材料力學(xué)講稿：第6章彎曲內(nèi)力

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1、 第六章 彎曲內(nèi)力 一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容 1、教學(xué)目標(biāo) ⑴掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念； ⑵熟練掌握用截面法求彎曲內(nèi)力； ⑶熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖； ⑷利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖； ⑸掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。 2、教學(xué)內(nèi)容 ⑴平面彎曲等基本概念； ⑵截面法及簡便方法求彎曲內(nèi)力； ⑶剪力方程和彎矩方程、繪制剪力圖和彎矩圖； ⑷用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖； ⑸疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。 二、重點(diǎn)難點(diǎn) 1、平面彎曲的概念； 2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負(fù)符號規(guī)則； 3、

2、剪力圖和彎矩圖； 4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系； 5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。 三、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。 四、建議學(xué)時 7學(xué)時 五、實(shí)施學(xué)時 六、講課提綱 1、平面彎曲的概念及梁的種類 ⑴平面彎曲的概念 簡單回顧 軸向拉、壓： 圖6-1 受力：作用在橫截面上，作用線與桿軸線重合。 變形；沿軸線方向的伸長或縮短。 剪切： 圖6-2 受力：作用在桿的兩側(cè)面上，作用線⊥軸線。 變形：兩相鄰截面（力作用部位，二力之間）發(fā)生相對錯動。 扭轉(zhuǎn)：

3、 圖6-3 受力：T作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)（橫截面內(nèi)）。 變形：相鄰截面發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。 彎曲：討論桿的彎曲暫時限制在如下的范圍； ①桿的橫截面至少有一根對稱軸（一個對稱面） 圖6-4 ②載荷作用在對稱平面內(nèi) 在此前提下，可討論桿件彎曲的 受力特點(diǎn)：所有外力都作用在通過桿件軸線的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)： 圖6-5 變形特點(diǎn)：桿件軸線在載荷作用平面內(nèi)彎成一條曲線。 受力、變形具有上述特點(diǎn)的彎曲稱為平面彎曲。 ⑵何謂梁？ 凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。 ⑶梁的種類： ①簡支梁 圖6-6 ②懸臂梁

4、 圖6-7 ③外伸梁 圖6-8 ④多跨靜定梁 圖6-9 ⑤超靜定梁 圖6-10 2、梁的內(nèi)力及其求法 ⑴梁的內(nèi)力—剪力與彎矩 ①確定約束反力 圖6-11 ②內(nèi)力分析 用截面法沿m-m截面截開（任取一段） 圖6-12 按平衡的概念標(biāo)上,M。 --與橫截面相切—剪力 M—內(nèi)力偶矩—彎矩 ③內(nèi)力值的確定 用靜力平衡條件： 得 得 （O-- 截面形心） ⑵剪力、彎矩的正、負(fù)號規(guī)定： 剪力：當(dāng)截面上的FQ使該截面鄰近微段有做順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正，反之為負(fù)

5、。 圖6-13 彎矩：當(dāng)截面上的彎矩使該截面的鄰近微段下部受拉，上部受壓為正（即凹向上時為正），反之為負(fù)。 圖6-14 ⑶求指定截面上的剪力和彎矩 圖6-15 求圖示梁截面 A、C的內(nèi)力： 解：①求反力： ， 校核： (無誤) ②求指定截面上的內(nèi)力： 截面A左（不截到）： （使該段有逆時針轉(zhuǎn)動的趨勢） 圖6-16 （上拉下壓） 截面A右（截到）： 圖6-17

6、 截面C左（不截到M1）： 圖6-18 截面C右（截到M1）： 圖6-19 ⑷小結(jié) 基本規(guī)律 ①求指定截面上的內(nèi)力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結(jié)果一致（方向、轉(zhuǎn)向相反）。一般取外力比較簡單的一段進(jìn)行分析。 ②在解題時，一般在需要內(nèi)力的截面上把內(nèi)力（FQ、M）假設(shè)為正號。最后計算結(jié)果是正，則表示假設(shè)的內(nèi)力方向（轉(zhuǎn)向）是正確的，解得的FQ、M即為正的剪力和彎矩。若計算結(jié)果為負(fù)，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負(fù)的，其方向（轉(zhuǎn)

7、向）應(yīng)與所假設(shè)的相反（但不必再把脫離體圖上假設(shè)的內(nèi)力方向改過來）。 ③梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的外力會使該截面上產(chǎn)生正號的剪力，而所有向下的外力會使該截面上產(chǎn)生負(fù)號的剪力。 ④梁內(nèi)任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對于這個截面形心的力矩的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的力使該截面上產(chǎn)生正號的彎矩，而所有向下的力會使該截面上產(chǎn)生負(fù)號的彎矩。 另外，若考慮左段梁為脫離體時，在此段梁上所有順時針轉(zhuǎn)向的外力偶會使該截面上產(chǎn)生正號的彎矩

8、，而所有逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶會使該截面上產(chǎn)生負(fù)號的彎矩。 3、剪力圖和彎矩圖 為了知道FQ、M沿梁軸線的變化規(guī)律，只知道指定截面上的FQ、M是不夠的，并能找到、的值及其所在截面，以便對梁進(jìn)行強(qiáng)度，剛度計算，我們必須作梁的剪力圖和彎矩圖。 ⑴剪力方程和彎矩方程 梁內(nèi)各截面上的FQ、M一般隨橫截面的位置不同而變化，橫截面位置若用沿梁軸線的坐標(biāo) x來表示，則梁內(nèi)各橫截面上的FQ、M都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即 剪力方程 彎矩方程 在建立 、時，坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端。 ⑵剪力圖和彎矩圖 根據(jù)、，我們可方便地將、沿梁軸線的變化情況形象地表現(xiàn)出來，其方法是 橫

9、坐標(biāo)x---橫截面位置 縱坐標(biāo)或---按比例表示梁的內(nèi)力 、畫在橫坐標(biāo)的上邊 、畫在橫坐標(biāo)的下邊 ⑶剪力圖、彎矩圖的特點(diǎn)：（舉例說明） 例題6-1： 圖6-20 解：⑴求約束反力 整體平衡，求出約束反力： ； 注意；約束反力的校核 ⑵分段列、 注意：三定 ①定坐標(biāo)原點(diǎn)及正向 原點(diǎn)：一般設(shè)在梁的左端； 正向：自左向右為正向。 ②定方程區(qū)間 即找出分段點(diǎn)； 分段的原則：載荷有突變之處即為分段點(diǎn)。 ③定內(nèi)力正負(fù)號 截面上總設(shè)正號的剪力、彎矩。 三定后即可建立、 列、： AC段：（根據(jù) 圖b列方程） （0

10、 ⑴ （0≤x1≤a） ⑵ CB段：（圖c） （ab時， 據(jù)M圖可見，c截面處有， 若a=b=l/2,則 特點(diǎn)之一： 在集中力作用處，F(xiàn)Q圖

11、有突變（不連續(xù)），突變的絕對值等于該集中力的大??；；圖有一轉(zhuǎn)折點(diǎn)，形成尖角。（M圖的切線斜率有突然變化） 例題6-2 圖6-21 AC段： （0

12、 若a>b,則集中力偶左側(cè)截面上有最大彎矩 特點(diǎn)之二： 在集中力偶作用下，彎矩圖發(fā)生突變（不連續(xù)），突變的絕對值等于該集中力偶矩的大??；；但剪力圖沒有突變。（FQ圖連續(xù)，并不改變斜率）。 例題6-3 圖6-22 （0

13、端的鉸支座上，剪力等于該支座的約束反力。如果在端點(diǎn)鉸支座上沒有集中力偶的作用，則鉸支座處的彎矩等于零。 例題6-4 圖6-23 （0≤x≤） ⑴ （0≤x≤） ⑵ 在固定端處： 特點(diǎn)之四： 在梁的外伸自由端點(diǎn)處，如果沒有集中力偶的作用，則端點(diǎn)處的彎矩等于零；如果沒有集中力的作用，則剪力等于零。 特點(diǎn)之五： 在固定端處，剪力和彎矩分別等于該支座處的支座反力和約束力偶矩。 特點(diǎn)之六： 最大剪力、最大彎矩及

14、其位置。 最大剪力發(fā)生位置：梁的支座處及集中力作用處有，例題6-3及6-4 最大彎矩一般發(fā)生在下列部位； ①集中力作用的截面處 例題6-1 ②集中力偶作用的截面處 例題6-2 ③FQ=0處，M有極值 例題6-3 ④懸臂梁的固定端處 例題6-4（外伸梁的支座處往往也有） 例題6-5 圖6-24 特點(diǎn)之七： 在梁的中間鉸上如果沒有集中力偶作用，則中間鉸處彎矩必等于零，而剪力圖在此截面處不發(fā)生突變。 例題6-6 再分析例題6-1；集中作用在/2處 圖6-26 再分析例

15、題6-3：簡支梁承受均布載荷 圖6-27 特點(diǎn)之八： 對稱結(jié)構(gòu)、對稱載荷，F(xiàn)Q圖反對稱，M圖對稱，據(jù)此特點(diǎn)，下面這道題即可方便作出 FQ、M圖（只要列出一半的剪力、彎矩方程即可作圖） 圖6-25 AC段： （0

16、彎點(diǎn)處 M=0，構(gòu)件設(shè)計中確定反彎點(diǎn)的位置具有實(shí)際意義。 4、、、之間的微分和積分關(guān)系。 留心例題6-1到例題6-4；特別是例題6-3、例題6-4，可以發(fā)現(xiàn)： ，。是否普遍存在著這樣的關(guān)系？ ⑴、、之間的微分關(guān)系。 圖6-27 取 dx一段討論，任設(shè)、均為正值。 ⑴ 式⑴的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面處作用在梁上的分布荷載集度。 式⑴的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度，就是剪力圖上相關(guān)點(diǎn)處的斜率。 略去

17、高階微量 ⑵ 式⑵的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面上的剪力。 式⑵的幾何意義：任一橫截面處的剪力，就是彎矩圖上相關(guān)點(diǎn)處的斜率。 對⑵式的兩邊求導(dǎo)，則 ⑶ 式⑶的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導(dǎo)數(shù)，等于同一截面處作用在梁上的分布荷載集度 數(shù)學(xué)上：二階導(dǎo)數(shù)可用來判定曲線的凹向，因此： 式⑶的幾何意義：可以根據(jù) 對x的二階導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來定出圖的凹向。 ⑵根據(jù)、、之間的微分關(guān)系所得出的一些規(guī)律： ①若=0

18、 ∵==0 ，即=常數(shù) ∴圖為一水平直線； 又∵=常數(shù)，即M圖的斜率為一常數(shù) ∴ M圖為一斜直線。 并且 當(dāng)時，M圖為上升的斜直線（/）； 當(dāng)時，M圖為下降的斜直線（\）. ②若 （即分布荷載向下） ∵=<0 ∴圖為一下降的斜直線（\） 又∵ ∴ M圖下降。 再∵ ∴ M圖為一凹向下的曲線（∩） ③若 （即分布荷載向上） ∵=0 ∴圖為一上升的斜直線（/） 又∵ ∴ M圖上增。 再∵ ∴ M圖為一凹向上的曲線（∪） ④若 （即懸臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M,而梁上又無q、FP作用） 則 M圖的斜率為零，M圖為一水平直線。 若，M圖在該處

19、的斜率為零時， 則在此截面上M 為一極值。 ⑤若 或 （即分段列內(nèi)力方程的分段點(diǎn)，變號） 則M在該處必有極值。 當(dāng)時， M有極大值； 當(dāng)時， M有極小值。 ⑶、、之間的積分關(guān)系 ∵ ∴ 若梁上任有兩點(diǎn)：a和b，則 幾何意義；任何兩截面（b，a）上的剪力之差，等于此兩截面間梁段上的荷載圖的面積； 又∵ ∴ 幾何意義；任何兩截面上的彎矩之差，等于此兩截面間的剪力圖的面積。 ⑷、、之間的微分關(guān)系和積分關(guān)系的應(yīng)用 作內(nèi)力圖既快又正確的三句話： 抓住“關(guān)系”； 注意突變； 定點(diǎn)控制。 利用、、間的微分關(guān)系和積分關(guān)系作FQ、M圖 例題6-8

20、 圖6-28 例題6-9 圖6-29 例題6-10 圖6-30 例題6-11 圖6-31 5、用疊加法繪制梁的剪力圖和彎矩圖 ⑴疊加法的基本思想 當(dāng)梁在外力作用下的變形微小時，梁上若干外力對某一截面引起的內(nèi)力等于各個力單獨(dú)作用下對該截面引起的內(nèi)力的代數(shù)和。 ⑵疊加法 ①同號圖形的疊加 圖6-32 ②異號圖形的疊加 圖6-33 疊加法的三句話： ①截面相對應(yīng)，同號只管加。 ②異號重疊處，不用去管它；抓住控制面，一一相減加。 ③圖形必須歸整，反彎點(diǎn)要對準(zhǔn)；控制截面須對應(yīng)，正負(fù)一定要分清。