足|zi| 2(i 為虛數(shù)單位)，則 z 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為_.【解析】設(shè) zxyi(x，yR)，則由|zi|
15、2可得 x2（y1）2 2，即 x2(y1)22，它表示以點(diǎn)(0，1)為圓心， 2為半徑的圓及其內(nèi)部，所以 z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為 2.【答案】2三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分 10 分)計(jì)算：(1)( 2 2i)2(45i)；(2)22i（1i）221i2 016.【解】(1)( 2 2i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)22i（1i）221i201622i2i22i1 008i(1i)1i1 0081i(i)1 0081i1i.18.( 本 小 題 滿 分12分 ) 已 知
16、 關(guān) 于x ， y的 方 程 組（2x1）iy（3y）i，（2xay）（4xyb）i98i，有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) a，b 的值.【解】由得2x1y，y31，解得x52，y4，將 x，y 代入得(54a)(6b)i98i，所以54a9，（6b）8，所以 a1，b2.19.(本小題滿分 12 分)實(shí)數(shù) k 為何值時(shí)，復(fù)數(shù) z(k23k4)(k25k6)i是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)0.【解】(1)當(dāng) k25k60，即 k6 或 k1 時(shí)，z 是實(shí)數(shù).(2)當(dāng) k25k60，即 k6 且 k1 時(shí)，z 是虛數(shù).(3)當(dāng)k23k40，k25k60，即 k4 時(shí)，z 是純虛數(shù).(4)當(dāng)k
17、23k40，k25k60，即 k1 時(shí)，z 是 0.20.(本小題滿分 12 分)已知復(fù)數(shù) z 滿足|z| 2，z2的虛部是 2.(1)求復(fù)數(shù) z；(2)設(shè) z，z2，zz2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A，B，C，求ABC 的面積.【解】(1)設(shè) zabi(a，bR)，則 z2a2b22abi，由題意得 a2b22 且 2ab2，解得 ab1 或 ab1，所以 z1i 或 z1i.(2)當(dāng) z1i 時(shí)，z22i，zz21i，所以 A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，所以 SABC1.當(dāng) z1i 時(shí)，z22i，zz213i，所以 A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，所以 SABC1.2
18、1.(本小題滿分 12 分)已知復(fù)數(shù) z1 5i，z2 2 3i，z32i，z4 5在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是 A，B，C，D.(1)求證：A，B，C，D 四點(diǎn)共圓；(2)已知AB2 AP，求點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解】(1)證明：|z1|z2|z3|z4| 5，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D 四點(diǎn)都在圓 x2y25 上，即 A，B，C，D 四點(diǎn)共圓.(2)A(0， 5)，B( 2， 3)，AB( 2， 3 5).設(shè) P(x，y)，則AP(x，y 5)，若AB2 AP，那么( 2， 3 5)(2x，2y2 5)，22x， 3 52y2 5，解得x22，y5 32，點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為225 32i.22.(本小題滿分 12 分)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量 OZ1，OZ2分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且 z13a5(10a2)i，z221a(2a5)i，aR.若z1z2可以與任意實(shí)數(shù)比較大小，求 OZ1OZ2的值.【解】由題意，得z13a5(10a2)i，則z1z23a5(10a2)i21a(2a5)i3a521a (a22a15)i.因?yàn)閦1z2可以與任意實(shí)數(shù)比較大小，所以z1z2是實(shí)數(shù)，所以 a22a150，解得 a5 或 a3.又因?yàn)?a50，所以 a3，所以 z138i，z21i.所以 OZ138，1，OZ2(1，1).所以 OZ1OZ238(1)1158.
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