新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;7 第1課時(shí) 正切函數(shù)的定義 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含答案

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第 1 課時(shí) 正切函數(shù)的定義 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 核心必知 1正切函數(shù) (1)定義：如果角 滿足：R R，2k(kZ Z)，那么，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a，b)，唯一確定比值ba.根據(jù)函數(shù)的定義，比值ba是角的函數(shù)，我們把它叫作角的正切函數(shù)，記作ytan_，其中R R，2k，kZ Z. (2)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系：sin xcos xtan_x (3)三角函數(shù)：正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù) (4)正切值在各象限內(nèi)的符號(hào)如圖 2正切線 單位圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線AT，與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線

2、交于點(diǎn)T.則稱線段AT為角的正切線當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，角的正切線不存在 3正切函數(shù)的圖像和性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) ytan x 圖像 續(xù)表 函數(shù) 性質(zhì) ytan x 定義域 x|xR R 且xk2，kZ Z 值域 R R 周期性 最小正周期為T 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在(k2，k2)(kZ Z)上是增加的 對(duì)稱性 圖像的對(duì)稱中心(k2，0)kZ Z 問題思考 1你能描述正切曲線的特征嗎？ 提示：正切曲線是被互相平行的直線xk2(kZ Z)所隔開的無窮多支曲線組成的，是間斷的，它沒有對(duì)稱軸，只有對(duì)稱中心 2正切曲線在整個(gè)定義域上都是增加的嗎？ 提示：不是正切函數(shù)定義域是x|xk2，kZ Z，正切曲

3、線在每一個(gè)開區(qū)間(k2，k2)(kZ Z)上是增加的，它是周期函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是增加的 3函數(shù)y|tan x|的周期是2嗎？ 提示：不是y|tan x|的周期仍為. 講一講 1已知 tan 2，利用三角函數(shù)的定義求 sin 和 cos . 嘗試解答 在的終邊上取一點(diǎn)P(a，2a)且a0， 則有xa，y2a，ra24a2 5|a|. tan 20，在第一象限或第三象限 當(dāng)在第一象限時(shí)，a0，則r 5a. sin yr2a5a2 55，cos xra5a55. 當(dāng)在第三象限時(shí)，a0，則r 5a. sin yr2a 5a2 55， cos xra 5a55. 1若P(x，y)是角終邊上任一點(diǎn)

4、，則 sin yr，cos xr，tan yx(x0)，其中rx2y2. 2當(dāng)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況及解題的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論 練一練 1角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(b，4)且 cos 35，求 tan 的值 解：由已知可知點(diǎn)P在第二象限，b0. cos 35，bb21635，解得b3， tan 43. 講一講 2畫出函數(shù)y|tan x|的圖像，并根據(jù)圖像寫出使y1 的x的集合 嘗試解答 y|tan x| tan x， kxk2，（kZ Z），tan x， k2xk，（kZ Z）， 畫出其圖像，如圖所示實(shí)線部分 由圖像可知x的集合為x|k4xk4，kZ Z 1三點(diǎn)

5、兩線畫圖法 “三點(diǎn)”是指4，1 ，(0，0)，4，1 ；“兩線”是指x2和x2.在三點(diǎn)、兩線確定的情況下，類似于五點(diǎn)法作圖，可大致畫出正切函數(shù)在2，2上的簡(jiǎn)圖，然后向右、向左擴(kuò)展即可得到正切曲線 2如果由yf(x)的圖像得到y(tǒng)f(|x|)及y|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對(duì)稱變換法完成；即只需作出yf(x)(x0)的圖像，令其關(guān)于y軸對(duì)稱便可以得到y(tǒng)f(|x|)(x0)的圖像；同理只要作出yf(x)的圖像，令圖像“上不動(dòng)下翻上”便可得到y(tǒng)|f(x)|的圖像 3利用函數(shù)的圖像可直觀地研究函數(shù)的性質(zhì)，如判斷奇偶性、周期性、解三角不等式等 練一練 2多維思考 根據(jù)講 2 中函數(shù)y|tan x|的

6、圖像，討論該函數(shù)的性質(zhì) 解：(1)定義域：x|xR R，x2k，kZ Z (2)值域：0，) (3)周期性：是周期函數(shù)，最小正周期為. (4)奇偶性：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)是偶函數(shù) (5)單調(diào)性： 在每一個(gè)區(qū)間(2k，k(kZ Z)上是減少的， 在每一個(gè)區(qū)間k，2k(kZ Z)上是增加的 (6)對(duì)稱性：對(duì)稱軸xk2，kZ Z. 講一講 3(1)求函數(shù)ytan12x4的單調(diào)區(qū)間 (2)比較 tan214與 tan175的大小 嘗試解答 (1)ytan x，在2k，2k (kZ Z)上是增加的，2k12x42k，kZ Z. 2k2x2k32，kZ Z， 即函數(shù)ytan12x4的單調(diào)遞增區(qū)間是2 2

7、k， 322k (kZ Z) (2)tan214tan45 tan4， tan175tan325tan25. 又函數(shù)ytan x在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞增，而 04252，tan4tan25，即 tan214tan175. 1正切函數(shù)在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增加的，在整個(gè)定義域內(nèi)不是增加的，另外正切函數(shù)不存在減區(qū)間 2對(duì)于函數(shù)yAtan(x)(A，是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間問題，可先由誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”思想，求得x的范圍即可 3 比較兩個(gè)正切函數(shù)值的大小， 要先利用正切函數(shù)的周期性將正切值化為區(qū)間2，2內(nèi)兩角的正切值，再利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小 練一練 3函數(shù)f(x)tan(

8、2x3)的單調(diào)遞增區(qū)間為_ 解析：由k22x3k2(kZ Z)， 得k212xk2512(kZ Z)， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k212，k2512)(kZ Z) 答案：(k212，k2512)(kZ Z) 求函數(shù)y11tan x的定義域 錯(cuò)解 由 1tan x0 得 tan x1， 解得xk4，kZ Z， 函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk4，kZ Z 錯(cuò)因 求函數(shù)的定義域不僅考慮使函數(shù)式有意義， 還得考慮正切函數(shù)本身固有的xk2，kZ Z 這一條 件上面的解法只考慮了 1tan x0，而沒有考慮xk2，kZ Z，因而是錯(cuò)誤的 正解 由1tan x0，xk2，kZ Z， 得xk4且xk2，kZ Z.

9、函數(shù)的定義域?yàn)閤xk4且xk2，kZ Z . 1函數(shù)ytan(x)是( ) A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù) 解析：選 A ytan(x)tan x. 此函數(shù)是奇函數(shù) 2函數(shù)ytan(x4)的定義域是( ) A.xx4 B.xx4 C.xxk4，kZ Z D.xxk4，kZ Z 解析：選 D 由x4k2，kZ Z 得，xk4，kZ Z，函數(shù)的定義域?yàn)閤xk4，kZ Z . 3已知角的終邊上一點(diǎn)P(2，1)，則 tan ( ) A.12 B2 C2 D12 解析：選 D tan yx1212. 4函數(shù)ytan x，x0，4的值域是_ 解析：函數(shù)ytan x在0，4上為增

10、加的， 0tan x1. 答案：0，1 5比較大小：tan 2_tan 9. 解析：tan 9tan(29)， 而2229，且ytan x在(2，)內(nèi)是增加的 tan 2tan(29)， 即 tan 2tan 9. 答案： 6利用正切函數(shù)的圖像作出ytan x|tan x|的圖像，并判斷此函數(shù)的周期性 解：當(dāng)x(k2，k時(shí)，ytan x0， 當(dāng)x(k，k2)時(shí)，ytan x0， ytan x|tan x|0，x（k2，k，kZ Z，2tan x，x（k，k2），Z Z. 圖像如圖所示 由ytan x|tan x|的圖像可知，它是周期函數(shù)，周期為. 一、選擇題 1已知是第二象限角，則( ) At

11、an20 Btan20 Ctan20 Dtan2的符號(hào)不確定 解析：選 A 是第二象限角， 2是第一或第三象限角， tan20. 2函數(shù)y2tan(2x4)的定義域是( ) A.xxR R且xk4，kZ Z B.xxR R且xk238，kZ Z C.xxR R且xk34，kZ Z D.xxR R且xk28，kZ Z 解析：選 B 由 2x4k2，kZ Z， 解得xk238，kZ Z. 3函數(shù)ytan(sin x)的值域是( ) A.4，4 B.22，22 Ctan 1，tan 1 D1，1 解析：選 C 1sin x1， 21sin x10tan x，cos x0 tan x，2x2，tan

12、x，x2或20， 函數(shù)的增區(qū)間為(k，k2)(kZ Z) 答案：k，k2(kZ Z) 7函數(shù)ysin x與ytan x的圖像在2，2上交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_ 解析：在x0，2時(shí)，tan xsin x，x2，0 時(shí)，tan xsin x，所以ysin x與ytan x在2，2上只有一個(gè)交點(diǎn)(0，0) 答案：1 8已知函數(shù)y2tan 612x，則函數(shù)的對(duì)稱中心是_ 解析：y2tan612x2tan 12x6. ytan x的對(duì)稱中心為k2，0 ， 令12x6k2，得xk3，kZ Z. y2tan612x的對(duì)稱中心為k3，0 ，kZ Z. 答案：k3，0 (kZ Z) 三、解答題 9已知f(x)asin xb

13、tan x1，f(25)7， 求f(2 0125) 解：設(shè)g(x)asin xbtan x，因?yàn)?sin x與 tan x都是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即g(x)g(x)0，故f(x)f(x)g(x)1g(x)12，又易得f2 0125f40225f25，f25f252，且f257， f2 0125f255. 10已知函數(shù)f(x)x22xtan 1，x1， 3 ，其中2，2. (1)當(dāng)6時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值； (2)求的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間1， 3 上是單調(diào)函數(shù) 解：(1)當(dāng)6時(shí)， f(x)x22 33x1x33243，x1， 3 當(dāng)x33時(shí)，f(x)的最小值為43； 當(dāng)x1 時(shí)，f(x)的最大值為2 33. (2)函數(shù)f(x)(xtan )21tan2的圖像的對(duì)稱軸為xtan . yf(x)在區(qū)間1， 3上是單調(diào)函數(shù)， tan 1 或tan 3， 即 tan 1 或 tan 3. 又2，2， 的取值范圍是2，34，2 .