《平面向量數(shù)量積》

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1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 【課型】：新授課 【課時】：第一課時 教材分析 本節(jié)內容選自人教A版高中數(shù)學必修四第二章第二節(jié) 241平面向量數(shù)量積 的物理背景及其含義。本節(jié)內容先通過物理中“功”的例子抽象出平面向量數(shù)量 積的概念，了解它的物理背景，再在此基礎上探究學習數(shù)量積的幾何含義、 性質 與運算律。平面向量的數(shù)量積是繼學習了向量的線性運算后的又一重要運算， 在 數(shù)學、物理等學科中都有廣泛的應用。 它既是對平面向量的深入學習與拓展， 也 為后續(xù)物理應用的學習、立體幾何問題的解決等提供了新的思路，起著重要的承 上啟下的銜接作用。在平面向量數(shù)量積概念中，既有長度又有角度，既有數(shù)又有

2、 形，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結合點，也很好的體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方 法。 學情分析 本節(jié)課的授課對象是高一學生，從知識起點看，在學習本節(jié)內容前，學生已 經(jīng)學習了向量的概念及其線性運算， 學習了功等簡單的物理知識，并且初步體會 了研究向量運算的一般方法；從能力上看，學生具備了一定程度的分析問題與解 決問題的能力，也形成了一定的邏輯思維；從情感上看，高一的學生對未知有探 求的渴望，有學習新知的渴望。但在學習本節(jié)內容時，之前向量線性運算的知識 會造成學生對數(shù)量積這個概念的理解上的偏差，干擾學生對數(shù)量積概念的理解， 另外，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結果發(fā)生了本質的變化， 兩個不同性質的 向

3、量經(jīng)過數(shù)量積運算后，結果卻不是向量，這給學生的學習帶來了困難。 三、重難點 重點： 平面向量數(shù)量積的概念； 難點： 平面向量數(shù)量積的定義與幾何意義的理解。 四、三維目標 知識與技能說出平面向量數(shù)量積的概念； 知道平面向量數(shù)量積的物理背景； 描述平面向量數(shù)量積與向量的投影的關系; （二）過程與方法 通過把功這個式子推廣到一般形式來學習數(shù)量積概念的過程，學習從特殊 到一半的數(shù)學學習方法； 通過進一步根據(jù)圖式理解概念，鞏固數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。 （三）情感、態(tài)度與價值觀 通過生活中的物理問題引出數(shù)量積的概念，體會數(shù)學與生活與其他學科密 切相關； 通過解答新

4、的運算與線性運算之間的區(qū)別，感受探索的樂趣，體驗到成功 解決疑問的快樂。 五、教學過程 （一） 創(chuàng)設情境，導入新課 情景：某天老師的小車在路上拋錨了，看到前方有一修車廠，需要將車子推到修 車廠門口才可以修理，老師用力 F拉動汽車產(chǎn)生的位移為s，假設F是恒力。 問題：老師做了多少功？ 【學生活動】學生在物理知識的基礎上，很容易得到：W二Fscos：。 【師生活動】教師引導學生從數(shù)學的角度看這個式子， W是數(shù)量，F(xiàn)和s都是向 量，而從物理的角度看這個式子，其中F和s是力向量和位移向量的大小，所以 可以將該式改成: COST 問題：功的計算是一種向量間的運算，那是向量的線性運

5、算么？ 【教師活動】教師帶領學生回顧之前學習的向量的線性運算。 【學生活動】學生很容易得到功的計算不屬于向量的線性運算。 問題：將向量的線性運算與功的計算進行比較，請學生找兩者的區(qū)別。 結論：有兩個不同點： ①力□、減法運算都是兩個同性質的向量進行運算，數(shù)乘是實數(shù)與一個向量的運 算，而功的運算是兩個不同性質的向量一力和位移的運算； ② 線性運算的結果還是同性質的向量，而功的運算結果卻是數(shù)量 進而導入本節(jié)課的內容一一平面向量數(shù)量積 【設計意圖】教師通過生活中的親身經(jīng)歷提出問題引入新課， 有利于激發(fā)學生的 認同感與學習興趣，體會數(shù)學與其他學科與生活之間的密切聯(lián)系， 后通過分析比 較之前

6、學習的向量運算，創(chuàng)建學生的認知沖突，引出了平面向量數(shù)量積，點明本 節(jié)課的學習內容 （二） 逐步探索，發(fā)現(xiàn)新知 1.剖析概念，知道物理背景 問題：你能用文字語言表述上面的“功的計算公式”一 w = F Seos。嗎? 【學生活動】學生容易得到答案：功是力與位移大小及其夾角余弦的乘積。 問題：如果將這個特殊的式子推廣到一般的式子，又該如何描述？ 【教師活動】教師通過一般的R cos,引導學生得出答案 結論：數(shù)量R是兩個向量的模及其夾角余弦的乘積。 【教師活動】給出向量數(shù)量積的定義。 定義（板書） 向量數(shù)量積： 已知兩個非零向量 T T a和b，它們的夾角為二，

7、我們把數(shù)量 a b cos=叫做 a 和b的數(shù)量積（或內積），記作ab，即 ab=ab COSV 另外，我們規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。即0 ^0。 【師生活動】教師結合圖像讓學生做進一步的理解。 O O  【教師活動】學習了數(shù)量積的概念后, 數(shù)量積的形式。 【學生活動】：f*s=F s°°s日。 又回到功的式子，請學生將功的式子改成 【教師活動】教師點明功的數(shù)學實質就是力 F和位移s兩個向量的數(shù)量積 注意點： ①兩個不同性質的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后得到的是一個數(shù)量； ②兩個向量的夾角取值V范圍為［0,二］； T T > > , T T

8、③符號ab不能寫成ab或者a b。 2.明確內涵，掌握幾何意義 【教師活動】學習了數(shù)量積的概念，也明確了它的物理背景，那么從數(shù)學角度看 這個運算，它的幾何意義又是什么呢？在發(fā)現(xiàn)它的幾何意義之前， 先學習另一個 新的概念：向量投影。 定義（板書）： 向量投影： 如下圖所示，我們把bcos叫做向量b在a方向上的投影，記作 cos 注意：投影也是數(shù)量。 T T 【教師活動】請學生根據(jù)推車情景的簡圖回答 s在F上的投影 【學生活動】學生將容易的得到： 問題：學習了投影后，從新的角度看看數(shù)量積，能發(fā)現(xiàn)它的幾何意義嗎? 【師生活動】教師引導學生一起

9、得到幾何意義是： 數(shù)量積 ab等于 a的長度 與b在a方向上的投影 bcosT的乘積。 【設計意圖】新課程中，教學是師生積極交往互動、共同發(fā)展的，通過這一環(huán)節(jié) 調動師生間與學生間的合作交流， 通過討論合作突破難點，掌握重點，體會合作 與成功的樂趣 （三） 自我嘗試，鞏固新知 I ? I T T 0 T T 例1.已知a =5,冋=4，a與b的夾角日to，求ab 【學生活動】該題請學生自主完成 解: 2 0 二-10 例2.已知在/ ABC中, AB=a,AC 二b,當 a 七：：：0或a b = 0 時，試判斷/ ABC的 形狀。 【學

10、生活動】該題請學生自主完成 解：ab=abcos日，a|b〉0 當a b ：：：0時，cost ：：： 0，且“ 0,二1， 是鈍角，/ ABC是鈍角三角形; 當 a 2=0 時，cos— 0,且■- 10^1 , r=90°,/ ABC是直角三角形。 【設計意圖】學生通過自主實踐，親身嘗試解答問題，將知識內化、理解掌握。 （四） 小結升華，布置作業(yè) 【學生活動】最后請學生小結今天所學的知識， 教師可以從幾個問題引導學生進 行總結，再由教師進行補充。引導的問題是： 1、 本節(jié)課我們學習的主要內容是什么？ 2、 平面向量數(shù)量積的物理背景和數(shù)學幾何意義是什么？ 3、 我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納？ 4、 學到了什么數(shù)學思想方法？ 最后布置作業(yè)： 課本P119習題2.4A組2、5、6 9。 【設計意圖】通過上述問題，使學生不僅對本節(jié)課的知識、 技能及方法有了更加 全面深刻的認識，同時也為下一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學生的求知欲。