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1、第65講二項式定理
對點訓(xùn)練
，工、. ../『
1.(2013 ?北海市第二次質(zhì)檢 )設(shè)(x+ 2)(2 x+ 3)10= @+ai(x + 2) + a?(x+ 2) 2+…+
aii( x + 2),則 a+ ai + a2+ …+ aii 的值為(B)
A. 0 B . i
C. 6 D . i5
解析：令 x = —i,則 i = ao+ai+a2+…+ aii,故選 b.
2.(20i2 ?廣東省惠州市第二次調(diào)研 )若(ax—i)5的展開式中x3的系數(shù)是80,則實數(shù)a
的值為(D )
A. - 2 B . 2平
C. W D . 2
解析：(ax—i
2、)5的展開式中含x3的項為 &ax)3( —i)2=i0a3x3,由題意得i0a3=80,所 以a=2,故選D.
3 .(20i2 ?河北名校俱樂部高三模擬 )已知(^+―) n的展開式中，各項系數(shù)之和大
于8且小于32,
則展開式中系數(shù)最大的項是 (A)
A. 6 x B.
C. 4x6 x D.
4
x
—或 4x.：Jx
解析：由條件可得 8<2n<32,所以n=4,又二項式中兩項系數(shù)均為 i,所以展開式中系
數(shù)最大的項就是二項式系數(shù)最大項，即為 c4(Vx)2(-)2=63/x,故選A.
就
4 .(20i3 ?威海市模擬)設(shè)(* —壬)6的展開式中x3
3、的系數(shù)為A,二項式系數(shù)為B,則A： x
B= ( A )
A. 4 B . - 4
C. 25 D . - 25
解析：Tk+1 = C6x6 k( — ^j=) k = Ckx6 — ^~( — 2) k,
令 6 —3k1 = 3,即 k=2,所以 T3=C2x3( -2)2=60x3,
所以x3的系數(shù)為A= 60,二項式系數(shù)為 B= C2=15,所以A： B= 60： 15=4,故選A.
5 .(2012 ?湖南卷)(2 4x —J=)6的二項展開式中的常數(shù)項為 一160 .(用數(shù)字作答)
x
解析：通項 Tr+i= C6(2 ^)6 r(-^)r=C626 r(-1)
4、rx3 r,
由題意知3—r = 0, r = 3,
所以二項展開式中的常數(shù)項為 T4=C623(- 1) 3=- 160.
6 .(2012 ?山東省萊蕪市上期末 )在(2x—1)4(1 +2x)的展開式中，x3項的系數(shù)為
16 .
解析：C2X22X2X(— 1)2+C4X23X(-1)X 1= 48-32= 16.
7 .(2012 ?山東省高考沖刺預(yù)測 )若(1 +/)5=a+b2(a, b為有理數(shù))，則a+b =
70
解析：因為(I+*)5=c0(姆)0+&(陋)1+(也)2+c5(小)3+d(W)4+ c5(72)5=41 + 294 由已知得 a=41, b=2
5、9,所以a+b = 70.
8 .設(shè) m n C N, f (x) = (1 + 2x) m+ (1 + x)n.
(1)當(dāng) m= n= 2011 時，記 f (x) = & + a1X+ 斂2+…+ &01d2011,求 a。一 a + &—…一22011；
(2)若f(x)展開式中x的系數(shù)是20,則當(dāng)m n變化時，試求x2系數(shù)的最小值.
解析：(1)令 x= - 1,得 aO— a1 + a2— …一 32011 = (1 - 2) +(1 — 1) = 一 1.
(2)因為 2&+ Cn= 2m^ n= 20,
所以n=20—2m則x2的系數(shù)為
22&+ Cn=4X m m
6、~l—+ n-n-^—=2n2- 2m^2(20 -2n)(19 -2n) =4n2-41n^ 190,
所以當(dāng)m= 5, n= 10時，f(x)展開式中x2的系數(shù)最小，最小值為 85.
9 .已知在(版一，)n的展開式中，第6項為常數(shù)項.
23x
(1)求 n；
(2)求含x2項的系數(shù)；
(3)求展開式中所有的有理項.
解析：(1)通項公式
Tr+1 =』(―md(—1),xY 3 2 3 2 3
n- 2r
因為第6項為常數(shù)項，則「= 5時，有二一=0,
3
所以n= 10.
人 n — 2r ，口 1
(2)令不一=2,得 r = j(n —6) = 2, 3 2
所以所求的系數(shù)為 C20(— 2) 2= 45.
f 10—2r
? 3Z
(3)根據(jù)通項公式，由題意得 0 0< r<10 .
r C Z
人 10—2r … r 3
令一^-= k(kCZ),貝U 10—2r=3k,即 r = 5--k,
3 2
因為rCZ,所以k應(yīng)為偶數(shù)，
所以k可取2,0 , — 2,即r可取2,5,8 ,
O 1 「口 1 『a 1a
所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為 Cw( --) x , Cw(-2) , C0( —2) x
-2
2
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