浙江高考數(shù)學 理二輪專題訓練:第1部分 專題六 第4講 高考中的概率解答題型
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1、 考 點 考 情 超幾何分布 1.高考對本節(jié)的考查,一般借助實際生活背景進行考查,相互獨立事件同時發(fā)生的概率,獨立重復(fù)試驗和二項分布的概率模型,離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì),均值與方差是高考熱點,如重慶T18,福建T16. 2.試題難度中檔,涉及概率問題時主要是古典概型、獨立重復(fù)試驗及條件的相互獨立性,與頻率分布直方圖和莖葉圖等交匯的超幾何分布是近幾年高考熱點,如廣東T17. 事件的相互獨立性 獨立重復(fù)試驗與二項分布 均值與方差的實際應(yīng)用 1.(20xx廣東高考)某車間共有12名工人,隨機抽取6名,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖
2、所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù). (1)根據(jù)莖葉圖計算樣本均值; (2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人? (3)從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率. 解:(1)樣本均值為==22. (2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為=,故推斷該車間12名工人中有12=4名優(yōu)秀工人. (3)設(shè)事件A:從該車間12名工人中,任取2人,恰有1名優(yōu)秀工人,則P(A)==. 2.(20xx福建高考)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲
3、得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品. (1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X≤3的概率; (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學期望較大? 解:法一:(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響. 記“這兩人的累計得分X≤3”的事件為A, 則事件A的對立事件為“X=5”, 因為P(X=5)==,所以P(A)=1-P(X=5)=, 即這兩人的累計得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選
4、擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2). 由已知可得,X1~B,X2~B, 所以E(X1)=2=,E(X2)=2=, 從而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=. 因為E(2X1)>E(3X2), 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學期望較大. 法二:(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響. 記“這兩人的累計得分X≤3”的事件為A, 則事件A包含有“X=0”“X=2”“X=3”三個兩兩互斥的
5、事件, 因為P(X=0)==, P(X=2)==, P(X=3)==,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=, 即這兩人的累計得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1,都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2,則X1,X2的分布列如下: X1 0 2 4 P X2 0 3 6 P 所以E(X1)=0+2+4=, E(X2)=0+3+6=. 因為E(X1)>E(X2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學期望較大. 1.獨立重復(fù)試驗的概率公式 Pn(k
6、)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. 2.超幾何分布的概率 一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件(X=k)發(fā)生的概率為P(x=k)=(k=0,1,2,…,m)(m≤M,m≤n,M≤N). 3.離散型隨機變量的均值、方差 (1)均值E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn; (2)方差D(X)=[xi-E(x)]2pi. 4.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). 5.均值與方差的性質(zhì)
7、 (1)E(ax+b)=aE(x)+b; (2)D(ax+b)=a2D(x). 熱點一 超幾何分布問題 [例1] (20xx浙江高考)已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和. (1)求X的分布列; (2)求X的數(shù)學期望E(X). [自主解答] (1)由題意得X取3,4,5,6,且 P(X=3)==,P(X=4)==, P(X=5)==,P(X=6)==. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P (2)
8、由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=. ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— 在超幾何分布中,隨機變量X取每一個值的概率是用古典概型計算的,明確每一個基本事件的性質(zhì)是正確解答此類問題的關(guān)鍵. 1.某學校為了調(diào)查本校學生9月份“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況,隨機抽取了40名本校學生作為樣本,統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù),并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組:[0,5],(5,10],(10,15],…,(25,30],由此畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示. (1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這
9、40名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù); (2)現(xiàn)從這40名學生中任取2名,設(shè)Y為取出的2名學生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù),求Y的分布列及數(shù)學期望E(Y). 解:(1)由圖可知,健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01+0.02+0.03+0.09)5=0.155=0.75, ∴健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學生人數(shù)是40(1-0.75)=400.25=10. (2)隨機變量Y的所有可能取值為0,1,2. P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P ∴E(Y)=0+1+2=. 熱點二 事件的相互獨立性
10、 [例2] (20xx陜西高考)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率; (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望. [自主解答] (1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”,則P(A)==,P(B)==. ∵事件A與B相互獨立,
11、 ∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]==. (2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”,則P(C)==. ∵X可能的取值為0,1,2,3,則P(X=0)=P( )==, P(X=1)=P(A )+P( B )+P( C)=++=, P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( B C)=++=, P(X=3)=P(ABC)==, ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴X的數(shù)學期望E(X)=0+1+2+3==. ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— (1
12、)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件,還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解. (2)一個復(fù)雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事件進行求解.對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解. 2.某項選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個問題,回答問題正確者進入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、,且各輪問題能否正確回答互不影響. (1)求該選手被淘汰的概率; (2)記該選手在考核中回答問題的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望. 解:記“該選手能
13、正確回答第i輪的問題”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=. ∴該選手被淘汰的概率P=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-=. (2)ξ的所有可能取值為1,2,3. 則P(ξ=1)=P(1)=, P(ξ=2)=P(A12)=P(A1)P(2)==, P(ξ=3)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)==, ∴ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ∴E(ξ)=1+2+3=. 熱點三 獨立重復(fù)試驗與二項分布 [例3] (20xx遼寧高考)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中
14、任取3道題解答. (1)求張同學至少取到1道乙類題的概率; (2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設(shè)張同學答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望. [自主解答] (1)設(shè)事件A=“張同學所取的3道題至少有1道乙類題”,則有=“張同學所取的3道題都是甲類題”. 因為P()==, 所以P(A)=1-P()=. (2)X所有的可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=C02=; P(X=1)=C11+C02=; P(X=2)=C20+C11=; P(X=3)=C20=. 所以X的
15、分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0+1+2+3=2. ——————————規(guī)律總結(jié)———————————— 1.注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征: (1)在每次試驗中,試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況; (2)在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同. 2.牢記公式Pn(k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,并深刻理解其含義. 3.甲、乙兩人參加數(shù)學競賽培訓.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次,畫出莖葉圖如下: (1)指出學生乙成績的中位數(shù),并說明如何確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù); (2)現(xiàn)要從中選派一人
16、參加數(shù)學競賽,你認為派哪位學生參加,成績比較穩(wěn)定?
(3)若將頻率視為概率,對學生甲在今后三次數(shù)學競賽中的成績進行預(yù)測,記這三次成績高于80分的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ).
解:(1)依題意得=84,則學生乙成績的中位數(shù)是84.它是這組數(shù)據(jù)中最中間位置的一個數(shù)或最中間位置兩個數(shù)的平均數(shù),中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中.
(2)派甲參加比較合適,理由如下:
甲=(702+804+902+9+8+8+4+2+1+5+3)=85.
乙=(701+804+903+5+3+5+2+5)=85.
s=35.5,s=41,∴甲=乙,且s
17、 (3)記“甲在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件A,則P(A)==. 依題意,得ξ~B. ∴P(ξ=k)=Ck3-k,k=0,1,2,3. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)=0+1+2+3=. 熱點四 均值與方差的實際應(yīng)用 [例4] 某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購進16枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關(guān)于當天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式; (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理
18、得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. ①若花店一天購進16枝玫瑰花,X表示當天的利潤(單位:元),求X的分布列、數(shù)學期望及方差; ②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花,你認為應(yīng)購進16枝還是17枝?請說明理由. [自主解答] (1)當日需求量n≥16時,利潤y=80. 當日需求量n<16時,利潤y=10n-80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為 y=(n∈N). (2)①X可能的取值為60,70,80,并且 P(X=
19、60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學期望為E(X)=600.1+700.2+800.7=76. X的方差為D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44. ②答案一: 花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天購進17枝玫瑰花,Y表示當天的利潤(單位:元),那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學期望為E(Y)=550.1+650.2+750.
20、16+850.54=76.4. Y的方差為D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04. 由以上的計算結(jié)果可以看出,D(X)<D(Y),即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較?。硗?,雖然E(X)<E(Y),但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花. 答案二: 花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天購進17枝玫瑰花,Y表示當天的利潤(單位:元),那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學期望為E(Y)=55
21、0.1+650.2+750.16+850.54=76.4.
由以上的計算結(jié)果可以看出,E(X) 22、降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延誤天數(shù)Y
0
2
6
10
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求:
(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;
(2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.
解:(1)由已知條件和概率的加法公式有:
P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.
P(X 23、≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列為
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,E(Y)=00.3+20.4+60.2+100.1=3,
D(Y)=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8.
故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.
(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
又因為P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.
由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===.
故在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率是.
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