高考數(shù)學復習:第五章 :第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題突破熱點題型

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1、 精品資料第五節(jié)數(shù)列的綜合問題 考點一等差、等比數(shù)列的綜合問題 例1在數(shù)列an中,a11,a22,且an1(1q)anqan1(n2,q0)(1)設bnan1an(nN*),證明:bn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)若a3是a6與a9的等差中項,求q的值,并證明:此時對任意的nN*,an是an3與an6的等差中項自主解答(1)證明:由題設an1(1q)anqan1(n2),得an1anq(anan1),即bnqbn1,n2.又b1a2a11,q0,所以bn是首項為1,公比為q的等比數(shù)列(2)由(1),得a2a11,a3a2q,anan1qn2(n2)將以上各式相加,得ana11q

2、q2qn2(n2)所以當n2時,有an上式對n1也成立,所以數(shù)列an的通項公式為an(3)由(2),得當q1時,顯然a3不是a6與a9的等差中項,故q1.由a3是a6與a9的等差中項,即2a3a6a9,可得2q2q5q8,由q0,得q6q320,整理,得(q3)2q320,解得q32或q31(舍去)于是q.而an1,an31,an61,所以an3an6222222an.所以對任意的nN*,an是an3與an6的等差中項【方法規(guī)律】解決等差、等比數(shù)列的綜合問題的方法對于等差、等比數(shù)列的綜合問題,應重點分析等差、等比數(shù)列的通項,前n項和以及等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系,往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法已

3、知等差數(shù)列an的首項a11,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數(shù)列an與bn的通項公式;(2)設數(shù)列cn對nN*均有an1成立,求c1c2c3c2 013.解:(1)由已知有a21d,a514d,a14113d,(14d)2(1d)(113d),解得d2(d>0)an1(n1)·22n1.又b2a23,b3a59,數(shù)列bn的公比為3,bn3·3n23n1.(2)由an1,得當n2時,an.兩式相減得:n2時,2bn2·3n1(n2)又當n1時,a2,c1c2c3c2 01333(332 013)32

4、 013.考點二數(shù)列在實際問題中的應用 例2某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求,進行減排治污現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例,原計劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸,已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸(1)按原計劃,“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸?(2)該城市為響應“十八大”提出的建設“美麗中國”的號召,決定加大減排力度在2012年剛好按原計劃完成減排任務的條件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p,為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi),求p的取值范圍自主解答

5、(1)設“十二五”期間,該城市共排放SO2約y萬噸,依題意,2011年至2015年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9.3,公差為0.3的等差數(shù)列,所以y5×9.3×(0.3)43.5(萬噸)所以按原計劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸(2)由已知得, 2012年的SO2年排放量為9.30.39(萬噸),所以2012年至2020年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9,公比為1p的等比數(shù)列由題意得9×(1p)86,由于0<p<1,所以1p< ,所以1p<0.950 5,解得p>4.95%.所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為

6、(4.95%,1)【方法規(guī)律】解決數(shù)列應用題應注意的問題解決數(shù)列應用問題,要明確問題屬于哪一種類型,即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,是求an還是Sn,特別是要弄清項數(shù)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元,將其投入生產(chǎn),到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1,a2,并寫出an1與an的關(guān)系式;(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d

7、的值(用m表示)解:(1)由題意得a12 000(150%)d3 000d,a2a1(150%)da1d4 500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d.整理得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由題意,am4 000,即m1(3 0003d)2d4 000.解得d.來源:故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時,經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.高頻考點考點三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題1數(shù)列與函數(shù)、 不等式的綜合問題是每年高考的重點,多為解答題,難度偏大,屬中高檔題2高考對數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的考查常有以下

8、兩個命題角度:來源:(1)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題;(2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題例3(2013·江西高考)正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足:S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an;(2)令bn,數(shù)列bn的前n項和為Tn.證明:對于任意的nN*,都有Tn<.自主解答(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0,得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項數(shù)列,所以Sn>0,Snn2n.于是a1S12,n2時,anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上,數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)證明:由于an2n,故bn.Tn1<

9、;.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題此類問題常構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性等解決問題(2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等來源:1已知數(shù)列an為等比數(shù)列,其前n項和為Sn,已知a1a4,且對于任意的nN*,有Sn,Sn2,Sn1成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)已知bnn(nN*),記Tn,若(n1)2m(Tnn1)對于n2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍解:(1)設數(shù)列an的公比為q.S1,S3,S2成等差數(shù)列,來源:2S3S1S2,2a1(1qq2)a1(2q),解得q,又a

10、1a4a1(1q3),a1,ana1qn1n.(2)bnn,ann,n·2n,Tn1·22·223·23n·2n,2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1,得Tn222232nn·2n1,Tn(n1)·2n12.若(n1)2m(Tnn1)對于n2恒成立,則(n1)2m(n1)·2n12n1,(n1)2m(n1)·(2n11),m,來源:令f(x),可判斷f(x)在x2,)上是減函數(shù)則f(n)的最大值為f(2),m.故實數(shù)m的取值范圍為.課堂歸納通法領(lǐng)悟2種思想函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化化歸思想(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)(2)轉(zhuǎn)化化歸思想,an與Sn轉(zhuǎn)化,一般數(shù)列與特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化等3個注意點數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何相結(jié)合應注意的問題(1)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時注意遞推(2)數(shù)列與不等式相結(jié)合時注意對不等式進行放縮(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時,應準確構(gòu)造相應的函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化

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