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1、不等關(guān)系嗎？或圖中找出一些相等關(guān)系設(shè)計的你能在這個圖古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國的屆國際數(shù)學(xué)家大會上圖是在北京召開的第一、新課引入一、新課引入ICM2002會標(biāo)會標(biāo)趙爽：弦圖趙爽：弦圖一、新課引入一、新課引入實黃實，加差實，亦成弦以勾股之差自相乘為中，朱實二，倍之為朱實四圖，又可以勾股相乘為弦證明方法敘述為：按開方除之，即弦實股各自乘，并之，為弦勾股定理表述為：勾將勾股定理的理論證明，價值的文獻(xiàn)它記述了有圖注文是數(shù)學(xué)史上極余字的勾股圓方了詳細(xì)注釋其中一段為該書寫了序言，并作，入研究了周髀算經(jīng)貢獻(xiàn)是約在年深要三國時代的人他的主中國數(shù)學(xué)家，東漢末至ADBCEFGHab22ab不等式：不等
2、式： 一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。時，等號成立。222ababABCDE(FGH)ab證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)1：結(jié)論： 如果a、bR,那么 a+b2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號) 以公式(1)為基礎(chǔ),運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式(2)這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法綜合法。如果a、bR,那么有 ( a-b ) 0 ( 1 )把(1)式左邊展開，得 a -2ab+b 0 a+b 2ab ( 2 )(2)式中取等號成立的充要條件是什么？式中取等號成立的充要條件是什么？證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)2：:基本不等式22
3、(1)2( ,_);abab a b預(yù)備不等式(2)( ,_).2abab a b均值不等式()分析法證明不等式?)2(,.,的幾何解釋得出不等式試用這個圖形連接的弦垂直于作過點上一點點是是圓的直徑如圖BDADDEABCbBCaACABAB證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)3：證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)4：均值不等式的幾何解釋是均值不等式的幾何解釋是: 半徑不小于半弦半徑不小于半弦.均值不等式的代數(shù)解釋為均值不等式的代數(shù)解釋為: 兩個正數(shù)的等差中項兩個正數(shù)的等差中項不小它們的等比中項不小它們的等比中項.兩個不等式的適用范圍不同兩個不等式的適用范圍不同結(jié)論推廣結(jié)論推廣公式公式 如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (
4、a1+a2+an ) / n 叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) ， 叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) 。a1a2a nn結(jié)論：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21結(jié)論舉例結(jié)論舉例1. 如果a、bR,那么a+b2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)2 如果a、b、c 0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)推論推論 如果a、b 0,那么(a+b)/2 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)ab推論推論 如果a、b、c 0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=
5、b=c時取“=”號)abc3二、新課講解二、新課講解1. ,:a b例均為正數(shù) 證明以下不等式;112) 1 (baab.22)2(22baba:重要結(jié)論222( ,).1122abababa bRab其中當(dāng)且僅當(dāng)其中當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號時取等號.三、探索三、探索由a、b、cR，依次對其中的兩個運(yùn)用公式(2)，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.把以上三式疊加，得 a +b +c ab+bc+ca （a、b、cR） ( 3 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號) 從以上推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法迭代與疊加迭代與疊加.證明： a +b +c
6、ab+bc+ca （a、b、cR ） (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號) 由于 a+b=(a+b)(a-ab+b), 啟示我們把公式a+b2ab變成 a-ab+bab, 兩邊同乘以a +b，為了得到同向不等式，這里要求a、b0, 得到 a+bab+ab。 ( 4 )結(jié)論結(jié)論 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)四、再探索四、再探索 由公式(3) 的推導(dǎo)方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c , c、a 迭代(4)式，并應(yīng)用公式(2)，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3ab
7、c ( 5 )(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）證明證明 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)五、繼續(xù)探索五、繼續(xù)探索結(jié)論結(jié)論 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)在公式(5)中用 、 、 分別替換a、b、c，可得 ( ) + ( ) + ( ) 3 a + b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 ( 7 ) (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）3abc證明證明 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)221.2 ( ,)ababab R22
8、22.( ,).1122abababa bRab3.3. 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)4. 4. 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)5.n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21其中當(dāng)且僅當(dāng)其中當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號時取等號. .2,)1(”號）”號）時取“時取“（當(dāng)（當(dāng)時時當(dāng)當(dāng) baabbaRba . 21,)2( aaRba時時當(dāng)當(dāng)變式：變式：3種情況，種情況，5個結(jié)論個結(jié)論 ：abbaabba
9、Rba22,22 ，時，有時，有當(dāng)當(dāng)abbaabbaRba22,22 ，時，有時，有當(dāng)當(dāng)”不成立”不成立，顯然“，顯然“時，有時，有當(dāng)當(dāng) abbaba2022推廣：推廣：（1 1）兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。）兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。（2 2）兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。）兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。應(yīng)用要點：應(yīng)用要點：一正一正 二定二定 三相等三相等2、(04重慶）已知重慶）已知則則x y 的最大值是的最大值是 。232(0,0)xyxy練習(xí)：練習(xí)：1、當(dāng)、當(dāng)x0時，時， 的最小值為的最小值為 ，此，此時時x= 。1xx21思考：當(dāng)思考：當(dāng)x0時表時表達(dá)式又有何最值達(dá)式又有何最值呢？呢？16P100A組第組第1題題
高二數(shù)學(xué)必修5 基本不等式1 課件
