黑龍江省虎林高級中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第三講 一般形式的柯西不等式（第1課時）課件 新人教A版選修45

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1、 .,等等號號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221 ., |,等等號號成成立立時時使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則個個向向量量是是兩兩設(shè)設(shè)式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2復(fù)習(xí)一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式二二 .,是三維的形式是三維的形式空間向量的坐標(biāo)空間向量的坐標(biāo)是二維形式是二維形式平面上向量坐標(biāo)平面上向量坐標(biāo)我們知道我們知道zyxyx?,么么結(jié)結(jié)論論呢呢關(guān)關(guān)于于柯柯西西不不等等式式會會有有什什問問題題從從三三維維的的角角

2、度度思思考考聯(lián)聯(lián)系系前前一一節(jié)節(jié)的的內(nèi)內(nèi)容容思思考考xyo 21aa ,12,b bxyo 321aaa,123,b b bz123 .圖圖xyo 21aa ,12,b bxyo 321aaa,123,b b bz123 .圖圖222221212112212213.21,| |.,.aabba ba ba ba b 觀察圖從平面向量的幾何背景能得到將平面向量的坐標(biāo)代入 化簡后得二維形式的柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)時 等號成立 ,. |,2332211232221232221babababbbaaa 化化簡簡得得將將空空間間向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)代代入入也也能能得得到到從從空空間間向向量量的的幾幾何何背背

3、景景類類似似地地 .,等等號號成成立立時時得得使使或或存存在在一一個個數(shù)數(shù)即即共共線線時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)3210 ikbakii.等等式式叫叫做做三三維維形形式式的的柯柯西西不不我我們們把把不不等等式式?,西西不不等等式式嗎嗎能能猜猜想想出出一一般般形形式式的的柯柯你你式式柯柯西西不不等等式式對對比比二二維維形形式式和和三三維維形形探探究究 .,222112222122221nnnnbabababbbaaa 為為柯柯西西不不等等式式的的一一般般形形式式我我們們猜猜想想?如如何何證證明明以以上上猜猜想想.,我我們們采采用用下下面面的的證證法法并并比比較較左左右右比比較較麻麻煩煩直直接接展展開開

4、中中括括號號內(nèi)內(nèi)含含較較多多的的項(xiàng)項(xiàng)由由于于不不等等式式,nnnbababaBaaaA 221122221如果設(shè)如果設(shè),22221nbbbC ,2BAC 就是就是不等式不等式那么那么.,.不不等等式式應(yīng)應(yīng)的的判判別別式式來來證證明明并并通通過過討討論論相相二二次次函函數(shù)數(shù)這這就就啟啟發(fā)發(fā)我我們們可可以以構(gòu)構(gòu)造造密密切切相相關(guān)關(guān)判判別別式式這這正正好好與與二二次次函函數(shù)數(shù)ACBCBxAxy44222 .式顯然成立時或當(dāng)證明002121 nnbbbaaa,002222121 nnaaaaaa則中至少有一個不為當(dāng)考慮二次函數(shù) .2222122112222212nnnnbbbxbababaxaaaxf

5、 ,02212211 nnbxabxabxaxfx因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù) 即的判別式所以二次函數(shù), 0 xf .044222212222122211 nnnnbbbaaabababa .,以上不等式取等號判別式零點(diǎn)時有唯一當(dāng)且僅當(dāng)于是得0222112222122221 xfbabababbbaaannnn .,nibxaxii 210使有唯一實(shí)數(shù)此時.,由此再利用判式由此再利用判式方和方和出現(xiàn)了后面的平出現(xiàn)了后面的平了配方了配方這里構(gòu)造的函數(shù)考慮到這里構(gòu)造的函數(shù)考慮到于于是是有有得得知知猜猜想想成成立立通通過過以以上上證證明明, nibi, 210當(dāng)且僅當(dāng)總之.,;,iinbxaxbbbx10002

6、1 則有若式成立則若 .,等號成立時或nikbaii 21 .),(,),(,時時等等號號成成立立使使得得或或存存在在一一個個數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定定理理nikbaknibbabababbbaaabbbbaaaaiiinnnnnn 21210222112222122221321321以以上上不不等等式式稱稱為為.一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式.?們們自自己己進(jìn)進(jìn)行行探探究究請請同同學(xué)學(xué)不不等等式式證證明明它它何何應(yīng)應(yīng)用用一一般般形形式式的的柯柯西西如如怎怎樣樣的的形形式式的的三三角角不不等等式式應(yīng)應(yīng)是是一一般般探探究究.西不等式的一些應(yīng)用西不等式的一些應(yīng)用下面介紹

7、一般形式的柯下面介紹一般形式的柯 .,222212212111nnnaaaaaanaaa 求證求證是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)已知已知例例.,這這就就引引出出證證明明思思路路式式顯顯符符合合柯柯西西不不等等式式的的形形能能使使式式子子變變成成明明乘乘要要證證的的式式子子的的兩兩邊邊用用分分析析n ,22122221nnaaaaaan 所以 .222212211nnaaaaaan 即根據(jù)柯西不等式有證明 ,22122221222111111nnaaaaaa 個n調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)平方平均數(shù) 附：介紹平均數(shù)不等式附：介紹平均數(shù)不等式naaan11121nnaaa

8、21naaan22221naaan21練習(xí)練習(xí)41頁頁322222212312321 1223 3() ()()aaabbbaba ba b小節(jié)小節(jié)1.（三維形式的柯西不等式）（三維形式的柯西不等式）:22222212n12n21 122(.) (.)(.)nnaaabbbaba ba b定理定理 設(shè)設(shè)nnbbbbaaaa,.,.,321321是實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) (i=1,2,n) 或或 存在一個存在一個 數(shù)數(shù)k使得使得 (i=1,2,n) 時等號成立。時等號成立。 以上不等式稱為以上不等式稱為一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式。0ibiikba 2.（n維形式的柯西不等式）維形式的柯西不等式）:).,.,2, 1,()(.)()(.)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn3.一般形式的三角不等式一般形式的三角不等式作業(yè)作業(yè)41頁頁1.,.,應(yīng)應(yīng)用用它它就就能能更更靈靈活活地地掌掌握握它它的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)特特點(diǎn)點(diǎn)式式柯柯西西不不等等解解正正確確理理解解往往往往是是簡簡明明的的用用柯柯西西不不等等式式對對于于許許多多不不等等式式問問題題