人教初中數(shù)學(xué)人教版第13章 軸對稱測試卷(3)

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1、111 第13章 軸對稱 測試卷(3) 一、選擇題 1.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若點M、N分別是線段AC,AB上的兩個動點,則BM+MN的最小值為( ?。? A.10 B.8 C.5 D.6 2.如圖,四邊形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分別是BC、DC上的點,當(dāng)△AEF的周長最小時,∠EAF的度數(shù)為( ?。? A.50° B.60° C.70° D.80° 3.如圖,直線l外不重合的兩點A、B,在直線l上求作一點C,使得AC+BC的長度最短,作法為:①作點B關(guān)于直線l的

2、對稱點B′;②連接AB′與直線l相交于點C,則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是( ?。? A.轉(zhuǎn)化思想 B.三角形的兩邊之和大于第三邊 C.兩點之間,線段最短 D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角 4.如圖,點P是∠AOB內(nèi)任意一點,OP=5cm,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,△PMN周長的最小值是5cm,則∠AOB的度數(shù)是( ?。? A.25° B.30° C.35° D.40° 5.如圖,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點

3、P,使PD+PE最小,則這個最小值為( ?。? A. B.2 C.2 D. 6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D是AB上的動點,E是BC上的動點,則AE+DE的最小值為( ?。? A.3+2 B.10 C. D. 7.如圖,AB是⊙O的直徑,AB=8,點M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中點,P是直徑AB上的一動點.若MN=1,則△PMN周長的最小值為(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.如圖,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點A在⊙O上,∠AMN=30°,點B為劣弧AN的中點.P是直徑MN上一動點,則P

4、A+PB的最小值為( ?。? A. B.1 C.2 D.2 9.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動點,則PC+PQ的最小值是( ?。? A. B.4 C. D.5   二、填空題 10.如圖,已知正方形ABCD邊長為3,點E在AB邊上且BE=1,點P,Q分別是邊BC,CD的動點(均不與頂點重合),當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時,四邊形AEPQ的面積是 ?。? 11.如圖,在邊長為2的等邊△ABC中,D為BC的中點,E是AC邊上一點,則BE+DE的最小值為 ?。? 12.如圖,∠

5、AOB=30°,點M、N分別在邊OA、OB上,且OM=1,ON=3,點P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是 ?。? 13.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中.點A,B,C,D均在格點上,點E、F分別為線段BC、DB上的動點,且BE=DF. (Ⅰ)如圖①,當(dāng)BE=時,計算AE+AF的值等于   (Ⅱ)當(dāng)AE+AF取得最小值時,請在如圖②所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出線段AE,AF,并簡要說明點E和點F的位置如何找到的(不要求證明) ?。? 14.如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,BE=1,F(xiàn)為AB上一點,AF=2,P為AC上一點,則PF+

6、PE的最小值為 ?。? 15.如圖,∠AOB=30°,點M、N分別是射線OA、OB上的動點,OP平分∠AOB,且OP=6,當(dāng)△PMN的周長取最小值時,四邊形PMON的面積為 ?。? 16.在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AB=8cm,==,M是AB上一動點,CM+DM的最小值是  cm. 17.如圖,正方形ABCD的邊長為2,點E為邊BC的中點,點P在對角線BD上移動,則PE+PC的最小值是 ?。? 18.如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠DAB=60°,E為BC的中點,在對角線AC上存在一點P,使△PBE的周長最小,則△PBE的周長的最小值為 ?。? 19

7、.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E是AB邊上的一點,且AE=3,點Q為對角線AC上的動點,則△BEQ周長的最小值為 ?。? 20.如圖,菱形ABCD中,對角線AC=6,BD=8,M、N分別是BC、CD的中點,P是線段BD上的一個動點,則PM+PN的最小值是 ?。? 21.在如圖所示的平面直角坐標系中,點P是直線y=x上的動點,A(1,0),B(2,0)是x軸上的兩點,則PA+PB的最小值為 ?。? 22.菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,E是AD邊中點,點P是對角線BD上的動點,當(dāng)AP+PE的值最小時,PC的長是 ?。? 23.如圖,在平面直角坐標系中,

8、已知點A(2,3),點B(﹣2,1),在x軸上存在點P到A,B兩點的距離之和最小,則P點的坐標是 ?。?   三、解答題 24.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(0,3),B(2,4),C(4,0),D(2,﹣3),E(0,﹣4).寫出D,C,B關(guān)于y軸對稱點F,G,H的坐標,并畫出F,G,H點.順次而平滑地連接A,B,C,D,E,F(xiàn),G,H,A各點.觀察你畫出的圖形說明它具有怎樣的性質(zhì),它象我們熟知的什么圖形? 25.如圖,在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中,有線段AB和直線MN,點A,B,M,N均在小正方形的頂點上. (1)在方格紙中畫四邊形ABCD(四邊形的

9、各頂點均在小正方形的頂點上),使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形,點A的對稱點為點D,點B的對稱點為點C; (2)請直接寫出四邊形ABCD的周長. 26.在圖示的方格紙中 (1)作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1; (2)說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的? 27.如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上,點E在BC邊上,且點E在小正方形的頂點上,連接AE. (1)在圖中畫出△AEF,使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對稱,點F與點B是對稱點; (2)請直接寫出△AEF與四邊形ABCD

10、重疊部分的面積. 28.如圖,已知拋物線的頂點為A(1,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C、D兩點,點P是x軸上的一個動點. (1)求此拋物線的解析式; (2)當(dāng)PA+PB的值最小時,求點P的坐標. 29.作圖題:(不要求寫作法)如圖,△ABC在平面直角坐標系中,其中,點A、B、C的坐標分別為A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2). (1)作△ABC關(guān)于直線l:x=﹣1對稱的△A1B1C1,其中,點A、B、C的對應(yīng)點分別為A1、B1、C1; (2)寫出點A1、B1、C1的坐標. 30.如圖,在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中(

11、我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點),四邊形ABCD在直線l的左側(cè),其四個頂點A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點上. (1)請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形A′B′C′D′,使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對稱,其中點A′、B′、C′、D′分別是點A、B、C、D的對稱點; (2)在(1)的條件下,結(jié)合你所畫的圖形,直接寫出線段A′B′的長度.   參考答案與試題解析 一、選擇題 1.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若點M、N分別是線段AC,AB上的兩個動點,則BM+MN的最小值為( ?。? A.10 B.8 C.5 D.6 【考點】軸對稱

12、-最短路線問題. 【分析】過B點作AC的垂線,使AC兩邊的線段相等,到E點,過E作EF垂直AB交AB于F點,EF就是所求的線段. 【解答】解:過B點作AC的垂線,使AC兩邊的線段相等,到E點,過E作EF垂直AB交AB于F點, AC=5, AC邊上的高為2,所以BE=4. ∵△ABC∽△EFB, ∴=,即= EF=8. 故選B. 【點評】本題考查最短路徑問題,關(guān)鍵確定何時路徑最短,然后運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得解.   2.如圖,四邊形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分別是BC、DC上的點,當(dāng)△AEF的周長最小時,∠EAF

13、的度數(shù)為( ?。? A.50° B.60° C.70° D.80° 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【專題】壓軸題. 【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小,即利用點的對稱,使三角形的三邊在同一直線上,作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′,A″,即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°,進而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″),即可得出答案. 【解答】解:作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′,A″,連接A′A″,交BC于E,交CD于F,則A′A″即為△AEF的周長最小值.作DA延長線AH, ∵∠C=50°, ∴∠

14、DAB=130°, ∴∠HAA′=50°, ∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°, ∵∠EA′A=∠EAA′,∠FAD=∠A″, ∴∠EAA′+∠A″AF=50°, ∴∠EAF=130°﹣50°=80°, 故選:D. 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題,涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出E,F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵.   3.如圖,直線l外不重合的兩點A、B,在直線l上求作一點C,使得AC+BC的長度最短,作法為:①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′;②連

15、接AB′與直線l相交于點C,則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是( ?。? A.轉(zhuǎn)化思想 B.三角形的兩邊之和大于第三邊 C.兩點之間,線段最短 D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【分析】利用兩點之間線段最短分析并驗證即可即可. 【解答】解:∵點B和點B′關(guān)于直線l對稱,且點C在l上, ∴CB=CB′, 又∵AB′交l與C,且兩條直線相交只有一個交點, ∴CB′+CA最短, 即CA+CB的值最小, 將軸對稱最短路徑問題利用線段的性質(zhì)定理兩點之間,線段最短,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,驗證時利用三角形的兩邊之和

16、大于第三邊. 故選D. 【點評】此題主要考查了軸對稱最短路線問題,凡是涉及最短距離的問題,一般要考慮線段的性質(zhì)定理,結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決,多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.   4.如圖,點P是∠AOB內(nèi)任意一點,OP=5cm,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,△PMN周長的最小值是5cm,則∠AOB的度數(shù)是(  ) A.25° B.30° C.35° D.40° 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【專題】壓軸題. 【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D,連接CD,分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、P

17、M、PN、MN,由對稱的性質(zhì)得出PM=DM,OP=OC,∠COA=∠POA;PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠AOB=∠COD,證出△OCD是等邊三角形,得出∠COD=60°,即可得出結(jié)果. 【解答】解:分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D,連接CD, 分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示: ∵點P關(guān)于OA的對稱點為D,關(guān)于OB的對稱點為C, ∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA; ∵點P關(guān)于OB的對稱點為C, ∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB, ∴OC=OP=OD,∠AOB=∠COD, ∵△PM

18、N周長的最小值是5cm, ∴PM+PN+MN=5, ∴DM+CN+MN=5, 即CD=5=OP, ∴OC=OD=CD, 即△OCD是等邊三角形, ∴∠COD=60°, ∴∠AOB=30°; 故選:B. 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握軸對稱的性質(zhì),證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.   5.如圖,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE最小,則這個最小值為( ?。? A. B.2 C.2 D. 【考點】軸對稱-最短路線問題

19、;正方形的性質(zhì). 【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱,所以BE與AC的交點即為P點.此時PD+PE=BE最小,而BE是等邊△ABE的邊,BE=AB,由正方形ABCD的面積為12,可求出AB的長,從而得出結(jié)果. 【解答】解:由題意,可得BE與AC交于點P. ∵點B與D關(guān)于AC對稱, ∴PD=PB, ∴PD+PE=PB+PE=BE最?。? ∵正方形ABCD的面積為12, ∴AB=2. 又∵△ABE是等邊三角形, ∴BE=AB=2. 故所求最小值為2. 故選B. 【點評】此題考查了軸對稱﹣﹣最短路線問題,正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),找到點P的位置是解決問題的關(guān)鍵.  

20、 6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D是AB上的動點,E是BC上的動點,則AE+DE的最小值為( ?。? A.3+2 B.10 C. D. 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A′,過點A′作A′D⊥AB交BC、AB分別于點E、D,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,A′D的長度即為AE+DE的最小值,利用勾股定理列式求出AB,再利用∠ABC的正弦列式計算即可得解. 【解答】解:如圖,作點A關(guān)于BC的對稱點A′,過點A′作A′D⊥AB交BC、AB分別于點E、D, 則A′D的長度即為AE+DE的最小值,AA′=2AC=2

21、5;6=12, ∵∠ACB=90°,BC=8,AC=6, ∴AB===10, ∴sin∠BAC===, ∴A′D=AA′?sin∠BAC=12×=, 即AE+DE的最小值是. 故選D. 【點評】本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題,主要利用了勾股定理,垂線段最短,銳角三角函數(shù)的定義,難點在于確定出點D、E的位置.   7.如圖,AB是⊙O的直徑,AB=8,點M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中點,P是直徑AB上的一動點.若MN=1,則△PMN周長的最小值為( ?。? A.4 B.5 C.6 D.7 【考點】軸對稱-最短路線問題;

22、圓周角定理. 【專題】壓軸題. 【分析】作N關(guān)于AB的對稱點N′,連接MN′,NN′,ON′,ON,由兩點之間線段最短可知MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點,根據(jù)N是弧MB的中點可知∠A=∠NOB=∠MON=20°,故可得出∠MON′=60°,故△MON′為等邊三角形,由此可得出結(jié)論. 【解答】解:作N關(guān)于AB的對稱點N′,連接MN′,NN′,ON′,ON. ∵N關(guān)于AB的對稱點N′, ∴MN′與AB的交點P′即為△PMN周長的最小時的點, ∵N是弧MB的中點, ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°, ∴∠MON′=60°,

23、 ∴△MON′為等邊三角形, ∴MN′=OM=4, ∴△PMN周長的最小值為4+1=5. 故選:B. 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路徑問題,凡是涉及最短距離的問題,一般要考慮線段的性質(zhì)定理,結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決,多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.   8.如圖,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點A在⊙O上,∠AMN=30°,點B為劣弧AN的中點.P是直徑MN上一動點,則PA+PB的最小值為( ?。? A. B.1 C.2 D.2 【考點】軸對稱-最短路線問題;勾股定理;垂徑定理. 【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點B′,連接OA、OB、OB′、AB′,根

24、據(jù)軸對稱確定最短路線問題可得AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AON=60°,然后求出∠BON=30°,再根據(jù)對稱性可得∠B′ON=∠BON=30°,然后求出∠AOB′=90°,從而判斷出△AOB′是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB′=OA,即為PA+PB的最小值. 【解答】解:作點B關(guān)于MN的對稱點B′,連接OA、OB、OB′、AB′, 則AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點,PA+PB的最小值=AB′, ∵∠AMN=30°, ∴∠AON=

25、2∠AMN=2×30°=60°, ∵點B為劣弧AN的中點, ∴∠BON=∠AON=×60°=30°, 由對稱性,∠B′ON=∠BON=30°, ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°, ∴△AOB′是等腰直角三角形, ∴AB′=OA=×1=, 即PA+PB的最小值=. 故選:A. 【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題,在同圓或等圓中,同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍的性質(zhì),作輔助線并得到△AOB′是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.   9.

26、如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動點,則PC+PQ的最小值是( ?。? A. B.4 C. D.5 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【分析】過點C作CM⊥AB交AB于點M,交AD于點P,過點P作PQ⊥AC于點Q,由AD是∠BAC的平分線.得出PQ=PM,這時PC+PQ有最小值,即CM的長度,運用勾股定理求出AB,再運用S△ABC=AB?CM=AC?BC,得出CM的值,即PC+PQ的最小值. 【解答】解:如圖,過點C作CM⊥AB交AB于點M,交AD于點P,過點P作PQ⊥AC于點Q, ∵AD是∠

27、BAC的平分線. ∴PQ=PM,這時PC+PQ有最小值,即CM的長度, ∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°, ∴AB===10. ∵S△ABC=AB?CM=AC?BC, ∴CM===, 即PC+PQ的最小值為. 故選:C. 【點評】本題主要考查了軸對稱問題,解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置.   二、填空題 10.如圖,已知正方形ABCD邊長為3,點E在AB邊上且BE=1,點P,Q分別是邊BC,CD的動點(均不與頂點重合),當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時,四邊形AEPQ的面積是 3?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的

28、性質(zhì). 【專題】計算題;壓軸題. 【分析】根據(jù)最短路徑的求法,先確定點E關(guān)于BC的對稱點E′,再確定點A關(guān)于DC的對稱點A′,連接A′E′即可得出P,Q的位置;再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積. 【解答】解:如圖1所示, 作E關(guān)于BC的對稱點E′,點A關(guān)于DC的對稱點A′,連接A′E′,四邊形AEPQ的周長最小, ∵AD=A′D=3,BE=BE′=1, ∴AA′=6,AE′=4. ∵DQ∥AE′,D是AA′的中點, ∴DQ是△AA′E′的中位線, ∴DQ=AE′=2;CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1, ∵BP∥AA′, ∴△BE′P∽△AE′A′,

29、∴=,即=,BP=,CP=BC﹣BP=3﹣=, S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD?DQ﹣CQ?CP﹣BE?BP =9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=, 故答案為:. 【點評】本題考查了軸對稱,利用軸對稱確定A′、E′,連接A′E′得出P、Q的位置是解題關(guān)鍵,又利用了相似三角形的判定與性質(zhì),圖形分割法是求面積的重要方法.   11.如圖,在邊長為2的等邊△ABC中,D為BC的中點,E是AC邊上一點,則BE+DE的最小值為 ?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題;等邊三角形的性質(zhì).

30、 【分析】作B關(guān)于AC的對稱點B′,連接BB′、B′D,交AC于E,此時BE+ED=B′E+ED=B′D,根據(jù)兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值,故E即為所求的點. 【解答】解:作B關(guān)于AC的對稱點B′,連接BB′、B′D,交AC于E,此時BE+ED=B′E+ED=B′D,根據(jù)兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值, ∵B、B′關(guān)于AC的對稱, ∴AC、BB′互相垂直平分, ∴四邊形ABCB′是平行四邊形, ∵三角形ABC是邊長為2, ∵D為BC的中點, ∴AD⊥BC, ∴AD=,BD=CD=1,BB′=2AD=2, 作B′G⊥BC的延長線于G, ∴

31、B′G=AD=, 在Rt△B′BG中, BG===3, ∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2, 在Rt△B′DG中,B′D===. 故BE+ED的最小值為. 故答案為:. 【點評】本題考查的是最短路線問題,涉及的知識點有:軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等,有一定的綜合性,但難易適中.   12.如圖,∠AOB=30°,點M、N分別在邊OA、OB上,且OM=1,ON=3,點P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是 ?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【專題】壓軸題. 【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′,作N關(guān)于OA的對稱點N′,連接M

32、′N′,即為MP+PQ+QN的最小值. 【解答】解:作M關(guān)于OB的對稱點M′,作N關(guān)于OA的對稱點N′, 連接M′N′,即為MP+PQ+QN的最小值. 根據(jù)軸對稱的定義可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°, ∴△ONN′為等邊三角形,△OMM′為等邊三角形, ∴∠N′OM′=90°, ∴在Rt△M′ON′中, M′N′==. 故答案為. 【點評】本題考查了軸對稱﹣﹣最短路徑問題,根據(jù)軸對稱的定義,找到相等的線段,得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵.   13.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中.點A,B,C,D均在格點上,點E、

33、F分別為線段BC、DB上的動點,且BE=DF. (Ⅰ)如圖①,當(dāng)BE=時,計算AE+AF的值等于   (Ⅱ)當(dāng)AE+AF取得最小值時,請在如圖②所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出線段AE,AF,并簡要說明點E和點F的位置如何找到的(不要求證明) 取格點H,K,連接BH,CK,相交于點P,連接AP,與BC相交,得點E,取格點M,N連接DM,CN,相交于點G,連接AG,與BD相交,得點F,線段AE,AF即為所求. . 【考點】軸對稱-最短路線問題;勾股定理. 【專題】作圖題;壓軸題. 【分析】(1)根據(jù)勾股定理得出DB=5,進而得出AF=2.5,由勾股定理得出AE=,再解答即可;

34、(2)首先確定E點,要使AE+AF最小,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知,需要將AF移到AE的延長線上,因此可以構(gòu)造全等三角形,首先選擇格點H使∠HBC=∠ADB,其次需要構(gòu)造長度BP使BP=AD=4,根據(jù)勾股定理可知BH==5,結(jié)合相似三角形選出格點K,根據(jù),得BP=BH==4=DA,易證△ADF≌△PBE,因此可得到PE=AF,線段AP即為所求的AE+AF的最小值;同理可確定F點,因為AB⊥BC,因此首先確定格點M使DM⊥DB,其次確定格點G使DG=AB=3,此時需要先確定格點N,同樣根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到,得DG=DM=×5=3,易證△DFG≌△BEA,因此可得到AE=GF,故

35、線段AG即為所求的AE+AF的最小值. 【解答】解:(1)根據(jù)勾股定理可得:DB=, 因為BE=DF=, 所以可得AF==2.5, 根據(jù)勾股定理可得:AE=,所以AE+AF=, 故答案為:; (2)如圖, 首先確定E點,要使AE+AF最小,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知,需要將AF移到AE的延長線上,因此可以構(gòu)造全等三角形,首先選擇格點H使∠HBC=∠ADB,其次需要構(gòu)造長度BP使BP=AD=4,根據(jù)勾股定理可知BH==5,結(jié)合相似三角形選出格點K,根據(jù),得BP=BH==4=DA,易證△ADF≌△PBE,因此可得到PE=AF,線段AP即為所求的AE+AF的最小值;同理可確定

36、F點,因為AB⊥BC,因此首先確定格點M使DM⊥DB,其次確定格點G使DG=AB=3,此時需要先確定格點N,同樣根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到,得DG=DM=×5=3,易證△DFG≌△BEA,因此可得到AE=GF,故線段AG即為所求的AE+AF的最小值. 故答案為:取格點H,K,連接BH,CK,相交于點P,連接AP,與BC相交,得點E,取格點M,N連接DM,CN,相交于點G,連接AG,與BD相交,得點F,線段AE,AF即為所求. 【點評】此題考查最短路徑問題,關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行分析解答.   14.如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,BE=1,F(xiàn)為AB上一點,AF

37、=2,P為AC上一點,則PF+PE的最小值為 ?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的性質(zhì). 【專題】壓軸題. 【分析】作E關(guān)于直線AC的對稱點E′,連接E′F,則E′F即為所求,過F作FG⊥CD于G,在Rt△E′FG中,利用勾股定理即可求出E′F的長. 【解答】解:作E關(guān)于直線AC的對稱點E′,連接E′F,則E′F即為所求, 過F作FG⊥CD于G, 在Rt△E′FG中, GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1,GF=4, 所以E′F=. 故答案為:. 【點評】本題考查的是最短線路問題,熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.   15.如圖,∠AOB=30

38、°,點M、N分別是射線OA、OB上的動點,OP平分∠AOB,且OP=6,當(dāng)△PMN的周長取最小值時,四邊形PMON的面積為 36﹣54?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題. 【專題】壓軸題. 【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C,關(guān)于OB的對稱點為D,當(dāng)點M、N在CD上時,△PMN的周長最小,此時△COD是等邊三角形,求得三角形PMN和△COD的面積,根據(jù)四邊形PMON的面積為:( S△COD+S△PMN)求得即可. 【解答】解:分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D,連接CD,分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、PC、PD. ∵點P關(guān)于OA的對稱點為C,關(guān)于OB的

39、對稱點為D, ∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA; ∵點P關(guān)于OB的對稱點為D, ∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB, ∴OC=OD=OP=6,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°, ∴△COD是等邊三角形, ∴CD=OC=OD=6. ∵∠POC=∠POD, ∴OP⊥CD, ∴OQ=6×=3, ∴PQ=6﹣3 設(shè)MQ=x,則PM=CM=3﹣x, ∴(3﹣x)2﹣x2=(6﹣3)2,解得x=6﹣9, ∵S△PMN=MN×PQ, S△MON=MN×OQ,

40、 ∴S四邊形PMON=S△MON+S△PMN=MN×PQ+MN×OQ=MN×OP=×(6﹣9)×6=36﹣54. 故答案為36﹣54. 【點評】此題主要考查軸對稱﹣﹣最短路線問題,熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.   16.在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AB=8cm,==,M是AB上一動點,CM+DM的最小值是 8 cm. 【考點】軸對稱-最短路線問題;勾股定理;垂徑定理. 【分析】作點C關(guān)于AB的對稱點C′,連接C′D與AB相交于點M,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,點M為CM+DM的最小值時的位置,根據(jù)垂徑定理可得=,然

41、后求出C′D為直徑,從而得解. 【解答】解:如圖,作點C關(guān)于AB的對稱點C′,連接C′D與AB相交于點M, 此時,點M為CM+DM的最小值時的位置, 由垂徑定理,=, ∴=, ∵==,AB為直徑, ∴C′D為直徑, ∴CM+DM的最小值是8cm. 故答案為:8. 【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題,垂徑定理,熟記定理并作出圖形,判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵.   17.如圖,正方形ABCD的邊長為2,點E為邊BC的中點,點P在對角線BD上移動,則PE+PC的最小值是  . 【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的性質(zhì). 【專題】計

42、算題. 【分析】要求PE+PC的最小值,PE,PC不能直接求,可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE,PC的值,從而找出其最小值求解. 【解答】解:如圖,連接AE, ∵點C關(guān)于BD的對稱點為點A, ∴PE+PC=PE+AP, 根據(jù)兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值, ∵正方形ABCD的邊長為2,E是BC邊的中點, ∴BE=1, ∴AE==, 故答案為:. 【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.根據(jù)已知得出兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵.   18.如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠DAB=60°,E為

43、BC的中點,在對角線AC上存在一點P,使△PBE的周長最小,則△PBE的周長的最小值為 +1?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題;菱形的性質(zhì). 【分析】連接BD,與AC的交點即為使△PBE的周長最小的點P;由菱形的性質(zhì)得出∠BPC=90°,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出PE=BE,證明△PBE是等邊三角形,得出PB=BE=PE=1,即可得出結(jié)果. 【解答】解:連結(jié)DE. ∵BE的長度固定, ∴要使△PBE的周長最小只需要PB+PE的長度最小即可, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC與BD互相垂直平分, ∴P′D=P′B, ∴PB+PE的最小長度為DE的長, ∵菱

44、形ABCD的邊長為2,E為BC的中點,∠DAB=60°, ∴△BCD是等邊三角形, 又∵菱形ABCD的邊長為2, ∴BD=2,BE=1,DE=, ∴△PBE的最小周長=DE+BE=+1, 故答案為:+1. 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱以及最短路線問題、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);熟練掌握菱形的性質(zhì),并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.   19.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E是AB邊上的一點,且AE=3,點Q為對角線AC上的動點,則△BEQ周長的最小值為 6?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的性質(zhì). 【專題】計算題. 【分析】連接B

45、D,DE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點B與點D關(guān)于直線AC對稱,故DE的長即為BQ+QE的最小值,進而可得出結(jié)論. 【解答】解:連接BD,DE, ∵四邊形ABCD是正方形, ∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱, ∴DE的長即為BQ+QE的最小值, ∵DE=BQ+QE===5, ∴△BEQ周長的最小值=DE+BE=5+1=6. 故答案為:6. 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題,熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.   20.如圖,菱形ABCD中,對角線AC=6,BD=8,M、N分別是BC、CD的中點,P是線段BD上的一個動點,則PM+PN的最小值是 5?。? 【考點】軸對稱

46、-最短路線問題;勾股定理的應(yīng)用;平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì). 【專題】幾何圖形問題. 【分析】作M關(guān)于BD的對稱點Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時MP+NP的值最小,連接AC,求出CP、PB,根據(jù)勾股定理求出BC長,證出MP+NP=QN=BC,即可得出答案. 【解答】解:作M關(guān)于BD的對稱點Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時MP+NP的值最小,連接AC, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP, 即Q在AB上, ∵MQ⊥BD, ∴AC∥MQ, ∵M為BC中點, ∴Q為AB中點, ∵N為CD中點,四邊形ABCD是菱形, ∴BQ∥C

47、D,BQ=CN, ∴四邊形BQNC是平行四邊形, ∴NQ=BC, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴CP=AC=3,BP=BD=4, 在Rt△BPC中,由勾股定理得:BC=5, 即NQ=5, ∴MP+NP=QP+NP=QN=5, 故答案為:5. 【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題,平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置.   21.在如圖所示的平面直角坐標系中,點P是直線y=x上的動點,A(1,0),B(2,0)是x軸上的兩點,則PA+PB的最小值為  . 【考點】軸對稱-最短路線問題;一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

48、. 【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出OA′=1,進而利用勾股定理得出即可. 【解答】解:如圖所示:作A點關(guān)于直線y=x的對稱點A′,連接A′B,交直線y=x于點P, 此時PA+PB最小, 由題意可得出:OA′=1,BO=2,PA′=PA, ∴PA+PB=A′B==. 故答案為:. 【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及一次函數(shù)圖象上點的特征等知識,得出P點位置是解題關(guān)鍵.   22.菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,E是AD邊中點,點P是對角線BD上的動點,當(dāng)AP+PE的值最小時,PC的長是  . 【考點】軸對稱-最短路線問題;菱

49、形的性質(zhì). 【專題】幾何綜合題. 【分析】作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′,連接AE′,則線段AE′的長即為AP+PE的最小值,再由軸對稱的性質(zhì)可知DE=DE′=1,故可得出△AE′D是直角三角形,由菱形的性質(zhì)可知∠PDE′=∠ADC=30°,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PE的長,進而可得出PC的長. 【解答】解:如圖所示, 作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′,連接AE′,則線段AE′的長即為AP+PE的最小值, ∵菱形ABCD的邊長為2,E是AD邊中點, ∴DE=DE′=AD=1, ∴△AE′D是直角三角形, ∵∠ABC=60°, ∴∠PDE′=∠ADC=30&

50、#176;, ∴PE′=DE′?tan30°=, ∴PC===. 故答案為:. 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題,熟知菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.   23.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(2,3),點B(﹣2,1),在x軸上存在點P到A,B兩點的距離之和最小,則P點的坐標是?。ī?,0)?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題;坐標與圖形性質(zhì). 【專題】壓軸題. 【分析】作A關(guān)于x軸的對稱點C,連接BC交x軸于P,則此時AP+BP最小,求出C的坐標,設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b,把B、C的坐標代入求出k、b,得出直線BC的解析

51、式,求出直線與x軸的交點坐標即可. 【解答】解:作A關(guān)于x軸的對稱點C,連接BC交x軸于P,則此時AP+BP最小, ∵A點的坐標為(2,3),B點的坐標為(﹣2,1), ∴C(2,﹣3), 設(shè)直線BC的解析式是:y=kx+b, 把B、C的坐標代入得: 解得. 即直線BC的解析式是y=﹣x﹣1, 當(dāng)y=0時,﹣x﹣1=0, 解得:x=﹣1, ∴P點的坐標是(﹣1,0). 故答案為:(﹣1,0). 【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,軸對稱﹣最短路線問題的應(yīng)用,關(guān)鍵是能找出P點,題目具有一定的代表性,難度適中.   三、解答

52、題 24.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(0,3),B(2,4),C(4,0),D(2,﹣3),E(0,﹣4).寫出D,C,B關(guān)于y軸對稱點F,G,H的坐標,并畫出F,G,H點.順次而平滑地連接A,B,C,D,E,F(xiàn),G,H,A各點.觀察你畫出的圖形說明它具有怎樣的性質(zhì),它象我們熟知的什么圖形? 【考點】作圖-軸對稱變換. 【專題】作圖題. 【分析】關(guān)于y軸對稱的點的坐標的特點是:縱坐標相等,橫坐標互為相反數(shù),得出F,G,H的坐標,順次連接各點即可. 【解答】解:由題意得,F(xiàn)(﹣2,﹣3),G(﹣4,0),H(﹣2,4), 這個圖形關(guān)于y軸對稱,是我們熟知的軸對稱圖形.

53、 【點評】本題考查了軸對稱作圖的知識,解答本題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于y軸對稱的點的坐標的特點,及軸對稱圖形的特點.   25.如圖,在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中,有線段AB和直線MN,點A,B,M,N均在小正方形的頂點上. (1)在方格紙中畫四邊形ABCD(四邊形的各頂點均在小正方形的頂點上),使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形,點A的對稱點為點D,點B的對稱點為點C; (2)請直接寫出四邊形ABCD的周長. 【考點】作圖-軸對稱變換;勾股定理. 【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形,分別得出對稱點畫出即可; (2)根據(jù)

54、勾股定理求出四邊形ABCD的周長即可. 【解答】解;(1)如圖所示: (2)四邊形ABCD的周長為:AB+BC+CD+AD=+2++3=2+5. 【點評】此題主要考查了勾股定理以及軸對稱圖形的作法,根據(jù)已知得出A,B點關(guān)于MN的對稱點是解題關(guān)鍵.   26.在圖示的方格紙中 (1)作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1; (2)說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的? 【考點】作圖-軸對稱變換;作圖-平移變換. 【專題】作圖題. 【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于MN的對稱點A1、B1、C1的位置,然后順次連接即可; (2)根據(jù)

55、平移的性質(zhì)結(jié)合圖形解答. 【解答】解:(1)△A1B1C1如圖所示; (2)向右平移6個單位,再向下平移2個單位(或向下平移2個單位,再向右平移6個單位). 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖,利用平移變換作圖,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置以及變化情況是解題的關(guān)鍵.   27.如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上,點E在BC邊上,且點E在小正方形的頂點上,連接AE. (1)在圖中畫出△AEF,使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對稱,點F與點B是對稱點; (2)請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積. 【考

56、點】作圖-軸對稱變換. 【專題】作圖題. 【分析】(1)根據(jù)AE為網(wǎng)格正方形的對角線,作出點B關(guān)于AE的對稱點F,然后連接AF、EF即可; (2)根據(jù)圖形,重疊部分為兩個直角三角形的面積的差,列式計算即可得解. 【解答】解:(1)△AEF如圖所示; (2)重疊部分的面積=×4×4﹣×2×2 =8﹣2 =6. 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并觀察出AE為網(wǎng)格正方形的對角線是解題的關(guān)鍵.   28.如圖,已知拋物線的頂點為A(1,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C、D兩點,點P是x軸上的一個動點

57、. (1)求此拋物線的解析式; (2)當(dāng)PA+PB的值最小時,求點P的坐標. 【考點】軸對稱-最短路線問題;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【專題】數(shù)形結(jié)合. 【分析】(1)設(shè)拋物線頂點式解析式y(tǒng)=a(x﹣1)2+4,然后把點B的坐標代入求出a的值,即可得解; (2)先求出點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標,連接AB′與x軸相交,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,交點即為所求的點P,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB′的解析式,再求出與x軸的交點即可. 【解答】解:(1)∵拋物線的頂點為A(1,4), ∴設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a(x﹣1)2+4, 把點B(0,3)代入得,a

58、+4=3, 解得a=﹣1, ∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4; (2)點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標為(0,﹣3), 由軸對稱確定最短路線問題,連接AB′與x軸的交點即為點P, 設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b(k≠0), 則, 解得, ∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3, 令y=0,則7x﹣3=0, 解得x=, 所以,當(dāng)PA+PB的值最小時的點P的坐標為(,0). 【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,(1)利用頂點式解析式求解更簡便,(2)熟練掌握點P的確定方法是解題的關(guān)鍵.   29.作

59、圖題:(不要求寫作法)如圖,△ABC在平面直角坐標系中,其中,點A、B、C的坐標分別為A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣5,2). (1)作△ABC關(guān)于直線l:x=﹣1對稱的△A1B1C1,其中,點A、B、C的對應(yīng)點分別為A1、B1、C1; (2)寫出點A1、B1、C1的坐標. 【考點】作圖-軸對稱變換. 【專題】作圖題. 【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于直線l的對稱點A1、B1、C1的位置,然后順次連接即可; (2)根據(jù)平面直角坐標系寫出點A1、B1、C1的坐標即可. 【解答】解:(1)△A1B1C1如圖所示; (2)A1(0,1),B1(2,5

60、),C1(3,2). 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu),準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.   30.如圖,在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中(我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點),四邊形ABCD在直線l的左側(cè),其四個頂點A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點上. (1)請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形A′B′C′D′,使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對稱,其中點A′、B′、C′、D′分別是點A、B、C、D的對稱點; (2)在(1)的條件下,結(jié)合你所畫的圖形,直接寫出線段A′B′的長度. 【考點】作圖-軸對稱變換. 【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì),找到各點的對稱點,順次連接即可; (2)結(jié)合圖形即可得出線段A′B′的長度. 【解答】解:(1)所作圖形如下: . (2)A'B'==. 【點評】本題考查了軸對稱變換的知識,要求同學(xué)們掌握軸對稱的性質(zhì),能用格點三角形求線段的長度. 111

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