高中數(shù)學(xué) 221橢圓的標準方程課件 新人教B版選修21

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1、 1知識與技能 理解橢圓定義,掌握橢圓的標準方程,會求與橢圓有關(guān)的軌跡問題 2過程與方法 通過橢圓概念的引入與橢圓標準方程的推導(dǎo)過程,培養(yǎng)學(xué)生分析、探索問題的能力,熟練掌握解決解析幾何問題的方法坐標法 3情感態(tài)度與價值觀 通過橢圓定義和標準方程的學(xué)習(xí),滲透數(shù)形結(jié)合的思想,啟發(fā)學(xué)生在研究問題時,抓住問題本質(zhì),嚴謹細致思考,規(guī)范得出解答,體會運動變化,對立統(tǒng)一的思想 重點:橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點:橢圓標準方程的建立和推導(dǎo) 1對于橢圓定義的理解,要抓住橢圓上的點所要滿足的條件,即橢圓上的點的幾何性質(zhì),可以對比圓的定義來理解要注意到定義中對“常數(shù)”的限定的常數(shù)要大于|F1F2|.這樣

2、規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況,即:“當常數(shù)等于|F1F2|時軌跡是一條線段; 當常數(shù)小于|F1F2|時無軌跡”這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 2求橢圓的方程, 首先要建立直角坐標系,由于曲線上同一個點在不同的坐標系中的坐標不同,曲線的方程也不同,為了使方程簡單,必須注意坐標系的選擇怎樣選擇坐標系,要根據(jù)具體情況來確定在一般情況下,應(yīng)注意要使已知點的坐標和直線(或曲線)的方程盡可能簡單,在求橢圓的標準方程時,選擇x軸經(jīng)過兩個定點F1、F2,并且使坐標原點與線段F1F2的中點重合,這樣,兩個定點的坐標比較簡單,便于推導(dǎo)方程 在求方程時,設(shè)橢圓的焦距為2c(c0),橢圓上任意

3、一點到兩個焦點的距離的和為2a(a0),這是為了使焦點及長軸兩個端點的坐標不出現(xiàn)分數(shù)形式,以便使導(dǎo)出的橢圓的方程形式簡單令a2c2b2是為了使方程的形式整齊而便于記憶 3橢圓的兩種標準方程中,總是ab0, 即橢圓的標準方程中,哪個項的分母大焦點就在相應(yīng)的哪個軸上;反過來,焦點在哪個軸上,相應(yīng)的那個項的分母就大 a、b、c始終滿足c2a2b2,如果焦點在x軸上, 焦點坐標是(c,0),(c,0);如果焦點在y軸上,焦點坐標是(0,c),(0,c) 4求橢圓的標準方程時,要首先進行“定位”,即確定焦點的位置;其次是進行定“量”,即求a、b的大小,a、b、c滿足的關(guān)系有:a2b2c2;ab0;ac0

4、. 5牽涉到橢圓上一點坐標問題,??紤]此點到兩焦點的距離之和為2a,來確定標準方程中的a2. 1平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做這兩個定點F1、F2叫做橢圓的,兩焦點的距離|F1F2|叫做橢圓的 2在橢圓定義中,條件2a|F1F2|不應(yīng)忽視,若2a|F1F2|,則這樣的點不存在;若2a|F1F2|,則動點的軌跡是橢圓焦點焦距線段 3橢圓的標準方程 例1在橢圓9x225y2225上求點P,使它到右焦點的距離等于它到左焦點距離的4倍 分析由P(x,y)到橢圓焦點的距離建立兩個關(guān)于x,y的方程,可以求出x,y的值 例2已知圓C:(x1)2y225及點A(

5、1,0),Q為圓上一點,AQ的垂直平分線交CQ于M,求點M的軌跡方程 解析如圖所示,M是AQ的垂直平分線與CQ的交點,連接MA,則|MQ|MA|, |MC|MA|MC|MQ|CQ|5, 且|AC|2, 動點M的軌跡是橢圓,且其焦點為C,A, 已知F1、F2是兩點,|F1F2|8,動點M滿足|MF1|MF2|10,則點M的軌跡是_ 動點M滿足| M F1| | M F2| 8 ,則點M 的軌跡是_ 答案以F1、F2為焦點的橢圓線段F1F2 說明1.點在橢圓上這個條件的轉(zhuǎn)化常有兩種方程:一是點的坐標滿足橢圓的方程;二是點滿足橢圓定義,若點P在橢圓上,則有|PF1|PF2|2a. 2平面內(nèi)的點滿足橢

6、圓的定義,可得點P的軌跡是橢圓,進而求得橢圓的方程. 分析根據(jù)題意,先判斷橢圓的焦點位置,再設(shè)出橢圓的標準方程,從而確定a、b的值 說明 根據(jù)已知條件,判定焦點的位置,設(shè)出橢圓的方程是解決此題的關(guān)鍵 分析根據(jù)橢圓方程的特征求解 2當橢圓的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上時,對應(yīng)的方程才是標準方程,同一橢圓在不同坐標系下其方程是不同的 答案B 解析0k0,25k0且25k9k, a225k,b29k, c225k(9k)16, c4. 兩橢圓有相等的焦距,選B. 分析只需求出|PF1|PF2|的值即可 例6(1)命題甲:動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|PB|2a(a0,常數(shù));(2)命題乙:

7、P點軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件 分析由橢圓定義直接作出判斷 解析若P點軌跡是橢圓,則一定有|PA|PB|2a(a0,常數(shù)) 所以甲是乙的必要條件 反過來,若|PA|PB|2a(a0,常數(shù)),是不能推出P點軌跡是橢圓的 這是因為僅當2a|AB|時,P點軌跡才是橢圓;而當2a|AB|時,P點軌跡是線段AB;當2a|F1F2|2c. 若一個動點P(x,y)到兩個定點A(1,0),A(1,0)的距離和為定值m,試求P點的軌跡方程 解析|PA|PA|m,|AA|2, (1)當m2時,P點的軌跡就是線段AA. 其方程為y0

8、(1x1) (2)當m2時,由橢圓的定義知,點P的軌跡是以A、A為焦點的橢圓 2c2,2am, 在ABC中,BC24,AC、AB邊上的中線長之和等于39,求ABC的重心的軌跡方程 解析如圖所示,以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系 例7已知ABC中,A,B,C所對的邊分別為a、b、c,且acb成等差數(shù)列,|AB|2,求頂點C的軌跡方程 辨析上述解答中沒有注意題設(shè)中的條件acb,同時也忽略了隱含條件,即點C不能在x軸上,從而導(dǎo)致了變量x范圍的擴大,使軌跡不滿足“完備性”求軌跡方程時“純粹性”與“完備性”要同時具備,缺一不可,這就要求我們應(yīng)結(jié)合圖形,認真觀察動點在各種可能

9、位置的情形,以防疏漏或軌跡不滿足純粹性 正解接上面有3x24y212,又ab,即|BC|AC|, 點C只能在y軸的左邊,即x0. 又由于ABC的三個頂點不能共線,即點C不能在x軸上,故x2. 所求C點的軌跡方程為3x24y212(2x0) 說明(1)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的求軌跡,不但要求出軌跡方程,還要指明軌跡是什么圖形 (2)求出軌跡方程后,注意考查曲線的完備性和純粹性,以防“疏漏”和“不純” 答案B 解析根據(jù)題意畫出圖形(如圖所示), |AF1|AF2|2,|BF1|BF2|2, |AF1|BF1|AF2|BF2|4, 即|AB|AF2|BF2|4. 答案A 答案D 解析由橢圓的方程知a5, 2a10,根據(jù)橢圓定義,得|PF1|PF2|2a, 其中一段長為3,另一段長為7,故選D. 三、解答題 6已知橢圓的中心在原點,且經(jīng)過點P(3,0),a3b,求橢圓的標準方程

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