高考數(shù)學(xué) 文復(fù)習(xí)檢測:第五章 數(shù)列 課時作業(yè)34 Word版含答案

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1、 課時作業(yè)34 數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.?dāng)?shù)列1,2,3,4,…的前n項和為(  ) A.(n2+n+2)- B.n(n+1)+1- C.(n2-n+2)- D.n(n+1)+2 解析:∵an=n+,∴Sn=1+2+…+n=(1+2+3+…+n)+=+=n(n+1)+1-=(n2+n+2)-. 答案:A 2.在數(shù)列{an}中,an=,若{an}的前n項和為,則項數(shù)n為(  ) A.2 010 B.2 011 C.2 012 D.2 013 解析:∵an==-, ∴Sn=1-==, 解得n=2 011. 答案:B 3.?dāng)?shù)列1,2

2、,3,4,…的前n項和為(  ) A.2-- B.2-- C.(n2+n+2)- D.(n+1)n+1- 解析:∵Sn=1+2+3+…+n①,∴Sn=1+2+…+(n-1)+n②.①-②,得Sn=1+1+1+…+-n=-, ∴Sn=2--. 答案:B 4.(20xx贛州摸底)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,且對任意n,m∈N*,都有am+n=aman,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則=(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因為am+n=aman, 則= =1+=1+ =1+a2=1+a=5,故選D. 答案:D 5.在數(shù)列{an}中,an=n,n

3、∈N*,前50個偶數(shù)的平方和與前50個奇數(shù)的平方和的差是(  ) A.0 B.5 050 C.2 525 D.-5 050 解析:(22+42+…+1002)-(12+32+…+992)=(22-12)+(42-32)+…+(1002-992)=3+7+11+…+195+199==5 050. 答案:B 6.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前60項和為(  ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 解析:當(dāng)n=2k時,a2k+1+a2k=4k-1,當(dāng)n=2k-1時,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2

4、k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,即a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(260-1)==3061=1 830. 答案:D 二、填空題 7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n+1(3n-2),則前100項和S100等于________. 解析:∵a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=-3,∴S100=-350=-150. 答案:-150 8.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a10a11<0,若此數(shù)列的前10項和S1

5、0=36,前18項和S18=12,則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是________. 解析:由a1>0,a10a11<0可知d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+…+a10-a11-…-a18 =S10-(S18-S10)=60. 答案:60 9.整數(shù)數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an(n∈N*),若此數(shù)列的前800項的和是2 013,前813項的和是2 000,則其前2 015項的和為________. 解析:由an+2=an+1-an,得an+2=an-an-1-an=-an-1,易得該數(shù)列是周期為6的數(shù)列,且an+2+an-1=0,S800=a1+

6、a2=2 013,S813=a1+a2+a3=2 000, ∴, ∴∴ 依次可得a5=-1 000,a6=13, 由此可知an+1+an+2+an+3+an+4+an+5+an+6=0, ∴S2 015=S5=-13. 答案:-13 10.(20xx鄭州模擬)若數(shù)列{an}是1,,,…,,…,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________. 解析:an=1+++…+ ==2, 所以Sn =2 =2=2 =2n-2+. 答案:2n-2+ 三、解答題 11.已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

7、 (2)若bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解:(1)∵{an-1}是等比數(shù)列且a1-1=2,a2-1=4,=2, ∴an-1=22n-1=2n,∴an=2n+1. (2)bn=nan=n2n+n,故Tn=b1+b2+b3+…+bn=(2+222+323+…+n2n)+(1+2+3+…+n). 令T=2+222+323+…+n2n, 則2T=22+223+324+…+n2n+1. 兩式相減,得-T=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1, ∴T=2(1-2n)+n2n+1=2+(n-1)2n+1. ∵1+2+3+…+n=, ∴Tn=(n-1)2n+1+

8、. 12.正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an; (2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<. 解:(1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0, 由于{an}是正項數(shù)列,所以Sn+1>0. 所以Sn=n2+n(n∈N*). n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n, n=1時,a1=S1=2適合上式, 所以an=2n(n∈N*). (2)證明:由an=2n(n∈N*). 得bn== =[-],Tn=

9、 = <=(n∈N*). 即對于任意的n∈N*,都有Tn<. 1.(20xx浙江卷)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則(  ) A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{S}是等差數(shù)列 C.{dn}是等差數(shù)列 D.22s22aa是等差數(shù)列 解析:由題意,過點A1,A2,A3,…,An,An+1,…分別作直線B1Bn+1的垂線,高分別記為h1,h2,h3,

10、…,hn,hn+1,…,根據(jù)平行線的性質(zhì),得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差數(shù)列,又Sn=|BnBn+1|hn,|BnBn+1|為定值,所以{Sn}是等差數(shù)列,故選A. 答案:A 2.已知Sn和Tn分別為數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的前n項和,且a1=e4,Sn=eSn+1-e5,an=ebn(n∈N*),則當(dāng)Tn取得最大值時,n的值為(  ) A.4 B.5 C.4或5 D.5或6 解析:由題意,得Sn=eSn+1-e5,Sn-1=eSn-e5(n∈N*且n≥2).上述兩式相減,得an=ean+1,即=(n∈N*且n≥2),∵a1=e4,Sn=eSn+1-e5,

11、∴a2=e3,=,∴數(shù)列{an}是以e4為首項,以為公比的等比數(shù)列,∴an=e5-n,∵an=ebn,∴bn=lne5-n=5-n,∴數(shù)列{bn}是以4為首項,-1為公差的等差數(shù)列,∴Tn=.對于函數(shù)y==-(x-)2+,其圖象開口向下且對稱軸方程為x=.考慮到{bn}的前n項和Tn中n∈N*,可知當(dāng)n=4或5時,Tn取得最大值. 答案:C 3.(20xx株洲一檢)已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,其前n項和為Sn.若直線y=a1x+m與圓x2+(y-1)2=1的兩個交點關(guān)于直線x+2y-d=0對稱,則數(shù)列{}的前100項和為________. 解析:因為直線y=a1x+m與圓

12、x2+(y-1)2=1的兩個交點關(guān)于直線x+2y-d=0對稱,所以兩交點連線的斜率a1滿足a1(-)=-1,所以a1=2,并且圓心(0,1)在直線x+2y-d=0上,所以d=2,所以等差數(shù)列的通項為an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,Sn=(2+2n)n=n(n+1),==-,設(shè){}的前100項和為T100,則T100=1-+-+-+…+-=1-=. 答案: 4.(20xx天津卷)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項. (Ⅰ)設(shè)cn=b-b,n∈N*, 求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列; (Ⅱ)設(shè)a1=d,Tn=(-1)kb,n∈N*,求證:<. 解:證明:(Ⅰ)由題意得b=anan+1,有cn=b-b=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差數(shù)列. (Ⅱ)Tn=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b) =2d(a2+a4+…+a2n) =2d=2d2n(n+1). 所以= =(-) =(1-)<.

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