黑龍江省虎林高級中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第三講 第四課柯西不等式與排序不等式課件 新人教A版選修45

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1、第三講第三講柯西不等式與柯西不等式與排序不等式排序不等式排序不等式排序不等式三三 ?,?,:.,.,.,.,.,小小個個三三角角形形的的面面積積之之和和最最使使得得到到的的才才能能如如何何一一一一搭搭配配個個三三角角形形面面積積之之和和最最大大得得到到的的才才能能使使邊邊上上的的點點如如何何一一一一搭搭配配邊邊上上的的點點與與問問不不同同因因而而三三角角形形面面積積也也可可能能不不同同得得到到的的不不同同搭搭配配的的方方法法顯顯然然個個三三角角形形得得到到一一共共可可以以這這樣樣一一一一搭搭配配得得到到連連結(jié)結(jié)某某個個點點與與選選取取某某個個點點邊邊也也依依次次取取點點沿沿個個點點邊邊依依次次

2、取取沿沿自自點點設(shè)設(shè)如如圖圖探探究究nnOBOAOBAnOBAnjBjniABBBOBAAAnOAOAOBjijiinn 212113321211B2BO1A2AiAnAjBnBAB133 .圖圖 .,.,nnjjiibbbbaaaanJibOBaOA 32132121得得由已知條件由已知條件設(shè)設(shè):,sin,sin代數(shù)問題代數(shù)問題歸結(jié)為下面的歸結(jié)為下面的上面的幾何問題就可以上面的幾何問題就可以于是于是數(shù)數(shù)是常是常而而的面積是的面積是因為因為2121jijibaOBA?,何時取得最大值何時取得最大值個乘積的和個乘積的和問以下的問以下的的任何一個排列的任何一個排列是數(shù)組是數(shù)組nnnncacacaS

3、nbbbccc 22112121 .:,.,21332211212312112121SSSbabababaSbabababaSbbbaaaSnnnnnnnn 下下面面的的不不等等式式應(yīng)應(yīng)該該成成立立幾幾何何直直覺覺告告訴訴我我們們作作同同樣樣的的定定義義我我們們對對一一般般的的實實數(shù)數(shù)組組也也稱稱為為和和的的按按相相同同順順序序相相乘乘所所得得積積稱稱為為所所得得積積的的和和其其中中按按相相反反順順序序相相乘乘的的和和叫叫做做數(shù)數(shù)組組我我們們把把上上面面的的和和亂亂序序和和反反序序和和順順序序.順順序序和和亂亂序序和和即即反反序序和和 和和 .,反反序序和和是是否否最最小小最最大大看看看看順順

4、序序和和是是否否試試試試和和例例如如數(shù)數(shù)不不妨妨用用兩兩組組為為初初步步檢檢驗驗上上面面的的直直覺覺探探究究654321.,明明下下面面我我們們進(jìn)進(jìn)行行一一般般性性證證直直覺覺一一定定正正確確但但這這還還不不能能完完全全說說明明致致檢檢驗驗的的結(jié)結(jié)果果會會與與直直覺覺一一 ., !,!,最大值和最小值其中必有個數(shù)個的不同的值也只有有限所以個的全排列只有因為的任一排列是數(shù)為兩組設(shè)證明ncacacaSnbbbbbbcccbbbaaannnnnnn 22112121212121 .,kkcckbcbc 11111則有某若式考慮nnkkkcacacaScc 111,得對換中將 .0111111 kkk

5、kkkccaacacacacaSS得 .,和式不減小后中的第一項調(diào)換為這說明將11ba.,并進(jìn)行類似討論則轉(zhuǎn)而考察若211cbc .,和式不減小后項換為第二中的第一項換為將可以證明類似地2211baba .,2SSci 即最大和數(shù)是順序和排序的情況由小到大能是數(shù)組大和數(shù)所對應(yīng)的情況只最可知一切和中經(jīng)有限步調(diào)整如此繼續(xù)下去.,11SS 即最小和數(shù)是反序和同樣可證.是正確的面的直覺至此我們已經(jīng)證明了前因此21SSS ?,?么什么條件下兩者相等么什么條件下兩者相等那那如果能如果能能相等嗎能相等嗎與反序和與反序和順序和順序和思考思考12SS.,212121SSSbbbaaann 即順序和等于反序和時或

6、當(dāng)容易發(fā)現(xiàn) ,.,),(,jkilljkikklljjiikljinnbabababababababaSSbbaanklklnjijibbbaaa 2212111考慮和數(shù)的方法用類似上面證明使得和則一定可以找到也不全相等并且不全相等如果事實上 ,jkilkjlikklljjiibabababababababaSS 2 ., SSbbaaSSSlkij即而且的形式這兩個和數(shù)都符合前面可以看出0.21SSSS 進(jìn)而得得得歸結(jié)上面證明的結(jié)論歸結(jié)上面證明的結(jié)論, .,.,序序和和等等于于順順序序和和反反時時或或當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)那那么么的的任任一一排排列列是是為為兩兩組組實實數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)又又稱稱排排序序原原

7、理理排排序序不不等等式式定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbcccbbbaaainequalitysequence 212122112211112121212121.,式的應(yīng)用式的應(yīng)用下面舉例說明排序不等下面舉例說明排序不等不等式得到證明不等式得到證明助排序助排序許多重要不等式可以借許多重要不等式可以借便于記憶和使用便于記憶和使用明了明了它的思想簡單它的思想簡單重要的不等式重要的不等式排序不等式也是基本而排序不等式也是基本而 ?,.,總總時時間間等等于于多多少少這這個個最最少少的的少少使使他他們們等等候候的的總總時時間間最最人人的的順順序序個

8、個應(yīng)應(yīng)如如何何安安排排問問只只有有一一個個水水龍龍頭頭時時各各不不相相同同假假定定這這些些分分鐘鐘個個人人的的水水桶桶需需要要第第設(shè)設(shè)水水龍龍頭頭注注滿滿人人各各拿拿一一只只水水桶桶去去接接水水有有例例101021101iittii ;,.,分分人所需等候的總時間是人所需等候的總時間是接這桶水時接這桶水時分分若第一個接水的人需若第一個接水的人需為數(shù)學(xué)問題為數(shù)學(xué)問題即轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化需要將它數(shù)學(xué)化需要將它數(shù)學(xué)化這是一個實際問題這是一個實際問題分析分析111010tt第二個接水的人第二個接水的人;,分分人人所所需需等等候候的的總總時時間間是是接接這這桶桶水水時時分分需需2299tt.,分分需需要要只只有

9、有他他一一人人在在等等人人接接水水時時到到第第如如此此繼繼續(xù)續(xù)下下去去1010t人人都都接接滿滿水水所所需需的的按按這這個個順順序序所所以以10, .1021910ttt 是是分分等等待待總總時時間間.,最最小小滿滿足足什什么么條條件件這這個個和和數(shù)數(shù)現(xiàn)現(xiàn)在在考考慮慮學(xué)學(xué)模模型型這這個個和和數(shù)數(shù)就就是是問問題題的的數(shù)數(shù)1021ttt .1021910ttt 是分等待總時間解.,時間取最小值總時當(dāng)根據(jù)排序不等式1021ttt ,人等候的總時間最少依次接水按水桶的大小由小到大這就是說10這個最少時間是.1021910ttt .1021ttt 其中例例1 ：有：有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水人各拿

10、一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第龍頭注滿第i(i=1,2,10)個人的水桶需要個人的水桶需要ti分，假定這些分，假定這些ti各不相同。各不相同。問：只有一個水龍頭時，應(yīng)該如何安排問：只有一個水龍頭時，應(yīng)該如何安排10人的順序，使他們等候的總時間最少？人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的總時間等于多少？這個最少的總時間等于多少？解：解：總時間總時間(分）是分）是10t1+9t2+2t9+t10根據(jù)排序不等式，當(dāng)根據(jù)排序不等式，當(dāng)t1t2t9t10時，時，總時間取最小值。總時間取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，即：按水桶的大小由小到大依次接水，則則10人等候的總時間最少。人等候的總

11、時間最少。最少的總時間是最少的總時間是: 10t1+9t2+2t9+t10122221 12 2121212,.,.,.,. ,1.nn nnnna aaaca ca caaac cca aa為實數(shù)，證明：其中是的.設(shè)任一排列。練習(xí)練習(xí).,22322121321312112naaaannaaann 求證求證個互不相同的正整數(shù)個互不相同的正整數(shù)是是設(shè)設(shè)例例.,證明的思路證明的思路不等式不等式由此可以聯(lián)想到用排序由此可以聯(lián)想到用排序?qū)?yīng)另一列數(shù)是對應(yīng)另一列數(shù)是可以猜想到與可以猜想到與子子觀察問題中的式觀察問題中的式排序排序此它們可以從小到大地此它們可以從小到大地因因個互不相同的正整數(shù)個互不相同的正

12、整數(shù)是是分析分析2222121131211naaanaaann .,nnnbbbaaabbb 212121且滿足的一個排列是設(shè)證明.,nbbbbbbnn 212121故是互不相同的正整數(shù)因得由排序不等式又因,222131211n 2232212232213232nbbbbnaaaann 222131321211nn .n131211 3332222., ,2()()()().a b cabca b cb a cc a b已知為正數(shù)，用排序不等式證明練習(xí)練習(xí)121121212121121111212222,.,. .nnnnnnnnnnnnabc ccb babaaba baabba caa ba bcbaaabbba cn定理（排序不等式，又稱排序定理）設(shè)為兩組實數(shù)是的任一排列，那么：當(dāng)且僅當(dāng)或時,反序和等，b于順序和。反序和反序和亂序和亂序和順序和順序和