同步優(yōu)化探究文數(shù)北師大版練習(xí)：第八章 第八節(jié)　第一課時(shí)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．(2018西安模擬)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是(　　) A．4　　　　　　　　 B．3 C．4 D．8 解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為的直線l1：y＝(x－1)，與y2＝4x聯(lián)立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3,2)，∴AK＝4， ∴S△AKF＝42＝4.故選C. 答案：C 2．已知直線l：y＝2x＋3被橢圓C：＋＝1(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)為7，則下列直線中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有(　　)

2、①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3； ④y＝－2x＋3. A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：直線y＝2x－3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y＝－2x－3與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱，直線y＝－2x＋3與直線l關(guān)于y軸對(duì)稱，故有3條直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7. 答案：C 3．(2018郴州模擬)過(guò)點(diǎn)P(－，0)作直線l與圓O：x2＋y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)∠AOB＝θ，且θ∈，當(dāng)△AOB的面積為時(shí)，直線l的斜率為(　　) A. B． C. D． 解析：∵△AOB的面積為， ∴11sin θ＝， ∴sin θ＝. ∵θ∈，∴θ＝，

3、 ∴圓心到直線l的距離為. 設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋)， 即kx－y＋k＝0， ∴＝， ∴k＝. 答案：B 4．已知過(guò)定點(diǎn)(1,0)的直線與拋物線x2＝y(tǒng)相交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則(x1－1)(x2－1)＝________. 解析：設(shè)過(guò)定點(diǎn)(1,0)的直線的方程為y＝k(x－1)，代入拋物線方程x2＝y(tǒng)得x2－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝k，因此(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1. 答案： 1 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線截

4、拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c，且|FA|＝c，則雙曲線的漸近線方程為______________． 解析：拋物線x2＝2py的準(zhǔn)線方程為y＝－，與雙曲線的方程聯(lián)立得x2＝a2(1＋)，根據(jù)已知得a2(1＋)＝c2 ①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2 ②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求雙曲線的漸近線方程是y＝x. 答案：y＝x 6．過(guò)雙曲線x2－＝1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若使得|AB|＝λ的直線l恰有3條，則λ＝________. 解析：∵使得|AB|＝λ的直線l恰有3條． ∴根據(jù)對(duì)稱性，其中有一條直線與實(shí)軸垂直． 此時(shí)A，B的橫坐標(biāo)為，代入雙曲線方程，

5、可得y＝2，故|AB|＝4. ∵雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4， ∴過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4， 綜上可知|AB|＝4時(shí)，有三條直線滿足題意． ∴λ＝4. 答案：4 7．設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為. (1)求E的離心率e； (2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程． 解析：(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又kO M＝，從而＝， 進(jìn)而得a＝b，c＝

6、＝2b，故e＝＝. (2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得，直線AB的方程為＋＝1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為. 設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為，則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線AB上，且kNSkAB＝－1， 從而有解得b＝3. 所以a＝3，故橢圓E的方程為＋＝1. 8.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)P(2，)，且它的離心率e＝. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線l：y＝kx＋t交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)C滿足＋＝λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解析：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 由已知得：解得 所以橢圓的標(biāo)

7、準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)因?yàn)橹本€l：y＝kx＋t與圓(x－1)2＋y2＝1相切， 所以＝1?2k＝(t≠0)， 把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得： (3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝－， y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝， 因?yàn)棣耍?x1＋x2，y1＋y2)， 所以C， 又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以， ＋＝1 ?λ2＝＝， 因?yàn)閠2>0，所以2＋＋1>1， 所以0<λ2<2，所以λ的取值范圍為(－，0)∪(0，)． B組——能力提升練 1．已知直線y＝1－x與雙曲線a

8、x2＋by2＝1(a>0，b<0)的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為－，則的值為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：由雙曲線ax2＋by2＝1知其漸近線方程為ax2＋by2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)，即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由題意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，∴＝－，設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－(－1)＝－，∴＝－，故選A. 答案：A 2．已知雙曲線－＝1

9、(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為4，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)重合，直線y＝kx－1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則p＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：由拋物線x2＝2py(p>0)可知其焦點(diǎn)為，所以b＝，又a＝2，因此雙曲線的方程為－＝1，漸近線方程為y＝x.直線y＝kx－1與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設(shè)k＝，由可得x2＝2p＝x－2p，得x2－x＋2p＝0，則Δ＝2－8p＝0，解得p＝4.故選A. 答案：A 3．在拋物線y＝x2上關(guān)于直線y＝x＋3對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為________． 解析：設(shè)直線MN的方程為y＝－x

10、＋b，代入y＝x2中， 整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0， ∴b>－. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－1， ＝－＋b＝＋b， 由在直線y＝x＋3上， 即＋b＝－＋3，解得b＝2， 聯(lián)立得 解得 答案：(－2,4)，(1,1) 4．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3，則|BF|＝________. 解析：拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為x＝－1，焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由拋物線的定義可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝2，由拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，假設(shè)A(2,2)，由

11、A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可知直線AB的方程為y－0＝2(x－1)，代入拋物線方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝. 答案： 5．定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)P到曲線Γ上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到曲線Γ的距離．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：(x－)2＋y2＝12及點(diǎn)A(－，0)，動(dòng)點(diǎn)P到圓M的距離與到點(diǎn)A的距離相等，記P點(diǎn)的軌跡為曲線W. (1)求曲線W的方程； (2)過(guò)原點(diǎn)的直線l(l不與坐標(biāo)軸重合)與曲線W交于不同的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)E在曲線W上，且CE⊥CD，直線DE與x軸交于點(diǎn)F，設(shè)直線DE、CF的斜率分別為k1、k2，求. 解析：(1)由題意知：點(diǎn)P在

12、圓內(nèi)且不為圓心，易知|PA|＋|PM|＝2>2＝|AM|，所以P點(diǎn)的軌跡為以A、M為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則? 所以b2＝1，故曲線W的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)C(x1，y1)(x1y1≠0)，E(x2，y2)，則D(－x1，－y1)，則直線CD的斜率為kCD＝，又CE⊥CD，所以直線CE的斜率是kCE＝－，記－＝k，設(shè)直線CE的方程為y＝kx＋m，由題意知k≠0，m≠0，由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0， ∴x1＋x2＝－， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， 由題意知x1≠x2， ∴k1＝kDE＝＝－＝， ∴直線DE的方程為

13、y＋y1＝(x＋x1)， 令y＝0，得x＝2x1，即F(2x1,0)． 可得k2＝－.∴＝－. 6．已知橢圓K：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的半焦距為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切． (1)求K的方程； (2)過(guò)F2的直線l交K于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交K于點(diǎn)C，若四邊形OACB的面積S滿足： a2＝S，求直線l的斜率． 解析：(1)由題意得，解得 故橢圓K的方程為＋y2＝1. (2)由于直線l的傾斜角不可為零，所以設(shè)直線l的方程為my＝x－1， 與＋y2＝1聯(lián)立并化簡(jiǎn)可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0. 設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－， 可得y0＝－，x0＝my0＋1＝. 設(shè)C(x，y)，又＝λ(λ>0)， 所以x＝λx0，y＝λy0. 因?yàn)镃在K上，故λ2(＋y)＝1?m2＋2＝λ2.① 設(shè)h1為點(diǎn)O到直線l的距離，h2為點(diǎn)C到直線l的距離，則＝＝?h2＝(λ－1)h1. 又由點(diǎn)到直線的距離公式得， h1＝＝. 而|AB|＝＝＝， 所以S＝|AB|(h1＋h2)＝＝. 由題意知，S＝＝，所以＝?λ＝. 將λ＝代入①式得m＝1，所以直線l的斜率為1.