高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第三章壓軸題目突破練

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1、 精品資料 壓軸題目突破練——函數(shù)與導(dǎo)數(shù) A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、填空題 1.與直線2x－6y＋1＝0垂直，且與曲線f(x)＝x3＋3x2－1相切的直線方程是________. 答案　3x＋y＋2＝0 解析　設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，x＋3x－1)， 則由切線與直線2x－6y＋1＝0垂直， 可得切線的斜率為－3， 又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3， 解得x0＝－1，于是切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1)， 從而得切線的方程為3x＋y＋2＝0. 2.設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且f′(

2、x)>g′(x)，則當(dāng)a”或“＝”) 答案　> 解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0， ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函數(shù)， ∴當(dāng)af(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a). 3.三次函數(shù)f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是________. 答案　m<0 解析　f′(x)＝3mx2－1，依題可得m<0. 4.點(diǎn)P是曲線x2－y－2ln＝0上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線4x＋4y＋1＝

3、0的最短距離是________. 答案　(1＋ln 2) 解析　將直線4x＋4y＋1＝0平移后得直線l：4x＋4y＋b＝0，使直線l與曲線切于點(diǎn)P(x0，y0)， 由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－， ∴直線l的斜率k＝2x0－＝－1 ?x0＝或x0＝－1(舍去)， ∴P， 所求的最短距離即為點(diǎn)P到直線4x＋4y＋1＝0的距離d＝＝(1＋ln 2). 5.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是________. 答案　[，2] 解析　∵f′(x)＝sin θx2＋cos θx， ∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin.

4、 ∵θ∈，∴θ＋∈， ∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]. 6.已知函數(shù)f(x)＝xsin x，x∈R，則f(－4)，f()，f(－)的大小關(guān)系為_______(用“<”連接). 答案　f()

5、的解集為________. 答案　∪[2,3) 解析　不等式f′(x)≤0的解集即為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，從圖象中可以看出函數(shù)f(x) 在和[2,3)上是單調(diào)遞減的，所以不等式f′(x)≤0的解集為∪[2,3). 8.把一個(gè)周長為12 cm的長方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長與高的比為________. 答案　2∶1 解析　設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r，則r＝，圓柱體積V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0

6、)設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6). (1)確定a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. 解　(1)因?yàn)閒(x)＝a(x－5)2＋6ln x， 故f′(x)＝2a(x－5)＋. 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為 y－16a＝(6－8a)(x－1)， 由點(diǎn)(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝. (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋＝. 令f′

7、(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 當(dāng)03時(shí)，f′(x)>0， 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)； 當(dāng)2

8、理由. 解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5)， ∴可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a>0). ∴f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a. 由已知，得6a＝12，∴a＝2， ∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R). (2)方程f(x)＋＝0等價(jià)于方程2x3－10x2＋37＝0 設(shè)h(x)＝2x3－10x2＋37， 則h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10). 當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù). ∵h(yuǎn)(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0， ∴方程h(

9、x)＝0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根， ∴存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：35分鐘) 1.已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是________. 答案　(－∞，－1)，(1,2) 解析　根據(jù)函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象上任一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝(x－2)(x2－1)

10、＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或1

11、x， 則f″(x)＝－sin x－cos x<0在上恒成立， 故此函數(shù)為凸函數(shù)； 對于②，f(x)＝ln x－2x， 則f″(x)＝－<0在上恒成立， 故此函數(shù)為凸函數(shù)； 對于③，f(x)＝－x3＋2x－1， 則f″(x)＝－6x<0在上恒成立， 故此函數(shù)為凸函數(shù)； 對于④，f(x)＝－xe－x， 則f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x>0在上恒成立，故此函數(shù)不是凸函數(shù). 3.函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，a)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________. 答案　21 解析　因?yàn)閥′

12、＝2x，所以過點(diǎn)(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak).又該切線與x軸的交點(diǎn)為(ak＋1,0)， 所以ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列， 首項(xiàng)a1＝16，其公比q＝， 所以a3＝4，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21. 4.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為________. 答案　(－2，) 解析　∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立， 故f(x)在R上是增函數(shù). 又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)為奇函數(shù). 由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－

13、x)， ∴mx－2<－x，mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立. 記g(m)＝mx－2＋x，則 即得－20；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x

14、＝1時(shí)，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e； 因?yàn)閒(x)＝，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)， f(x)＝e2x＋≥2e，當(dāng)且僅當(dāng)e2x＝， 即x＝時(shí)取等號(hào)，故f(x)min＝2e. 所以max＝＝. 所以≥.又因?yàn)閗為正數(shù)，所以k≥1. 6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx. (1)若函數(shù)y＝f(x)在x＝2處有極值－6，求y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)對x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的范圍. 解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依題意得即 解得∴f′(x)＝3x2－5x－2. ∴令f′(x)<0，得－

15、<2. ∴y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－，2). (2)由 得 不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示： 由 得 ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－1). 設(shè)z＝，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)P(1,0)連線的斜率. ∵KPQ＝1，由圖可知z≥1或z<－2， 即z＝的范圍是(－∞，－2)∪[1，＋∞). 7.(2012遼寧)設(shè)f(x)＝ln x＋－1，證明： (1)當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<(x－1)； (2)當(dāng)11時(shí)，g′(x)＝＋－<0. 又g(1)＝0，所以有g(shù)(x)

16、<0，即f(x)<(x－1). 方法二　當(dāng)x>1時(shí)，21時(shí)，f(x)<(x－1). (2)方法一　記h(x)＝f(x)－， 由(1)得h′(x)＝＋－ ＝－<－ ＝. 令G(x)＝(x＋5)3－216x，則當(dāng)1