6、
a2
2
A ． (0,
6 )∪ (
17 ,∞ )
B． (
17 ,∞ )
C． [ 6 ， 17 ]
D．（ 6 ， 17 ）
7．以橢圓的右焦點
２
為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點
M、 N，橢圓的左焦點為
F
F １，且直線 ＭＦ １
與此圓相切，則橢圓的離心率
ｅ為
（
）
2
3
C ．２－
7、
3
D． 3 －１
A ．
B ．
2
2
1
2
1
2
平分線的
8．已知 F , F 是雙曲線的兩個焦點 , Q 是雙曲線上任意一點
, 從某一焦點引∠ F QF
垂線 , 垂足為 P, 則點 P 的軌跡是
（
）
A ．直線
B ．圓
C．橢圓
D．雙曲線
9．已知拋物線 y=2x2 上兩點 A(
8、x1,y1), B( x2,y2)關(guān)于直線 y=x+m 對稱 , 且 x1 x2=－ 1
, 那么 m 的
2
值等于
（
）
5
3
C． 2
D． 3
A ．
B ．
2
2
2
02
10．對于拋物線
0
0
0
0
0
C: y =4x, 我們稱滿足
y <4
9、x 的點
M( x ,
y ) 在拋物線的內(nèi)部 , 若點 M( x , y )
在拋物線的內(nèi)部 ,
則直線 l: y0y=2( x+ x0)與 C
（
）
A ．恰有一個公共點
B．恰有二個公共點
C．有一個公共點也可能有二個公共點
D．沒有公共點
二、填空題：請把答案填在題中橫線上
（每小題 6 分，共
24 分）．
11．橢圓 x2＋ 4y2＝ 4 長軸上一個頂點為
A，以 A 為直角頂點作一個內(nèi)接于橢圓的等腰直角三
角形，該三角形的
10、面積是
．
12．設(shè) P 為雙曲線
x 2
y2＝ 1 上一動點， O 為坐標(biāo)原點， M 為線段 OP 的中點，則點
M 的
4
軌跡方程是
．
13．定長為 l (l>
2b2
a
)的線段 AB 的端點在雙曲線 b2x2－ a2y2=a2b2 的右支上 , 則 AB 中點 M 的
橫
11、坐標(biāo)的最小值為
14．如果過兩點 A(a,0) 和 B(0,a) 的直線與拋物線
y x2
2x
3 沒有交點，那么實數(shù)
a 的
取值范圍是 _____________ ．
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三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
（共 76 分）．
2
A 、B 及一個定點
0
0
15．（ 12 分）已知拋物線
12、y =8x 上兩個動點
M（ x , y ），F(xiàn) 是拋物線的焦點，
且 |AF|、 |MF| 、 |BF|成等差數(shù)列，線段
AB 的垂直平分線與
x 軸交于一點 N．
（ 1）求點 N 的坐標(biāo)（用 x0 表示）；
（ 2）過點 N 與 MN 垂直的直線交拋物線于 P、 Q 兩點，若 |MN|=4
2 ，求△ MPQ 的面積．
x 2
y2
2
3
b) 的直線到原點
16．（ 12 分）已知雙曲線
2
b 2
1的離心率 e
，過 A(a,0), B(0,
a
3
13、
的距離是
3 .
2
（ 1）求雙曲線的方程；
（ 2）已知直線 y kx 5(k 0) 交雙曲線于不同的點 C，D 且 C，D 都在以 B 為圓心
的圓上，求 k 的值 .
17．（ 12 分）已知拋物線 y 2
x 的弦 AB 與直線 y=1 有公共點，且弦 AB 的中點 N 到 y 軸的
距離為 1，求弦 AB 長度的最大值，并求此直線
AB 所在的直線的方程．
14、
18．（ 12 分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點 M 1,2 ，它們在 x 軸上有共同焦點，橢圓
和雙曲線的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點．
（ 1）求這三條曲線的方程；
（ 2）已知動直線 l 過點 P 3,0 ，交拋物線于 A,B 兩點，是否存在垂直于 x 軸的直線 l 被
以 AP 為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，說明理由．
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15、
x2
8y 2
=1 （ a＞ b＞ 0）的左、右兩個焦點 .
19．（ 14 分）設(shè) F1、 F 2 分別為橢圓 C：
2
b2
a
（ 1）若橢圓 C 上的點 A（1，
3 ）到 F 1
2
兩點的距離之和等于 4，寫出橢圓 C 的方程和焦
、F
2
點坐標(biāo)；
（ 2）設(shè)點 K 是（ 1）中所得橢圓上的動點，求線段
F1K 的中點的軌跡方程；
（ 3）已知橢圓具有性質(zhì)：若
M、 N 是橢圓 C 上關(guān)于原點對稱的
16、兩個點，點
P 是橢圓上任意
一點，當(dāng)直線 PM、 PN 的斜率都存在，并記為
kPM、 kPN 時，那么 kPM 與 kPN 之積是與點
x2
y
2
1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．
P 位置無關(guān)的定值 .試對雙曲線
b
a 2
2
20．（ 14 分）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點
O，焦點在 x 軸上，斜率為
1 且過橢圓右焦點 F 的
直線交橢圓于 A 、 B 兩點， OA
OB 與 a
(3,
1) 共線．
（ 1）求橢圓的離心率；
17、
（ 2）設(shè) M 為橢圓上任意一點，且
uuuur uuuur
uuuuur
2
2 為定值．
OM
OA
OB ( ,R) ，證明
參考答案
一、 1． D；解析： x= 1
3y 2
化為 x2＋3y2 ＝1（ x＞ 0）．
2．A ；解析：由已知，直線
l 的方程為 ay+bx－ ab=0 ，原點到直線
l 的距離為
3
c，則有
4
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ab
3 c ，又 c2=a2+b2，∴ 4ab= 3 c2，兩邊平方，得 16a2 （c2 －a2） =3c4，兩邊
a 2
b 2
4
4 .而 0＜ a＜ b，得 e2= a
2
2
2
同除以 a4，并整理，得 3e4－ 16e2+16=0，∴ e2=4 或 e2=
a
2
b
1 b 2
3
19、
a
＞ 2，∴ e2 =4.故 e=2 ．評述：本題考查點到直線的距離，雙曲線的性質(zhì)以及計算、推理能力
.
難度較大，特別是求出
e 后還須根據(jù) b＞ a 進行檢驗 .
3． C； 4． C； 5．C； 6．A ；7． D ；8． B； 9． B； 10． D
二、
11．
16 ；解析：原方程可化為
x2
＋ y2 ＝1，a2＝ 4， b2＝ 1，∴ a＝ 2， b＝ 1， c＝ 3 ．當(dāng)?shù)?
25
4
20、
腰直角三角形，設(shè)交點（
x，y）（ y＞ 0）可得 2－ x＝ y，代入曲線方程得： y＝
4
∴ S＝
1
2y2
5 2
＝ 16 ．
25
12． x2－4y2 ＝1；解析：設(shè) P（x0， y0）∴ M（ x， y），∴ x x0 , y y0 ∴ 2x＝ x0， 2y＝ y0
2 2
∴ 4x2 － 4y2＝ 1x2－ 4y2＝ 1．
4
13． a(l
2a) ；
2
a 2
b 2
21、14．
,
13 ；
4
三、
15．（ 1）設(shè) A( x , y )、B( x 、 y ) ，由 |AF|、 |MF| 、 |BF|成等差數(shù)列得 x +x
=2x
0
．
1
1
2
2
1
2
得線段 AB 垂直平分線方程：
y
y1 y2
x1
x2 (x x0 ),
2
y1
y2
22、
令 y=0，得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0) ．
（ 2）由 M( x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4
2 , 得 x0=2．
由拋物線的對稱性，可設(shè) M 在第一象限，所以 M(2, 4), N(6,0) ．
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直線 PQ: y=x－6,
y
x
6,
由
y2
得P(18,12), Q(2, 4),得△ MPQ 的面積是 64．
23、
8x.
16．解：∵（ 1） c
2
3
, 原點到直線 AB： x
y
1 的距離
a
3
a
b
d
ab
ab
3
. ．
a 2
b 2
c
2
b
1, a
3 .
故所求雙曲線方程為
x 2
y 2
1 .
3
（ 2）把 y
kx
5
代入
24、x 2
3
y 2
3 中消去 y，整理得
(1 3k 2 ) x 2
30kx 78 0 .
設(shè) C(x1, y1 ), D (x2 , y2 ), CD 的中點是 E( x0 , y0 ) ，則
x 0
x1
x 2
15 k
2
y 0
kx 0
5
5
2
,
2
1 3 k
1 3 k
k BE
y 0
1
1 .
x 0
k
x0 ky0 k 0,
即
15 k
1
25、5 k
k
0 , 又 k
0 ,
k 2
7
1
3 k 2
3 k 2
故所求 k=
7 .
說明：為了求出
k 的值 , 需要通過消元 ,
想法設(shè)法建構(gòu) k 的方程 .
17．解：設(shè) A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) ，中點 N (1, y0 )
當(dāng) AB 直線的傾斜角 90時， AB 直線方程是 x
1, | AB | 2. （2 分）
當(dāng) AB 直線的傾斜角不為 90時， x1
y
26、12 , x2
y22 相減得 x1
x2
( y1 y2 )( y1 y2 )
所以 2 y0k AB
1即 y0
1
（ 4 分）
2k
1
設(shè) AB 直線方程為： y
y0
k ( x
1)即 y
k( x
1) ，由于弦 AB 與直線 y=1 有公共點，
2k
1
1
k
1
27、
1
故當(dāng) y=1 時，
2k
即
2
1
1
0
k
k
k 2
2
y
1
k( x 1)
故y 2
y
1
1
0
2k
x
y
2
k
2k 2
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所以
y1
y2
1
y1 y2
1
1
，
k
2k 2
故 | AB |
1
1
| y1
y2
|
(1
1
y
2 )
2
4y1 y 2 ]
(1
1
1
)
k
2
k
2 )[( y1
k
2 )(4
k
2
29、
k
1
,
1
1
],
1
1
0,4
1
0
2
(0,
k 2
k 2
k 2
4
1
1
1
1
4
1
5
k
30、2
k
2
2
| AB |
(1
(
)
k
2 )(4
k
2 )
2
2
故當(dāng) 1
1
4
1
即 k
6 時, | ABmax |
5
k 2
k 2
3
2
31、
18．解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為
2
2 px
p
0
，將 M
1,2
代入方程得 p
2 ，
y
拋物線方程為 :
y2
4x ；
由題意知橢圓、雙曲線的焦點為
F
1,0 1 , F2
1,0 ,
c=1
；
對于橢圓， 2a
MF1
MF2
1
2
22
1
2
4
2 2
2 ；
1
32、
1
a 1
2
a2
1
2
2
2
2
3
b2
a2
c2
2 2 2
橢圓方程為：
x2
y 2
1
33、
2
2
2
2
2
3
對于雙曲線， 2a
MF1
MF2
2
2
2
a
2
1
a 2
3
2 2
34、
b 2
c 2
a 2
2
2
2
雙曲線方程為：
x2
y2
1
3
2
2
2
2
2
（ 2）設(shè) AP 的中點為 C ， l 的方程為： x a ，以 AP 為直徑的圓交 l 于 D, E 兩點， DE 中點為 H
35、
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令 A x1 , y1 ,
C x13 , y1
2
2
DC
1 AP
1
x1
3
y1
2
2
2
2
CH
36、x1
3
a
1
x1
2a
3
2
2
2
DC
2
2
1
x1
2
1
x1
2a 3
2
DH
CH
3y12
a2
4
4
a - 2
x1
3a
當(dāng)
時,
2
為定值 ;
a
DH
37、4
6
2
2
DE
2 DH
2 2為定值
此時 l 的方程為： x
2
19．解：（ 1）橢圓 C 的焦點在 x 軸上，由橢圓上的點
A 到 F 、F
兩點的距離之和是
4，得
1
2
3 ）在橢圓上，因此
1
(
3
)2
2a=4，
38、即 a=2. 又點 A（1，
2
=1 得 b2=3，于是 c2=1.
2
22
b2
所以橢圓 C 的方程為 x2
y2
1
2
（ 1， 0） .
=1，焦點 F （－ 1， 0）， F
4 3
（ 2）設(shè)橢圓 C 上的動點為 K（ x1， y1），線段 F1K 的中點 Q（ x， y）滿足：
x
1
x1 , y
y1 ， 即 x1=2x+1，y1 =2y.
2
39、
2
因此 (2x
1) 2
(2 y)2
=1. 即 ( x
1) 2
4 y 2
1為所求的軌跡方程 .
4
3
2
3
（ 3）類似的性質(zhì)為：若
M、N 是雙曲線：
x2
y 2
=1 上關(guān)于原點對稱的兩個點，點
P 是雙
a 2
b 2
曲線上任意一點，當(dāng)直線
PM、PN 的斜率都存在，并記為
kPM、 kPN 時，那么 kPM 與 kPN 之積
是與點 P 位置無關(guān)的定值 .
40、
m2
n2
設(shè)點 M 的坐標(biāo)為（ m，n），則點 N 的坐標(biāo)為（－ m，－ n），其中
b2 =1.
a 2
又設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ x，y），由 kPM
y
n , kPN
y
n ，
x
m
x
m
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y n y n y 2
n2
2
b
41、2
x
2
2
, n
2
b 2
m2 － b2 代 入 得
得 kPM kPN=
x
2
m
2 ， 將 y
a
2
b
a
2
x m x m
PM
PN
b2
k
k =
a
2 .
評述：本題考查橢圓的基本知識，求動點軌跡的常用方法
42、
.第（ 3）問對考生的邏輯思維能力、
分析和解決問題的能力及運算能力都有較高的要求，根據(jù)提供的信息，讓考生通過類比自己找到所證問題，這是高考數(shù)學(xué)命題的方向，應(yīng)引起注意
20．本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知訓(xùn)，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理的能力 .
（ 1）解：設(shè)橢圓方程為
x2 y
2
1( a b 0), F (c,0),
a2 b
2
則直線 AB 的方程為 y x c, 代入 x
a
2
y
2
1
2
b 2
化
43、簡得 (
a
2
b
2 )
x
2
2
2
cx
a
2
c
2
2
b
2
0
.
a
a
令 A( x1 , y1 ), B( x2 ,
y2 ), 則 x1
x2
2a 2 c
, x1 x2
a 2c 2
a 2b
2
a
2
b
2
a
2
b
2
.
44、
由OA
OB
( x1
x2 , y1
y2 ), a
(3, 1), OA OB與a 共線，得
3( y1
y2 ) ( x1
x2 ) 0.
又 y1
x1
c, y2
x2
c, 3( x1
x2
2c) ( x1
x2 ) 0, x1
x2
3c
.
2
45、
即
2a2 c
3c
,
所以 a
2
3b
2
.
c
a
2
b
2
6a
2
b2
2
,
a
3
故離心率 e
c
6 .
a
3
46、
（ 2）證明：由（ I ）知 a2 3b2 ，所以橢圓 x
a
2
y 2
1可化為 x 2
3y 2
3b2 .
2
b 2
設(shè)OM ( x, y),由已知得 ( x, y) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ),
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x x1 x2 ,
y y1 y2 .
M ( x, y) 在橢圓上，
47、
( x1
x2 ) 2
3( y1
y2 ) 2
3b2 .
即
2 (
2
3
2 )
2 (
x
2
3
2 ) 2
(
x1 x2
3
y1 y2
) 3
2 .
①
x1
y1
2
y2
b
由（ 1）知 x1
x2
3 c, a 2
3 c2 , b 2
1 c2 .
2
2
2
x1 x2
a 2 c2
a 2b 2
3 c
48、 2 .
a2
b2
8
x1 x2
3y1 y2
x1
x2
3( x1
c)( x2 c)
4x1 x2
3( x1
x2 )c 3c 2
3 c 2
9 c2
3c2
2 2
0.
又 x12
3y12
3b2 , x22
3y22
3b 2 又，代入①得
22
1.
故 2
2 為定值，定值為 1.
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高二數(shù)學(xué)同步測試3
