【備戰(zhàn)】湖北版高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題09 圓錐曲線含解析

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1、【備戰(zhàn)2016】（湖北版）高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題09 圓錐曲線（含解析） 一．選擇題 1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷6】雙曲線離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則mn的值為（ ） A． B． C． D． 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】設(shè)過點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程是（ ） A. B. C.

2、 D. 3. 【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷11】如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c1;④＜.其中正確式子的序號是（ ） A.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.

3、②④ 【答案】B 【解析】 試題分析：由焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應(yīng)選B． 4. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知雙曲線（b＞0）的焦點(diǎn)，則b=（ ） A.3 B. C. D. 5. 【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)拋物線的

4、對稱性，正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于x軸對稱，且過焦點(diǎn)的兩條直線 6. 【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷2】已知，則雙曲線：與：的（ ） A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】 試題分析：對于θ∈，sin2θ＋cos2θ＝1，因而兩條雙曲線的焦距相等，故選D. 7. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則過，兩點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0 B. 1 C. 2

5、 D. 3 顯然直線是雙曲線的一條漸近線， 所以直線與雙曲線無交點(diǎn)，故選A. 考點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，直線的斜率，雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，中等題. 8. 【2015高考湖北，文9】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時(shí)增加個(gè)單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A．對任意的， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C．對任意的， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 二．填空題 1.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷12】過雙曲線左焦點(diǎn)F的直線交雙曲線的左支于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|

6、MF2|+|NF2|-|MN|的值為 。 【答案】8 【解析】 試題分析：根據(jù)雙曲線定義有|MF2|-|MF|=2a，|NF2|-|NF|=2a，兩式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8. 2. 【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷15】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿足,則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____. 三．解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直

7、線AB的方程； （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由. 依題意， 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。 （此題不要求在答題卡上畫圖） 點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上， ，即. ⑦ 又M點(diǎn)在橢圓上，＋＝1，即 ⑧ 于是將⑦

8、、⑧式化簡可得－＝. 從而B在以MN為直徑的圓內(nèi). 3. 【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn). （Ⅰ）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值; （Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的張長恒為定值？ 若存在，求出l的方程;若不存在，說明理由.（此題不要求在答題卡上畫圖） N O A C B y x 【解法2】（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得 ， 又由點(diǎn)到直線的距離公式得． 從而， 當(dāng)時(shí)，． N O A C B

9、 y x l 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】已知雙同線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上. （Ⅰ）求雙曲線C的方程； （Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程 而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝, ∴SΔOEF= 若SΔOEF＝，即解得k=, 滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和 解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理， 由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝. 若SΔOEF＝2，即,解得k=,滿足②. 故滿足條

10、件的直線l有兩條，即方程分別為y=和y= 5. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖，過拋物線y2＝2PX(P>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M1、N1 (Ⅰ)求證：FM1⊥FN1: (Ⅱ)記△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面積分別為S1、、S2、，S3，試判斷S22＝4S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。 于是，， ，故 證法2：如圖，設(shè)直線M的傾角為， 則由拋物線的定義得 于是 在和中，由余弦定理可得 由（I）的結(jié)論，得 即，得證. 6. 【2010

11、年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】已知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點(diǎn)到點(diǎn)F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。 （Ⅰ）求曲線C的方程 （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由. ，即。 由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有，且m的取值范圍。 7. 【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，并討論

12、的形狀與值的關(guān)系； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為．設(shè)、是 的兩個(gè)焦點(diǎn)．試問：在上，是否存在點(diǎn)，使得△的面積．若存在，求 的值；若不存在，請說明理由． 從而，于是由， 可得，即． 綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上，存在點(diǎn)N，使得，且； 當(dāng)時(shí),在上,存在點(diǎn),使得,且； 當(dāng)時(shí)，在上，不存在滿足條件的點(diǎn)N． 8. 【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓

13、錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （Ⅱ）過原點(diǎn)斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，且它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 都有. 圖2 圖3 圖1 O D x y A M 第21題解答圖 9. 【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】

14、如圖，已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，，過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D．記，△和△的面積分別為和. （Ⅰ）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值； （Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得？并說明理由． 第22題圖 解法2：如圖1，若直線l與y軸重合，則 |BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n； S1＝|BD||OM|＝a|BD|， 將l的方程分別與C1，C2的方程聯(lián)立，可求得 ，. 根據(jù)對稱性可知xC＝－xB，

15、xD＝－xA，于是 ＝.② 從而由①和②式可得 .③ 解法2：如圖2， 若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1＝λS2.根據(jù)對稱性， 不妨設(shè)直線l：y＝kx(k＞0)， 點(diǎn)M(－a,0)，N(a,0)到直線l的距離分別為d1，d2，則 因?yàn)?，，所以d1＝d2. 又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2， 所以. 因?yàn)椋? 10. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷22】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為. （1）求軌跡為的方程； （2）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相

16、應(yīng)取值范圍. 【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，，即， 整理的， 所以點(diǎn)的軌跡的方程為. （2）在點(diǎn)的軌跡中，記，， 依題意，設(shè)直線的方程為， 由方程組得 ① （iii）若，由②③解得或， 即當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn). 故當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)時(shí)直線與軌跡恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)直線與軌跡恰有三個(gè)公共點(diǎn). 考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系. 11. 【2015高考湖北，文22】一種畫橢圓的工具如圖1所示．

17、是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由． x D O M N y 第22題圖2 第22題圖1 時(shí)，.因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8. 綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8. 【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與橢圓相交綜合問題，屬高檔題.