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規(guī)律探索
一、選擇題
1. 如圖,將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形,稱為第一次操作;然后,將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形,共得到7個小三角形,稱為第二次操作;再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形,共得到10個小三角形,稱為第三次操作;…根據(jù)以上操作,若要得到100個小三角形,則需要操作的次數(shù)是( ?。?
A.25 B.33 C.34 D.50
【考點】規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】由第一次操作后三角形共有4個、第二次操作后三角形共有(4+3)個、第三次操作后三角形共有(4+3+3)個,可得
2、第n次操作后三角形共有4+3(n﹣1)=3n+1個,根據(jù)題意得3n+1=100,求得n的值即可.
【解答】解:∵第一次操作后,三角形共有4個;
第二次操作后,三角形共有4+3=7個;
第三次操作后,三角形共有4+3+3=10個;
…
∴第n次操作后,三角形共有4+3(n﹣1)=3n+1個;
當3n+1=100時,解得:n=33,
故選:B.
2.觀察圖中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律,可知,數(shù)2016應標在( ?。?
A.第504個正方形的左下角 B.第504個正方形的右下角
C.第505個正方形的左上角 D.第505個正方形的右下角
【考點】規(guī)律型:點的坐標.
【分析
3、】根據(jù)圖形中對應的數(shù)字和各個數(shù)字所在的位置,可以推出數(shù)2016在第多少個正方形和它所在的位置,本題得以解決.
【解答】解:∵2016÷4=504,
又∵由題目中給出的幾個正方形觀察可知,每個正方形對應四個數(shù),而第一個最小的數(shù)是0,0在右下角,然后按逆時針由小變大,
∴第504個正方形中最大的數(shù)是2015,
∴數(shù)2016在第505個正方形的右下角,
故選D.
3.(2016.山東省臨沂市,3分)用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形,則第n個圖形中小正方形的個數(shù)是( ?。?
A.2n+1 B.n2﹣1 C.n2+2n D.5n﹣2
【考點】規(guī)律型:圖形的變化類.
4、
【分析】由第1個圖形中小正方形的個數(shù)是22﹣1、第2個圖形中小正方形的個數(shù)是32﹣1、第3個圖形中小正方形的個數(shù)是42﹣1,可知第n個圖形中小正方形的個數(shù)是(n+1)2﹣1,化簡可得答案.
【解答】解:∵第1個圖形中,小正方形的個數(shù)是:22﹣1=3;
第2個圖形中,小正方形的個數(shù)是:32﹣1=8;
第3個圖形中,小正方形的個數(shù)是:42﹣1=15;
…
∴第n個圖形中,小正方形的個數(shù)是:(n+1)2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n;
故選:C.
【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律,解決此類題目的方法是:從變化的圖形中發(fā)現(xiàn)不變的部分和變化的部分及變化部分的特點是解題的關(guān)鍵.
5、二、填空題
1.如圖,①是一個三角形,分別連接這個三角形三邊中點得到圖②,再連接圖②中間小三角形三邊的中點得到圖③,按這樣的方法進行下去,第n個圖形中共有三角形的個數(shù)為 4n﹣3?。?
【考點】規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】結(jié)合題意,總結(jié)可知,每個圖中三角形個數(shù)比圖形的編號的4倍少3個三角形,即可得出結(jié)果.
【解答】解:第①是1個三角形,1=4×1﹣3;
第②是5個三角形,5=4×2﹣3;
第③是9個三角形,9=4×3﹣3;
∴第n個圖形中共有三角形的個數(shù)是4n﹣3;
故答案為:4n﹣3.
【點評】此題主要考查了圖形的變化,解決此題的關(guān)鍵是尋
6、找三角形的個數(shù)與圖形的編號之間的關(guān)系.
2.如圖,直線l:y=-x,點A1坐標為(-3,0). 過點A1作x軸的垂線交直線l于點B1,以原點O為圓心,OB1長為半徑畫弧交x軸負半軸于點A2,再過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2,以原點O為圓心,OB2長為半徑畫弧交x軸負半軸于點A3,…,按此做法進行下去,點A2016的坐標為 .
【考點】一次函數(shù)圖像上點的坐標特征,規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】由直線l:y=-x的解析式求出A1B1的長,再根據(jù)勾股定理,求出OB1的長,從而得出A2的坐標;再把A2的橫坐標代入y=-x的解析式求出A
7、2B2的長,再根據(jù)勾股定理,求出OB2的長,從而得出A3的坐標;…,由此得出一般規(guī)律.
【解答】解:∵點A1坐標為(-3,0),知O A1=3,
把x=-3代入直線y=-x中,得y= 4 ,即A1B1=4.
根據(jù)勾股定理,OB1===5,
∴A2坐標為(-5,0),O A2=5;
把x=-5代入直線y=-x中,得y= ,即A2B2=.
根據(jù)勾股定理,OB2====,
∴A3坐標為(-,0),O A3=;
把x=-代入直線y=-x中,得y= ,即A3B3=.
根據(jù)勾股定理,OB3
8、====,
∴A4坐標為(-,0),O A4=;
……
同理可得An坐標為(-,0),O An=;
∴A2016坐標為(-,0)
故答案為:(? ,0)
【點評】本題是規(guī)律型圖形的變化類題是全國各地的中考熱點題型,考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征. 解題時,要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用,總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵. 解此類題時,要得到兩三個結(jié)果后再比較、總結(jié)歸納,不要只求出一個結(jié)果就盲目的匆忙得出結(jié)論。
3.設(shè)一列數(shù)中相鄰的三個數(shù)依次為m、n、p,且滿足p=m2﹣n,若這列數(shù)為﹣1,3,﹣2,a,﹣7,b…,則b= 128?。?
【考點】規(guī)律型:數(shù)字的變化類.
【分析】根據(jù)題意求出a
9、,再代入關(guān)系式即可得出b的值.
【解答】解:根據(jù)題意得:a=32﹣(﹣2)=11,
則b=112﹣(﹣7)=128.
故答案為:128.
4.如圖,下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的,根據(jù)此規(guī)律確定x的值為 370?。?
【考點】規(guī)律型:數(shù)字的變化類.
【分析】首先觀察規(guī)律,求得n與m的值,再由右下角數(shù)字第n個的規(guī)律:2n(2n﹣1)﹣n,求得答案.
【解答】解:∵左下角數(shù)字為偶數(shù),右上角數(shù)字為奇數(shù),
∴2n=20,m=2n﹣1,
解得:n=10,m=19,
∵右下角數(shù)字:第一個:1=1×2﹣1,
第二個:10=3×4﹣2,
第三個:
10、27=5×6﹣3,
∴第n個:2n(2n﹣1)﹣n,
∴x=19×20﹣10=370.
故答案為:370.
【點評】此題考查了數(shù)字規(guī)律性問題.注意首先求得n與m的值是關(guān)鍵.
5.我國南宋數(shù)學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律,稱之為“楊輝三角”.這個三角形給出了(a+b)n(n=1,2,3,4…)的展開式的系數(shù)規(guī)律(按a的次數(shù)由大到小的順序):
請依據(jù)上述規(guī)律,寫出(x﹣)2016展開式中含x2014項的系數(shù)是 ﹣4032 .
【考點】整式的混合運算.
【分析】首先確定x2014是展開式中第幾項,根據(jù)楊輝三角即可解決問題.
【解答】解:(x﹣)20
11、16展開式中含x2014項的系數(shù),
根據(jù)楊輝三角,就是展開式中第二項的系數(shù),即﹣2016×2=﹣4032.
故答案為﹣4032.
6.下列圖案是用長度相同的火柴棒按一定規(guī)律拼搭而成,圖案①需8根火柴棒,圖案②需15根火柴棒,…,按此規(guī)律,圖案⑦需 50 根火柴棒.
【考點】規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】根據(jù)圖案①、②、③中火柴棒的數(shù)量可知,第1個圖形中火柴棒有8根,每多一個多邊形就多7根火柴棒,由此可知第n個圖案需火柴棒8+7(n﹣1)=7n+1根,令n=7可得答案.
【解答】解:∵圖案①需火柴棒:8根;
圖案②需火柴棒:8+7=15根;
圖案③需火柴棒:8+7
12、+7=22根;
…
∴圖案n需火柴棒:8+7(n﹣1)=7n+1根;
當n=7時,7n+1=7×7+1=50,
∴圖案⑦需50根火柴棒;
故答案為:50.
【點評】此題主要考查了圖形的變化類,解決此類題目的關(guān)鍵在于圖形在變化過程中準確抓住不變的部分和變化的部分,變化部分是以何種規(guī)律變化.
7.(2016·山東棗莊)一列數(shù),,,…滿足條件:,(n≥2,且n為整數(shù)),則 = ?。?
【答案】-1.
【解析】
試題分析:根據(jù)題意可知,,,,,.......,由此可得這組數(shù)據(jù)3個一循環(huán),2016÷3=672,所以是第672個循環(huán)中的第3個數(shù)
13、,即=-1.
考點:規(guī)律探究題.
8.如圖是一組有規(guī)律的圖案,它們是由邊長相同的小正方形組成,其中部分小正方形涂有陰影,依此規(guī)律,第n個圖案中有(4n+1)個涂有陰影的小正方形(用含有n的代數(shù)式表示).
考點:找規(guī)律
分析:由圖可知,涂有陰影的正方形有5+4(n-1)=4n+1個
解答:(4n+1)
9.(2016山東省聊城市,3分)如圖,在平面直角坐標系中,邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上,以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3,以此類推…、則正方形OB2015B2016C201
14、6的頂點B2016的坐標是?。?1008,0)?。?
【考點】正方形的性質(zhì);規(guī)律型:點的坐標.
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐標,找出這些坐標的之間的規(guī)律,然后根據(jù)規(guī)律計算出點B2016的坐標.
【解答】解:∵正方形OA1B1C1邊長為1,
∴OB1=,
∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的對角線OB1為邊,
∴OB2=2,
∴B2點坐標為(0,2),
同理可知OB3=2,
∴B3點坐標為(﹣2,2),
同理可知OB4=4,B4點坐標為(﹣4,0),
B5點坐標為(﹣4,﹣4),B6點坐標為(0,﹣8),
B7(8,
15、﹣8),B8(16,0)
B9(16,16),B10(0,32),
由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn),每經(jīng)過8次作圖后,點的坐標符號與第一次坐標符號相同,每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?
∵2016÷8=252
∴B2016的縱橫坐標符號與點B8的相同,橫坐標為正值,縱坐標是0,
∴B2016的坐標為(21008,0).
故答案為:(21008,0).
【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)的知識點,解答本題的關(guān)鍵是由點坐標的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過8次作圖后,點的坐標符號與第一次坐標符號相同,每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?
10.(2016.山東省泰安市,3分)如圖,在平面直角
16、坐標系中,直線l:y=x+2交x軸于點A,交y軸于點A1,點A2,A3,…在直線l上,點B1,B2,B3,…在x軸的正半軸上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,依次均為等腰直角三角形,直角頂點都在x軸上,則第n個等腰直角三角形AnBn﹣1Bn頂點Bn的橫坐標為 2n+1﹣2 .
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐標,探究規(guī)律后,即可根據(jù)規(guī)律解決問題.
【解答】解:由題意得OA=OA1=2,
∴OB1=OA1=2,
B1B2=B1A2=4,B2A3=B2B3=8,
∴B1(2,0),B2(6,0),B3(14,0)…,
17、
2=22﹣2,6=23﹣2,14=24﹣2,…
∴Bn的橫坐標為2n+1﹣2.
故答案為 2n+1﹣2.
【點評】本題考查規(guī)律型:點的坐標、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是從特殊到一般,探究規(guī)律,利用規(guī)律解決問題,屬于中考??碱}型.
11.(2016.山東省威海市,3分)如圖,點A1的坐標為(1,0),A2在y軸的正半軸上,且∠A1A2O=30°,過點A2作A2A3⊥A1A2,垂足為A2,交x軸于點A3;過點A3作A3A4⊥A2A3,垂足為A3,交y軸于點A4;過點A4作A4A5⊥A3A4,垂足為A4,交x軸于點A5;過點A5作A5A
18、6⊥A4A5,垂足為A5,交y軸于點A6;…按此規(guī)律進行下去,則點A2016的縱坐標為 ﹣()2015?。?
【考點】坐標與圖形性質(zhì).
【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐標,探究規(guī)律,利用規(guī)律解決問題.
【解答】解:∵A1(1,0),A2[0,()1],A3[﹣()2,0].A4[0,﹣()3],A5[()4,0]…,
∴序號除以4整除的話在y軸的負半軸上,余數(shù)是1在x軸的正半軸上,余數(shù)是2在y軸的正半軸上,余數(shù)是3在x軸的負半軸上,
∵2016÷4=504,
∴A2016在y軸的負半軸上,縱坐標為﹣()2015.
故答案為﹣()2015.
三、解
19、答題
1.(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,并填空:
(2)觀察下圖,根據(jù)(1)中結(jié)論,計算圖中黑球的個數(shù),用含有n的代數(shù)式填空:
1+3+5+…+(2n﹣1)+( 2n+1?。?(2n﹣1)+…+5+3+1= 2n2+2n+1?。?
【考點】規(guī)律型:圖形的變化類.
【分析】(1)根據(jù)1+3+5+7=16可得出16=42;設(shè)第n幅圖中球的個數(shù)為an,列出部分an的值,根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“an﹣1=1+3+5+…+(2n﹣1)=n2”,依此規(guī)律即可解決問題;
(2)觀察(1)可將(2)圖中得黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再結(jié)合(1)的規(guī)律即可得出結(jié)論.
20、
【解答】解:(1)1+3+5+7=16=42,
設(shè)第n幅圖中球的個數(shù)為an,
觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,…,
∴an﹣1=1+3+5+…+(2n﹣1)=n2.
故答案為:42;n2.
(2)觀察圖形發(fā)現(xiàn):
圖中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,
即1+3+5+…+(2n﹣1)+[2(n+1)﹣1]+(2n﹣1)+…+5+3+1,
=1+3+5+…+(2n﹣1)+(2n+1)+(2n﹣1)+…+5+3+1,
=an﹣1+(2n+1)+an﹣1,
=n2+2n+1+n2,
=2n2+2n+1.
故答案為:2n+1;2n2+2n+1.
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